数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题

这是一份数学选择性必修 第一册3.1 椭圆精品同步达标检测题，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
直线与椭圆的位置关系（专题训练）一、单选题1．已知椭圆以及椭圆内一点P(4，2)，则以P为中点的弦所在直线的斜率为(　　)A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【解析】设以为中点的弦的两个端点分别为，所以由中点坐标公式可得，把两点坐标代入椭圆方程得两式相减可得所以，即所求的直线的斜率为.故选A项.2．椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，，由题知：，.设线段中点为，则.将代入得到.因为，故.故选：B3．已知椭圆的左焦点为，直线与椭圆相交于，两点，且，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，消可得得，解得，分别代入，，，，，，，，，，，把代入式并整理得，两边同除以并整理得，解得，故选：．4．已知椭圆，直线，若椭圆C上存在两点关于直线l对称，则m的取值范围是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】设，是椭圆C上关于l对称的两点，AB的中点为，则，，.又因为A，B在椭圆C上，所以，，两式相减可得，即.又点M在l上，故，解得，.因为点M在椭圆C内部，所以，解得.故选：C5．已知是椭圆的左焦点，过且与轴垂直的直线与交于，两点，点与关于原点对称，则的面积为（    ）A．2 B．3 C．6 D．12【答案】B【解析】因为椭圆，所以，因为过且与轴垂直的直线与交于，两点，所以，因为点与关于原点对称，所以，所以，点到直线的距离为2，所以的面积为.故选：B6．已知F1，F2是椭圆的左、右焦点，过右焦点F2的直线l与椭圆交于A，B两点，且满足则该椭圆的离心率是（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设，则，由椭圆的定义知，，，为椭圆的上顶点，设，又，则直线，直线方程代入椭圆方程中得：，解得或，，，化简得，.故选：B7．已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】C【解析】双曲线的方程为，所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，将代入方程，整理可得.①当时，满足题意；②当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，，且是方程的根，则，解得.所以，当时，.根据对称性可知，当时，可求得.因此，实数的取值范围是.故选：C.8．已知平面内的一个动点P到直线l：x＝的距离与到定点F（，0）的距离之比为，点，设动点P的轨迹为曲线C，过原点O且斜率为k（k＜0）的直线l与曲线C交于M、N两点，则△MAN面积的最大值为（    ）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】设动点到l的距离为d, 由题意得，所以，化简整理得曲线C的方程为，若直线l存在斜率，设其方程为，设直线l与曲线C的交点，将代入曲线中得，，所以，又点A到直线l的距离，故的面积，所以，（1）当时，，则；（2）当时，，则；（3）当时，（当且仅当，即取等号），则；若直线l不存在斜率， MN=2. 于是的面积，综上得：的面积的最大值为.故选：A.9．椭圆的焦点、，为椭圆上的一点，已知，则的面积为（    ）A．25 B．20 C．9 D．8【答案】C【解析】根据椭圆的定义，  ①，，由勾股定理得，  ②，将①平方再减去②得：，.故选：C.10．直线交椭圆于两点，若，则的值为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】解法一：由椭圆，则顶点为，而直线也过，所以为直线与椭圆的一个交点，设，则=，解得：，所以或（不合，舍去），把代入椭圆方程得：，故.故选：B.解法二：由得，所以，又， 所以=，因为，所以，故.故选：B.11．已知椭圆C的焦点为，，P是椭圆C上一点，若椭圆C的离心率为，且，的面积为，则椭圆C的方程为（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】椭圆的焦点为，，是椭圆上一点．若椭圆的离心率为，且，△的面积为，可得：，解得，，所以椭圆方程为：．故选：．12．以过椭圆的右焦点且垂直于轴的弦为直径的圆与点的位置关系是（    ）．A．点在圆内 B．点在圆外 C．在圆上 D．点与圆的关系不确定【答案】A【解析】当时，，解得，故，故，圆心为，，故点在圆内.故选：A.二、填空题13．已知椭圆的焦点分别为，，两条平行线：，：交椭圆于，，，四点，若以，，，为顶点的四边形面积为，则椭圆的离心率为________.【答案】【解析】设，，，，联立直线与椭圆的方程：，整理可得：，，，所以，直线，间的距离，所以平行四边形的面积，整理可得：，即，解得：，由椭圆的性质可得，离心率，故答案为：．14．已知P为椭圆C：上一个动点，F1、F2是椭圆C的左、右焦点，O为坐标原点，O到椭圆C在P点处的切线距离为d，若，则d＝__________.【答案】【解析】设，，则，不妨设在第一象限，则，，故以为圆心以为半径的圆为：，①以为圆心以为半径的圆为：，②①②得：，代入椭圆方程可得：，故，，当时，由得，故，椭圆在处的切线的斜率．切线方程为：，即，原点到切线的距离．故答案为：．15．已知是椭圆的两个顶点，直线与直线相交于点，与椭圆相交于两点，若，则斜率的值为______．【答案】或【解析】由题可知，该椭圆的方程为，直线，的方程分别为，设，其中，联立方程，故，由，知，由点D在直线AB上，则，所以或故答案为：或16．已知点是椭圆的左焦点，过原点作直线交椭圆于两点，分别是，的中点，若存在以为直径的圆过原点，则椭圆的离心率的范围是______.【答案】【解析】如图所示，当点分别是、的中点时，是的两条中位线，若以为直径的圆过原点，则有,，设点，则点,又点，所以，，,则，又，所以，，得，即只需，整理得：解得，又，所以.故答案为：三、解答题17．已知椭圆的离心率为，为椭圆上异于长轴端点的任意一点，面积的最大值为．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知为椭圆的右顶点，过左焦点的动直线交椭圆于，两点（异于点），直线，与定直线的交点分别为，，若以为直径的圆经过点，求直线的方程．【答案】（1）；（2）直线的方程为．【解析】（1）由离心率得，，①因为当点为短轴端点时，面积最大，，②在椭圆中，③由①②③解得，，，所以椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，，，设直线的方程为，联立消得，设，，则，，．设，，由，，三点共线得，，∴，同理得，因为以为直径的圆经过点，所以，于是，由，，．将，，代入上式，得，∵，，∴，③将，，代入③得，解得，或（舍去）．故直线的方程为．18．已知椭圆：过点，过坐标原点作两条互相垂直的射线与椭圆分别交于，两点.（1）证明：当取得最小值时，椭圆的离心率为.（2）若椭圆的焦距为2，是否存在定圆与直线总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）存在，【解析】（1）证明：∵椭圆经过点，∴，∴，当且仅当，即时，等号成立，此时椭圆的离心率.（2）解：∵椭圆的焦距为2，∴，又，∴，.当直线的斜率不存在时，由对称性，设，.∵，在椭圆上，∴，∴，∴到直线的距离.当直线的斜率存在时，设的方程为.由，得，.设，，则，.∵，∴，∴，∴，即，∴到直线的距离.综上，到直线的距离为定值，且定值为，故存在定圆：，使得圆与直线总相切.19．已知椭圆的离心率为，且椭圆的右顶点到直线的距离为3.（1）求椭圆的方程；（2）过点的直线与椭圆交于，两点，求的面积的最大值(为坐标原点).【答案】（1）.（2）【解析】（1）因为椭圆的右顶点到直线的距离为3，所以，解得或（舍）.因为椭圆的离心率为，所以，所以，所以.故椭圆的方程为.（2）由题意可知直线的斜率不为0，则可设直线的方程为，，，联立，整理得，则，，从而.故的面积.设，则，故，当且仅当，即时，的面积取得最大值2.20．已知椭圆的短轴长等于，右焦点F距C最远处的距离为3．(1)    求椭圆C的方程；(2)    设O为坐标原点，过F的直线与C交于A、B两点（A、B不在x轴上），若，求四边形面积S的最大值．【答案】（1）；（2）1【解析】（1）由已知得，， （2）因为过 的直线与交于两点（不在轴上），所以设， 设则 ，，由对勾函数的单调性易得当即 21．已知椭圆的两个焦点均在以原点为圆心，短半轴长为半径的圆上，且该圆截直线所得的弦长为.（1）求椭圆的标准方程.（2）已知直线与椭圆的两个交点为，，点的坐标为.问：的值是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由.【答案】（1）；（2）为定值，.【解析】（1）以原点为圆心，短半轴长为半径的圆的方程为.∵圆过椭圆的两焦点，∴.（由圆过椭圆的焦点知点，在该圆上，代入圆的方程即得）∵圆截直线所得的弦长为，圆心到直线的距离与弦长一半的平方和等于半径的平方，∴，解得.∴.∴椭圆的标准方程为.（2）设，，联立椭圆和直线方程得消去，得，，由根与系数的关系得，.因为，所以，，∴.∴的值为定值.22．已知F1，F2是椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点，过椭圆的上顶点的直线x+y=1被椭圆截得的弦的中点坐标为.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过F1的直线l交椭圆于A，B两点，当△ABF2面积最大时，求直线l的方程.【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.【解析】（Ⅰ）直线x+y=1与y轴的交于（0，1）点，∴b=1，设直线x+y=1与椭圆C交于点M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2，y1+y2，∴1，1，两式相减可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，∴ 1，解得a2=3，∴椭圆C的方程为y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F2（，0），设A（x3，y3），B（x4，y4），可设直线l的方程x=my，将直线l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，则y3+y4，y3y4，|y3﹣y4|，∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，当且仅当，即m=±1，△ABF2面积最大，即直线l的方程为x﹣y0或x+y0.