高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线优秀第1课时综合训练题

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这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修第一册3.2 双曲线优秀第1课时综合训练题，共10页。试卷主要包含了已知双曲线C，可知两曲线的焦距相等．故选D等内容，欢迎下载使用。

(60分钟 110分)

基础篇

1．(5分)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A．2B．2eq \r(2)

C．4D．4eq \r(2)

2．(5分)已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,m)＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为( )

A．16B．8

C．2D．1

3．(5分)若实数k满足0

A．实半轴长相等

B．虚半轴长相等

C．离心率相等

D．焦距相等

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．

5．(5分)(多选)以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )

A.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,16)＝1

B.eq \f(y2,45)－eq \f(x2,9)＝1

C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1

D.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1

6．(5分)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为( )

A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1

C.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1D.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1

7.(5分)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1有相同渐近线，且经过点(3eq \r(3)，－3)的双曲线的标准方程是________．

8．(5分)双曲线方程为eq \f(x2,a2)－y2＝1，其中a>0，双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为( )

A.eq \f(2\r(3),3)B.eq \r(3)

C.eq \r(2)D.eq \f(\r(3),2)

9．(5分)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )

A.eq \r(5)B．2

C.eq \r(3)D.eq \r(2)

10.(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______________．

提升篇

11.(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为( )

A．y＝±2x

B．y＝±eq \f(1,2)x

C．y＝±x

D．y＝±eq \r(3)x

12．(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )

A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1

B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1

C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1

D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1

13．(5分)(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )

A．对任意的a，b，e1

B．当a>b时，e1

C．对任意的a，b，e1>e2

D．当ae2

14．(5分)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )

A.eq \r(2)B.eq \r(3)

C．2D.eq \r(5)

15.(5分)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________，b＝________.

16.(5分)双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上一点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离为________．

17.(5分)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________．

18.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为eq \f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

19.(10分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

20.(10分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．

3.2.2 双曲线的简单几何性质(第1课时)（练习）

(60分钟 110分)

基础篇

1．(5分)双曲线2x2－y2＝8的实轴长是( )

A．2B．2eq \r(2)

C．4D．4eq \r(2)

C

2．(5分)已知双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,m)＝1的一条渐近线方程为x－4y＝0，其虚轴长为( )

A．16B．8

C．2D．1

C 解析：由题意eq \f(\r(m),4)＝eq \f(1,4)，得m＝1，所以虚轴长为2.

3．(5分)若实数k满足0

A．实半轴长相等

B．虚半轴长相等

C．离心率相等

D．焦距相等

D 解析：若00，16－k>0，故方程eq \f(x2,16)－eq \f(y2,5－k)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴长为4，虚半轴长为eq \r(5－k)，焦距2c＝2eq \r(21－k)，离心率e＝eq \f(\r(21－k),4)；同理，方程eq \f(x2,16－k)－eq \f(y2,5)＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴长为eq \r(16－k)，虚半轴长为eq \r(5)，焦距2c＝2eq \r(21－k)，离心率e＝eq \f(\r(21－k),\r(16－k)).可知两曲线的焦距相等．故选D.

4.(5分)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)经过点(3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________．

y＝±eq \r(2)x 解析：由已知得32－eq \f(42,b2)＝1，解得b＝eq \r(2)或b＝－eq \r(2).因为b>0，所以b＝eq \r(2).因为a＝1，所以双曲线的渐近线方程为y＝±eq \r(2)x.

5．(5分)(多选)以椭圆eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,9)＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( )

A.eq \f(x2,80)－eq \f(y2,16)＝1

B.eq \f(y2,45)－eq \f(x2,9)＝1

C.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1

D.eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1

CD 解析：当顶点为(±4，0)时，a＝4，c＝8，b＝4eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,48)＝1；当顶点为(0，±3)时，a＝3，c＝6，b＝3eq \r(3)，双曲线方程为eq \f(y2,9)－eq \f(x2,27)＝1.

6．(5分)已知以原点为中心，实轴在x轴上的双曲线的一条渐近线方程为y＝eq \f(3,4)x，焦点到渐近线的距离为6，则此双曲线的标准方程为( )

A.eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1B.eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1

C.eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1D.eq \f(x2,36)－eq \f(y2,64)＝1

C 解析：因为双曲线的一条渐近线方程是y＝eq \f(3,4)x，所以eq \f(b,a)＝eq \f(3,4).因为eq \f(|3c|,\r(32＋42))＝6，所以c＝10.

因为c2＝a2＋b2，所以a2＝64，b2＝36，

所以双曲线方程为eq \f(x2,64)－eq \f(y2,36)＝1.

7.(5分)与双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1有相同渐近线，且经过点(3eq \r(3)，－3)的双曲线的标准方程是________．

eq \f(x2,11)－eq \f(y2,\f(99,16))＝1 解析：设所求双曲线的方程为eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝λ(λ≠0)．

因为所求双曲线经过点(3eq \r(3)，－3)，所以eq \f(（3\r(3)）2,16)－eq \f(（－3）2,9)＝λ，所以λ＝eq \f(11,16)，

所以所求双曲线的标准方程为eq \f(x2,11)－eq \f(y2,\f(99,16))＝1.

8．(5分)双曲线方程为eq \f(x2,a2)－y2＝1，其中a>0，双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝1相切，则双曲线的离心率为( )

A.eq \f(2\r(3),3)B.eq \r(3)

C.eq \r(2)D.eq \f(\r(3),2)

A 解析：根据题意，可以求得双曲线的渐近线方程为x±ay＝0，而圆(x－2)2＋y2＝1的圆心为(2，0)，半径为1，结合题意有eq \f(|2±0|,\r(1＋a2))＝1，结合a>0的条件，求得a＝eq \r(3)，所以c＝eq \r(3＋1)＝2，所以有e＝eq \f(2,\r(3))＝eq \f(2\r(3),3).

9．(5分)设F1，F2是双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过点F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PF1|＝eq \r(6)|OP|，则C的离心率为( )

A.eq \r(5)B．2

C.eq \r(3)D.eq \r(2)

C 解析：设渐近线的方程为bx－ay＝0，则直线PF2的方程为ax＋by－ac＝0.由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ax＋by－ac＝0，,bx－ay＝0，))可得Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)，\f(ab,c))).由F1(－c，0)及|PF1|＝eq \r(6)|OP|，得eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)＋c))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ab,c)))2)＝eq \r(6)×eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a2,c)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ab,c)))2)，化简可得3a2＝c2，即e＝eq \r(3).

10.(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1的开口比等轴双曲线的开口更开阔，则实数m的取值范围是______________．

(4，＋∞) 解析：因为等轴双曲线的离心率为eq \r(2)，且双曲线C的开口比等轴双曲线更开阔，所以双曲线C：eq \f(x2,4)－eq \f(y2,m)＝1的离心率e>eq \r(2)，即eq \f(4＋m,4)>2.所以m>4.

提升篇

11.(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为( )

A．y＝±2x

B．y＝±eq \f(1,2)x

C．y＝±x

D．y＝±eq \r(3)x

D 解析：双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率e＝eq \f(c,a)＝2，2＝eq \r(1＋\f(b2,a2))⇒eq \f(b2,a2)＝3，eq \f(b,a)＝eq \r(3).故渐近线方程为y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \r(3)x.

12．(5分)已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程为y＝eq \f(\r(5),2)x，且与椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1有公共焦点，则C的方程为( )

A.eq \f(x2,8)－eq \f(y2,10)＝1

B.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1

C.eq \f(x2,5)－eq \f(y2,4)＝1

D.eq \f(x2,4)－eq \f(y2,3)＝1

B 解析：由y＝eq \f(\r(5),2)x，可得eq \f(b,a)＝eq \f(\r(5),2) ①，由椭圆eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1的焦点为(3，0)，(－3，0)，可得a2＋b2＝9.②.

由①②可得a2＝4，b2＝5.所以C的方程为eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.

13．(5分)(多选)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则( )

A．对任意的a，b，e1

B．当a>b时，e1

C．对任意的a，b，e1>e2

D．当ae2

BD 解析：e1＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，e2＝ eq \r(1＋\f(（b＋m）2,（a＋m）2)).不妨令e10)，得bma时，有eq \f(b,a)>eq \f(b＋m,a＋m)，即e1>e2；当b

14．(5分)设F为双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|，则C的离心率为( )

A.eq \r(2)B.eq \r(3)

C．2D.eq \r(5)

A 解析：设PQ与x轴交于点A，由对称性可知PQ⊥x轴．

又因为|PQ|＝|OF|＝c，所以|PA|＝eq \f(c,2)，所以PA为以OF为直径的圆的半径，所以|OA|＝eq \f(c,2)，所以Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(c,2)，\f(c,2))).

又P点在圆x2＋y2＝a2上，所以eq \f(c2,4)＋eq \f(c2,4)＝a2，即eq \f(c2,2)＝a2，所以e2＝eq \f(c2,a2)＝2，所以e＝eq \r(2).

15.(5分)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝________，b＝________.

1 2 解析：由2x＋y＝0，得y＝－2x，

所以eq \f(b,a)＝2.

又c＝eq \r(5)，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.

16.(5分)双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1上一点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离为________．

7或23 解析：由双曲线eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1知2a＝8.

设F1(5，0)，F2(－5，0)是两个焦点，

因为点A在双曲线上，所以||AF1|－|AF2||＝8.

因为点A到点(5，0)的距离为15，则点A到点(－5，0)的距离是15＋8＝23或15－8＝7.

17.(5分)已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为________．

x±eq \r(2)y＝0 解析：椭圆C1的离心率为eq \f(\r(a2－b2),a)，双曲线C2的离心率为eq \f(\r(a2＋b2),a)，所以eq \f(\r(a2－b2),a)·eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \f(\r(3),2)，即a4＝4b4，所以a＝eq \r(2)b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±eq \f(1,\r(2))x，即x±eq \r(2)y＝0.

18.(5分)如图所示，椭圆中心在坐标原点，F为左焦点，A，B为椭圆的顶点，当FB⊥AB时，其离心率为eq \f(\r(5)－1,2)，此类椭圆被称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”可推算出“黄金双曲线”的离心率e等于________．

eq \f(\r(5)＋1,2) 解析：设中心在坐标原点的双曲线左焦点F，实轴右端点A，虚轴端点B，FB⊥AB，则|AF|2＝|AB|2＋|BF|2.

因为|AF|2＝(a＋c)2，|AB|2＝a2＋b2，|BF|2＝b2＋c2，所以c2－a2－ac＝0.

因为e＝eq \f(c,a)，所以e2－e－1＝0.因为e>1，所以e＝eq \f(\r(5)＋1,2).

19.(10分)已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.

(1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；

(2)设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|·|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．

解：(1)由16x2－9y2＝144得eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1，

所以a＝3，b＝4，c＝5，

所以焦点坐标F1(－5，0)，F2(5，0)，离心率e＝eq \f(5,3)，渐近线方程为y＝±eq \f(4,3)x.

(2)由双曲线的定义可知||PF1|－|PF2||＝6，

cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)

＝eq \f(（|PF1|－|PF2|）2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)

＝eq \f(36＋64－100,64)＝0，则∠F1PF2＝90°.

20.(10分)中心在原点，焦点在x轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝2eq \r(13)，椭圆的长半轴长与双曲线实半轴长之差为4，离心率之比为3∶7.

(1)求椭圆和双曲线的方程；

(2)若P为这两条曲线的一个交点，求cs∠F1PF2的值．

解：(1)由题知c＝eq \r(13)，设椭圆方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，双曲线方程为eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)，

则eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－m＝4，,7·\f(\r(13),a)＝3·\f(\r(13),m)，))

解得a＝7，m＝3，则b＝6，n＝2.

故椭圆方程为eq \f(x2,49)＋eq \f(y2,36)＝1，双曲线方程为eq \f(x2,9)－eq \f(y2,4)＝1.

(2)不妨设F1，F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2eq \r(13)，

所以cs∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1||PF2|)＝eq \f(102＋42－（2\r(13)）2,2×10×4)＝eq \f(4,5).