北京市丰台区 2019—2020 学年度 高一下学期期末练习数学试题

丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习

高一数学

注意事项：

1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．

2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效．

4．本试卷共100分，作答时长90分钟．

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. i为虚数单位，（    ）

A.  B.  C.  D. 1

2. 如图所示，下列四个几何体：

其中不是棱柱的序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

3. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确是（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 下列命题正确的是（    ）

A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面

C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面

5. 某同学记录了自己两周的微信记步数信息，并绘制了折线图如图所示．记该同学第一周和第二周步数的方差分别为，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 无法判断与的大小关系

6. 设a，b是两条不同直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①如果，，那么；   

②如果，，，那么；

③如果，，那么；   

④如果，，那么．

其中正确命题序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

7. 在中，D是BC的中点，如果，那么（    ）

A ， B. ， C. ， D. ，

8. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体棱长为a，那么球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

9. 如图所示，在复平面内，复数，所对应的点分别为A，B，则（    ）

A.  B.  C.  D.

10. 点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（    ）

A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心

C. 外心，重心，内心 D. 外心，重心，垂心

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 复数__________．

12. 某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本，应抽取的男教师人数为__________．

13. 已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．

14. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________．

15. 在一次数学测验中，某学习小组10位同学的得分情况如下表，则该小组成绩的众数是__________；平均数是__________．

16. 在正方体中，P为线段上的任意一点，有下面三个命题：①平面；②；③．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．

三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 在中，已知，，，求c和的值．

18. 已知，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）当为何值时，向量与互相垂直？

19. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．

（I）求a的值；

（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；

（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．

20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E为侧棱PD上一点．

（Ⅰ）求证：平面ABE；

（II）求证：；

（III）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥P-ABFE的体积．

丰台区2019~2020学年度第二学期期末练习

高一数学

注意事项：

1．答题前，考生务必先将答题卡上的学校、年级、班级、姓名、准考证号用黑色字迹签字笔填写清楚，并认真核对条形码上的准考证号、姓名，在答题卡的“条形码粘贴区”贴好条形码．

2．本次考试所有答题均在答题卡上完成．选择题必须使用2B铅笔以正确填涂方式将各小题对应选项涂黑，如需改动，用橡皮擦除干净后再选涂其它选项．非选择题必须使用标准黑色字迹签字笔书写，要求字体工整、字迹清楚．

3．请严格按照答题卡上题号在相应答题区内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上答题无效．

4．本试卷共100分，作答时长90分钟．

第一部分（选择题  共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

1. i为虚数单位，（    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】

根据虚数单位的运算性质，直接计算得到结果.

【详解】因为，所以，

故选：A.

【点睛】本题考查有关虚数单位的计算，难度容易.注意结合去计算.

2. 如图所示，下列四个几何体：

其中不是棱柱的序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】B

【解析】

【分析】

根据棱柱的定义直接判断出结果.

【详解】棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各个面都是四边形且每相邻两个四边形的公共边都互相平行.

由此可知②中没有互相平行的平面，所以不是棱柱，

故选：B.

【点睛】本题考查棱柱的定义，主要考查学生对棱柱概念的理解，难度容易.

3. ，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

A．分析方向；B．分析夹角；C．根据数量积计算结果进行判断；D．根据模长运算进行判断.

【详解】A．可能方向不同，故错误；

B．，两向量夹角未知，故错误；

C．，所以，故错误；

D．由C知，故正确，

故选：D.

【点睛】本题考查向量的模长和数量积运算以及向量相等的概念，主要考查学生对向量的综合理解，难度较易.

4. 下列命题正确的是（    ）

A. 三点确定一个平面 B. 一条直线和一个点确定一个平面

C. 梯形可确定一个平面 D. 圆心和圆上两点确定一个平面

【答案】C

【解析】

【分析】

根据公理对选项逐一分析，由此确定正确选项.

【详解】对于A选项，三个不在同一条直线上的点，确定一个平面，故A选项错误.

对于B选项，直线和直线外一点，确定一个平面，故B选项错误.

对于C选项，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，所以C选项正确.

对于D选项，圆直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在直径上，则无法确定一个平面.所以D选项错误.

故选：C

【点睛】本小题主要考查公理的理解和运用，属于基础题.

5. 某同学记录了自己两周的微信记步数信息，并绘制了折线图如图所示．记该同学第一周和第二周步数的方差分别为，，则（    ）

A.  B.

C.  D. 无法判断与的大小关系

【答案】A

【解析】

【分析】

利用方差表示数据的特征，方差越小越稳定直接得出结果．

【详解】解：由于第一周的数据比较稳定，所以．

故选：．

【点睛】本题考查了方差表示数据的特征，属于基础题．

6. 设a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列四个命题：

①如果，，那么；   

②如果，，，那么；

③如果，，那么；   

④如果，，那么．

其中正确命题的序号是（    ）

A. ① B. ② C. ③ D. ④

【答案】C

【解析】

【分析】

根据空间线面位置关系的定义、性质进行判断.

【详解】①如果，，则可以相交、平行或异面，故错误；

②如果，，，则没有公共点，所以可以平行或异面，故错误；

③如果，，则，故正确；

④如果，不妨设，又，则当时，，则当不垂直于时，与不垂直，故错误，

故选：C.

【点睛】本题考查空间中直线、平面有关命题真假的判断，主要考查对空间中位置关系的理解，难度一般.

7. 在中，D是BC的中点，如果，那么（    ）

A. ， B. ， C. ， D. ，

【答案】B

【解析】

【分析】

根据向量的三角形法则可知，再将用的形式表示出来，则的值可求.

【详解】如图所示：

因为，

所以，

故选：B.

【点睛】本题考查平面图形中向量的线性运算，涉及向量三角形法则的运用，难度较易.

8. 如图所示，球内切于正方体．如果该正方体的棱长为a，那么球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

根据球与正方体位置关系，分析出球半径，由此球的体积可求.

【详解】因为球内切于正方体，所以球的半径等于正方体棱长的，

所以球的半径为，所以球的体积为，

故选：D.

【点睛】本题考查根据正方体与球的相切关系求球的体积，难度较易.当球内切于正方体时，球的半径为正方体棱长的；当球外接于正方体时，球的半径为正方体棱长的.

9. 如图所示，在复平面内，复数，所对应的点分别为A，B，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

根据并结合复数的几何意义得到的表示.

【详解】因为，与对应，与对应，

所以，

故选：C.

【点睛】本题考查复数的几何意义的简单运用，难度较易.复数和复平面内的点一一对应，同时复数和平面向量也一一对应.

10. 点M，N，P在所在平面内，满足，，且，则M、N、P依次是的（    ）

A. 重心，外心，内心 B. 重心，外心，垂心

C. 外心，重心，内心 D. 外心，重心，垂心

【答案】B

【解析】

【分析】

由三角形五心的性质即可判断出答案．

【详解】解：，，

设的中点，则，

，，三点共线，即为的中线上的点，且．

为的重心．

，

，

为的外心；

，

，

即，，

同理可得：，，

为的垂心；

故选：．

【点睛】本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．

第二部分（非选择题  共60分）

二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．

11. 复数__________．

【答案】;

【解析】

【详解】 ，故答案为

12. 某中学共有教师300名，其中男教师有180名．现要用分层抽样的方法从教师中抽取一个容量为50的样本，应抽取的男教师人数为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

先求解出分层抽样的抽样比，然后根据每一层入样的个体数等于该层个体数乘以抽样比，由此可计算出结果.

【详解】因为分层抽样的抽样比为，

所以应抽取男教师人数为：人，

故答案为：.

【点睛】本题考查分层抽样的简单应用，涉及到抽样比的计算，难度较易.分层抽样的抽样比等于样本容量除以总体容量，也等于各层样本数量除以各层个体数量.

13. 已知，是两个不共线的向量，若向量与共线，则实数__________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据向量共线定理表示出与的关系，然后列出关于的方程组求解出的值即可.

【详解】因为与共线，设，

又因为不共线，所以，所以，

故答案为：.

【点睛】本题考查根据向量共线求解参数值，难度较易.向量与非零向量共线时，有且仅有一个实数使得.

14. 在长方体中，，，，则异面直线与所成角的大小为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

作出图示，根据，先判断出异面直线所成角是哪个角，然后根据线段长度求解出异面直线所成角的大小.

【详解】如图所示：

因为，所以异面直线与所成角即为（为锐角），

又因为，所以且，所以，

所以异面直线与所成角的大小为，

故答案为：.

【点睛】本题考查求解异面直线所成角，难度较易.求解异面直线所成角，关键是能通过直线的平行关系，将直线平移至同一平面内，最后再进行求解.

15. 在一次数学测验中，某学习小组10位同学的得分情况如下表，则该小组成绩的众数是__________；平均数是__________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】

【分析】

根据众数的概念结合表中数据直接得到众数，利用平均数的计算公式结合表中数据计算出平均数.

【详解】因为分数为的人数最多，所以众数为，

又，所以平均数为，

故答案为：；.

【点睛】本题考查根据数据求解众数和平均数，主要考查学生对众数的理解以及平均数计算公式的简单运用，难度容易.

16. 在正方体中，P为线段上的任意一点，有下面三个命题：①平面；②；③．上述命题中正确命题的序号为__________（写出所有正确命题的序号）．

【答案】①②③

【解析】

【分析】

①证明线面平行可判断对错；②证明线面垂直可判断对错；③证明线面垂直可判断对错.

【详解】①如下图所示：

因为平面平面，平面，所以平面，故①正确；

②连接，如下图所示：

因为平面，所以，

又因为且，所以平面，

又因平面，所以，故②正确；

③连接，如下图所示：

因为平面，所以，又因为，且，

所以平面，又平面，所以，

由②的证明可知，且，所以平面，

又因为平面，所以，故③正确，

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查空间线面平行、线线垂直关系的判断，涉及线面平行判定定理、线面垂直判定定理的运用，主要考查学生对空间中位置关系的逻辑推理能力，难度一般.

三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．

17. 在中，已知，，，求c和的值．

【答案】；

【解析】

【分析】

由已知结合余弦定理可求，然后结合正弦定理可求．

【详解】解：因为，，，

由余弦定理可得，，

，

由正弦定理可得，，

．

【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．

18. 已知，．

（Ⅰ）求和的值；

（Ⅱ）当为何值时，向量与互相垂直？

【答案】（Ⅰ），＝2；（Ⅱ）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据数量积与模的坐标表示计算；

（Ⅱ）由向量垂直的坐标表示求解．

【详解】（Ⅰ）由题意；

．

（Ⅱ），

因为向量与互相垂直，

所以，解得．

【点睛】本题考查向量数量积与模的坐标表示，考查向量垂直的坐标表示，属于基础题．

19. 为了解某市家庭用电量的情况，该市统计局调查了100户居民去年一年的月均用电量，发现他们的用电量都在50kW·h至350kW·h之间，进行适当分组后，画出频率分布直方图如图所示．

（I）求a的值；

（Ⅱ）求被调查用户中，用电量大于250kW·h的户数；

（III）为了既满足居民的基本用电需求，又提高能源的利用效率，市政府计划采用阶梯定价，希望使80%的居民缴费在第一档（费用最低），请给出第一档用电标准（单位：kW·h）的建议，并简要说明理由．

【答案】（I）；（Ⅱ）；（III） kW·h.

【解析】

【分析】

（1）根据频率和为计算出的值；

（2）根据频率分布直方图计算出“用电量大于250kW·h”的频率，再将该频率乘以对应的总户数即可得到结果；

（3）根据频率分布直方图计算出频率刚好为时对应的月用电量，由此可得到第一档用电标准.

【详解】（1）因为，所以；

（2）根据频率分布直方图可知：“用电量大于250kW·h”的频率为，

所以用电量大于250kW·h的户数为：，

故用电量大于250kW·h有户；

（3）因为前三组的频率和为：，

前四组的频率之和为，

所以频率为时对应的数据在第四组，

所以第一档用电标准为：kW·h.

故第一档用电标准为 kW·h.

【点睛】本题考查频率分布直方图的综合应用，主要考查利用频率分布直方图进行相关计算，对学生读取图表信息和计算能力有一定要求，难度一般.

20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，E为侧棱PD上一点．

（Ⅰ）求证：平面ABE；

（II）求证：；

（III）若E为PD中点，平面ABE与侧棱PC交于点F，且，求四棱锥P-ABFE的体积．

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（II）证明见解析；（III）．

【解析】

【分析】

（Ⅰ）根据线面平行的判定定理证明；

（II）由面面垂直的性质定理证明平面，然后可得线线垂直；

（III）证明就是四棱锥的高，然后求得底面积，得体积．

【详解】（Ⅰ）证明：因为，平面，平面，

所以平面；

（II）证明：因为侧面底面ABCD，，平面平面ABCD，平面，

所以平面，又平面，所以；

（III）因为平面，平面，平面平面，

所以，所以，

，则．所以是直角梯形，

又是中点，所以，，

所以，

由（II）平面，平面，所以，从而，

正三角形中，是中点，，，平面，

所以平面，，

所以．

【点睛】本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理与性质定理，考查求棱锥的体积．旨在考查学生的空间梘能力，逻辑推理能力．属于中档题．