初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试精品一课一练

这是一份初中数学人教版九年级上册24.1 圆的有关性质综合与测试精品一课一练，共13页。试卷主要包含了1 圆的有关性质 培优训练等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本大题共10道小题）


1. 已知⊙O的半径为5 cm，P是⊙O内一点，则OP的长可能是( )


A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．7 cm





2. 如图，在⊙O中，若C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，∠A＝50°，则∠BOC的度数是( )





A．40° B．45° C．50° D．60°





3. 2019·赤峰 如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB交⊙O于点C，D是⊙O上一点，∠ADC＝30°，则∠BOC的度数为( )





A．30° B．40° C．50° D．60°





4. 如图，⊙O的直径BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE＝OB，已知∠DOB＝72°，则∠E等于( )





A．36° B．30° C．18° D．24°





5. 如图，AB是⊙O的直径，eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，则∠AEO的度数是( )





A．51° B．56° C．68° D．78°





6. 如图，以O为圆心的两个同心圆中，小圆的弦AB的延长线交大圆于点C.若AB＝4，BC＝1，则下列整数与圆环面积最接近的是( )





A．10 B．13 C．16 D．19





7. 2019·天水 如图，四边形ABCD是菱形，⊙O经过点A，C，D，与BC相交于点E，连接AC，AE.若∠D＝80°，则∠EAC的度数为( )





A．20° B．25° C．30° D．35°





8. 如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为( )





A．19 B．16 C．18 D．20





9. 如图，在⊙O中，eq \(AB,\s\up8(︵))所对的圆周角∠ACB＝50°，若P为eq \(AB,\s\up8(︵))上一点，∠AOP＝55°，则∠POB的度数为( )





A．30° B．45° C．55° D．60°





10. 如图，△ABC是⊙O的内接三角形，∠C＝30°，⊙O的半径为5.若P是⊙O上的一点，在△ABP中，PB＝AB，则PA的长为( )





A．5 B.eq \f(5 \r(3),2) C．5 eq \r(2) D．5 eq \r(3)





二、填空题（本大题共7道小题）


11. (2019•娄底)如图，C、D两点在以AB为直径的圆上，，，则__________．








12. 如图所示，动点C在⊙O的弦AB上运动，AB＝2eq \r(,3)，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为________．








13. 如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上，连接AE.若∠ABC＝64°，则∠BAE的度数为________．








14. 已知：如图，A，B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，则四边形OACB是________．(填特殊平行四边形的名称)








15. 如图，圆内接四边形ABCD中两组对边的延长线分别相交于点E，F，且∠A＝55°，∠E＝30°，则∠F＝________°.








16. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接OD，BE，它们交于点M，且MD＝2，则BE的长为________.








17. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝4，点P在以点C为圆心，5为半径的圆上，连接PA，PB.若PB＝4，则PA的长为________．





三、解答题（本大题共5道小题）


18. 2019·十堰改编 如图，四边形ABCD内接于⊙O，AE⊥CB交CB的延长线于点E.若BA平分∠DBE，AD＝5，CE＝eq \r(13)，求AE的长度．




















19. 如图，为的直径，点在上．


(1)尺规作图：作的平分线，与交于点；连接，交于点(不写作法，只保留作图痕迹，且用黑色墨水笔将作图痕迹加黑)；


(2)探究与的位置及数量关系，并证明你的结论．




















20. 我们学习了“弧、弦、圆心角的关系”，事实上我们还可以得到“圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系”．圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们对应的其余各组量也相等．[弦心距是指从圆心到弦的距离(如图①中的OC，OC′的长)]


请直接运用圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系解决下列问题：


如图②，O是∠EPF的平分线上一点，以点O为圆心的圆与角的两边所在的直线分别交于点A，B和C，D.


(1)求证：AB＝CD.


(2)若角的顶点P在圆上或圆内，(1)中的结论还成立吗？若不成立，请说明理由；若成立，请加以证明．




















21. 如图，直线AB经过⊙O的圆心，与⊙O相交于点A，B，点C在⊙O上，且∠AOC＝30°，P是直线AB上的一个动点(与点O不重合)，直线PC与⊙O相交于点Q.在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有几个？请相应地求出∠OCP的度数．




















22. 如图，△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠C＝∠D＝90°.求证：A，B，C，D四点在同一个圆上.




















人教版 九年级 24.1 圆的有关性质 培优训练-答案


一、选择题（本大题共10道小题）


1. 【答案】A





2. 【答案】A [解析] ∵∠A＝50°，OA＝OB，


∴∠B＝∠A＝50°，


∴∠AOB＝180°－50°－50°＝80°.


∵C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，


∴∠BOC＝eq \f(1,2)∠AOB＝40°.


故选A.





3. 【答案】D





4. 【答案】D





5. 【答案】A [解析] ∵eq \(BC,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))＝eq \(DE,\s\up8(︵))，∠COD＝34°，


∴∠BOC＝∠COD＝∠EOD＝34°，


∴∠AOE＝180°－∠EOD－∠COD－∠BOC＝78°.


又∵OA＝OE，∴∠AEO＝∠OAE，


∴∠AEO＝eq \f(1,2)×(180°－78°)＝51°.





6. 【答案】C [解析] 如图，连接OA，OC，过点O作OD⊥AB，垂足为D，则AD＝BD＝2，


∴DC＝2＋1＝3.S圆环＝πOC2－πOA2＝π(OD2＋DC2－OD2－AD2)＝π(32－22)＝5π≈15.7.








7. 【答案】C





8. 【答案】D [解析] 如图，延长AO交BC于点D，过点O作OE⊥BC于点E.∵∠A＝∠B＝60°，∴△DAB是等边三角形，∴AD＝DB＝AB＝12，∠ADB＝∠A＝60°，





∴OD＝AD－OA＝12－8＝4.在Rt△ODE中，∵∠DOE＝90°－∠ADB＝30°，∴DE＝eq \f(1,2)OD＝2，∴BE＝DB－DE＝12－2＝10.由垂径定理，知BC＝2BE＝20.





9. 【答案】B





10. 【答案】D [解析] 如图，连接OB，OA，OP，设OB与AP交于点D.由PB＝AB可知eq \(PB,\s\up8(︵))＝eq \(AB,\s\up8(︵))，从而可知OB⊥AP.运用“一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半”及“同圆的半径相等”可知△OAB为等边三角形，在Rt△OAD中，运用“在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”及勾股定理列方程可求得AD的长，从而可求出AP的长为5 eq \r(3).故选D.








二、填空题（本大题共7道小题）


11. 【答案】1


【解析】∵AB为直径，∴，∵，∴．


故答案为：1．





12. 【答案】eq \r(3) [解析] 如图，连接OD，过点O作OH⊥AB于点H，则AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝eq \r(3).∵CD⊥OC，∴CD＝eq \r(OD2－OC2).∵OD为⊙O的半径，∴当OC最小时，CD最大．当点C运动到点H时，OC最小，此时CD＝BH＝eq \r(3)，即CD的最大值为eq \r(3).








13. 【答案】52° [解析] ∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠B＋∠D＝180°.


∵∠B＝64°，∴∠D＝116°.


又∵点D关于AC的对称点是点E，


∴∠AEC＝∠D＝116°.


又∵∠AEC＝∠B＋∠BAE，∴∠BAE＝52°.





14. 【答案】菱形 [解析] 连接OC.


∵C是eq \(AB,\s\up8(︵))的中点，


∴∠AOC＝∠COB＝60°.


又∵OA＝OC＝OB，


∴△OAC和△OCB都是等边三角形，


∴OA＝AC＝BC＝OB，


∴四边形OACB是菱形．





15. 【答案】40 [解析] ∵∠BCD＝180°－∠A＝125°，∠CBF＝∠A＋∠E＝85°，∴∠F＝∠BCD－∠CBF＝125°－85°＝40°.





16. 【答案】8 [解析] 连接AD，如图所示．





∵以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，


∴∠AEB＝∠ADB＝90°，即AD⊥BC.


又∵AB＝AC，


∴BD＝CD.


又∵OA＝OB，∴OD∥AC，


∴OD⊥BE，∴BM＝EM，


∴CE＝2MD＝4，


∴AE＝AC－CE＝6，


∴BE＝eq \r(AB2－AE2)＝eq \r(102－62)＝8.





17. 【答案】3或eq \r(73) [解析] 如图，连接CP，PB的延长线交⊙C于点P′.





∵PC＝5，BC＝3，PB＝4，


∴BC2＋PB2＝PC2，


∴△CPB为直角三角形，且∠CBP＝90°，


即CB⊥PB，∴PB＝P′B＝4.


∵∠ACB＝90°，∴PB∥AC.


又∵PB＝AC＝4，


∴四边形ACBP为平行四边形．


又∵∠ACB＝90°，∴▱ACBP为矩形，


∴PA＝BC＝3.


在Rt△APP′中，∵PA＝3，PP′＝8，


∴P′A＝eq \r(82＋32)＝eq \r(73).


综上所述，PA的长为3或eq \r(73).





三、解答题（本大题共5道小题）


18. 【答案】


解：连接AC，如图．





∵BA平分∠DBE，


∴∠1＝∠2.


∵∠1＋∠ABC＝180°，∠ABC＋∠CDA＝180°，


∴∠1＝∠CDA.


又∵∠2＝∠3，


∴∠3＝∠CDA，


∴AC＝AD＝5.


∵AE⊥CB，


∴∠AEC＝90°，


∴AE＝eq \r(AC2－CE2)＝eq \r(52－（\r(13)）2)＝2 eq \r(3).





19. 【答案】


(1)如图所示：





(2)，．


理由如下：


∵平分，


∴，


∵，


∴，


∴，


∵，


∴为的中位线，


∴，．





20. 【答案】


解：(1)证明：如图①，过点O作OM⊥AB于点M，ON⊥CD于点N.


∵PO平分∠EPF，∴OM＝ON，


∴AB＝CD.





(2)(1)中的结论还成立．


证明：当点P在⊙O上时，如图②，同(1)知OM＝ON，


∴AB＝CD；


当点P在⊙O内时，如图③，同(1)知OM＝ON，


∴AB＝CD.





21. 【答案】


解：在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个．


(1)如图①.


在△QOC中，OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.


在△OPQ中，QP＝QO，∴∠QOP＝∠QPO.


又∵∠QPO＝∠OCQ＋∠AOC，且∠AOC＝30°，∠QOP＋∠QPO＋∠OQC＝180°，


∴3∠OCQ＝120°，


∴∠OCQ＝40°.


即∠OCP＝40°.





(2)如图②.


∵QO＝QP，


∴∠QPO＝∠QOP.


设∠QPO＝x，则∠OQC＝∠QPO＋∠QOP＝2x.又∵OC＝OQ，


∴∠OCQ＝∠OQC＝2x，


∴∠AOC＝∠OPC＋∠OCP＝x＋2x＝3x.


∵∠AOC＝30°，∴3x＝30°，解得x＝10°，


∴∠OCP＝2x＝20°.


(3)如图③.


∵QO＝QP，∴∠QOP＝∠QPO.


∵OC＝OQ，∴∠OQC＝∠OCQ.


设∠QPO＝y，则∠OQC＝∠OCQ＝∠QPO＋∠AOC＝y＋30°，


∴在△OPQ中，有y＋y＋y＋30°＝180°，解得y＝50°，


∴∠OCP＝180°－50°－30°＝100°.


综上所述，在直线AB上使QP＝QO成立的点P共有3个，∠OCP的度数分别为40°，20°，100°.





22. 【答案】


证明：如图，取AB的中点O，连接OC，OD.





∵△ABC和△ABD都是直角三角形，且∠ACB＝∠ADB＝90°，


∴OC，OD分别为Rt△ABC和Rt△ABD斜边上的中线，


∴OC＝OA＝OB，OD＝OA＝OB，


∴OA＝OB＝OC＝OD，


∴A，B，C，D四点在同一个圆上．