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初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课后测评
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这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试优秀课后测评，共12页。试卷主要包含了下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣，1）C．（1﹣，）D．（1，）
2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连结EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
3．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，不能得出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠DAB+∠DCB＝180°B．AB2+BC2＝AC2
C．AC＝BDD．AC⊥BD
5．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2B．3C．D．
6．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM； ②△EOB≌△CMB；③MB：OE＝3：2；④四边形EBFD是菱形．其中正确结论是（ ）
A．①②③B．②③④C．①④D．①③④
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．6B．12C．24D．不能确定
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（ ）
A．6B．8C．D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（ ）
A．6B．5C．2D．4
二．填空题
11．如图，将两张一样（长为8cm，宽为2cm）的矩形纸条交叉叠放，重合部分为四边形；则四边形的周长的最大值是 cm．
12．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝1，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置，则点B'的坐标为 ．
13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，则菱形 ABCD的面积是 ．
14．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF＝27°，则∠DAB的度数为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于点E，若BC＝4，△AOE的面积为6，则BE＝ ．
19．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则▱ABCD的最小内角的度数为 ．
20．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 ．
三．解答题
21．如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
22．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交边AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，BC＝4，当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
23．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．
（1）求（AF+1）（CE+1）的值；
（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．
24．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
参考答案
一．选择题
1． A．
2． D．
3． A．
4． D．
5． A．
6． D．
7． B．
8． B．
9． B．
10． D．
二．填空题
11． 17．
12．（，﹣）．
13． 8cm2．
14． 102°．
15． 16．
16．4．
17． ．
18． 2
19． 30°．
20． 7．
三．解答题
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE DB⊥EF，
∵AB＝3，BC＝4，
设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，
在Rt△ADE中，32+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴DE＝，
∵BD＝＝5，
∴DO＝BO＝BD＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OE＝．
23．解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
∵AF+CE＝EF，
∴EF＝x+y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
∴xy+x+y＝1，
∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；
（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：
如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．
由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，
∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴点M、C、E在同一条直线上．
∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，
∴EF＝EM．
在△BEF和△BEM中，，
∴△BEF≌△BEM（SSS），
∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，
又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°．
24．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
一．选择题
1．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是正方形，已知点C（，1），则点A的坐标是（ ）
A．（﹣1，）B．（﹣，1）C．（1﹣，）D．（1，）
2．“勾股图”有着悠久的历史，它曾引起很多人的兴趣．1955年希腊发行了以“勾股图”为背景的邮票（如图1），欧几里得在《几何原本》中曾对该图做了深入研究．如图2，在△ABC中，∠ACB＝90°，分别以△ABC的三条边为边向外作正方形．连结EB，CM，DG，CM分别与AB，BE相交于点P，Q．若∠ABE＝30°，则的值为（ ）
A．B．C．D．﹣1
3．如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点．若MN＝3，AB＝6，则∠ACB的度数为（ ）
A．30°B．35°C．45°D．60°
4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件后，不能得出四边形ABCD是矩形的是（ ）
A．∠DAB+∠DCB＝180°B．AB2+BC2＝AC2
C．AC＝BDD．AC⊥BD
5．如图，正方形ABCD的面积为36，点E、F分别在AB，AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，则CF长为（ ）
A．2B．3C．D．
6．如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB，CD交于点E，F，连接BF交AC于点M，连接DE，BO．若∠COB＝60°，FO＝FC，则下列结论：①FB⊥OC，OM＝CM； ②△EOB≌△CMB；③MB：OE＝3：2；④四边形EBFD是菱形．其中正确结论是（ ）
A．①②③B．②③④C．①④D．①③④
7．下列说法中，正确的是（ ）
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．有一组邻边相等的矩形是正方形
C．对角线互相垂直的四边形是菱形
D．对角线相等的四边形是矩形
8．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（ ）
A．6B．12C．24D．不能确定
9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4，则矩形对角线的长等于（ ）
A．6B．8C．D．
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点C作AB垂线交AB延长线于点E，连结OE，若AB＝2，BD＝4，则OE的长为（ ）
A．6B．5C．2D．4
二．填空题
11．如图，将两张一样（长为8cm，宽为2cm）的矩形纸条交叉叠放，重合部分为四边形；则四边形的周长的最大值是 cm．
12．如图，菱形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A在x轴上，∠B＝120°，OA＝1，将菱形OABC绕原点顺时针旋转105°至OA'B′C'的位置，则点B'的坐标为 ．
13．如图，已知菱形ABCD的对角线AC、BD交于点O，OC＝2cm，∠ABO＝30°，则菱形 ABCD的面积是 ．
14．如图，在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，若∠CDF＝27°，则∠DAB的度数为 ．
15．如图，在菱形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是AB的中点，PO＝2，则菱形ABCD的周长是 ．
16．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC边上的点，AE＝CF，∠EFB＝45°，若AB＝5，BC＝13，则AE的长为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝9，AC＝12，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，点G为四边形DEAF对角线交点，则线段GF的最小值为 ．
18．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于点E，若BC＝4，△AOE的面积为6，则BE＝ ．
19．如图，若将四根木条钉成的矩形木框变成▱ABCD的形状，并使其面积变为矩形面积的一半，则▱ABCD的最小内角的度数为 ．
20．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过顶点B、D作DE⊥a于点E、BF⊥a于点F，若DE＝4，BF＝3，则EF的长为 ．
三．解答题
21．如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．
（1）求证：△PBE≌△QDE；
（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．
22．如图，在矩形ABCD中，过对角线BD中点O的直线分别交边AD，BC于点E，F．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）若AB＝3，BC＝4，当四边形BEDF是菱形时，求EF的长．
23．如图，边长为1的正方形ABCD中，点E、F分别在边CD、AD上，连接BE、BF、EF，且有AF+CE＝EF．
（1）求（AF+1）（CE+1）的值；
（2）探究∠EBF的度数是否为定值，并说明理由．
24．以△ABC的各边，在边BC的同侧分别作三个正方形．他们分别是正方形ABDI，BCFE，ACHG，试探究：
（1）如图中四边形ADEG是什么四边形？并说明理由．
（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是矩形？
（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADEG是正方形？
参考答案
一．选择题
1． A．
2． D．
3． A．
4． D．
5． A．
6． D．
7． B．
8． B．
9． B．
10． D．
二．填空题
11． 17．
12．（，﹣）．
13． 8cm2．
14． 102°．
15． 16．
16．4．
17． ．
18． 2
19． 30°．
20． 7．
三．解答题
21．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB＝ED，AB∥CD，
∴∠EBP＝∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，，
∴△PBE≌△QDE（ASA）；
（2）证明：如图所示：
∵△PBE≌△QDE，
∴EP＝EQ，
同理：△BME≌△DNE（ASA），
∴EM＝EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．
22．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，O是BD的中点，
∴∠A＝90°，AD＝BC＝4，AB∥DC，OB＝OD，
∴∠OBE＝∠ODF，
在△BOE和△DOF中，，
∴△BOE≌△DOF（ASA），
∴EO＝FO，
∴四边形BEDF是平行四边形；
（2）解：∵四边形BEDF为菱形，
∴BE＝DE DB⊥EF，
∵AB＝3，BC＝4，
设BE＝DE＝x，则AE＝4﹣x，
在Rt△ADE中，32+（4﹣x）2＝x2，
∴x＝，
∴DE＝，
∵BD＝＝5，
∴DO＝BO＝BD＝，
∴OE＝＝＝，
∴EF＝2OE＝．
23．解：（1）设CE＝x，AF＝y，则DE＝1﹣x，DF＝1﹣y，
∵AF+CE＝EF，
∴EF＝x+y．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D＝90°，
∴EF2＝DE2+DF2，即（x+y）2＝（1﹣x）2+（1﹣y）2，
∴xy+x+y＝1，
∴（AF+1）（CE+1）＝（y+1）（x+1）＝xy+x+y+1＝1+1＝2；
（2）∠EBF的度数为定值，理由如下：
如图，将△ABF绕点B顺时针旋转90°得到△BCM，此时AB与CB重合．
由旋转，可得：AB＝CB，BF＝BM，AF＝CM，∠ABF＝∠CBM，∠BCM＝∠A＝90°，
∴∠BCM+∠BCD＝90°+90°＝180°，
∴点M、C、E在同一条直线上．
∵AF+CE＝EF，CM+CE＝EM，
∴EF＝EM．
在△BEF和△BEM中，，
∴△BEF≌△BEM（SSS），
∴∠EBF＝∠EBM＝∠CBM+∠CBE＝∠ABF+∠CBE，
又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠EBF+∠ABF+∠CBE，
∴∠EBF＝∠ABC＝45°．
24．解：（1）图中四边形ADEG是平行四边形．理由如下：
∵四边形ABDI、四边形BCFE、四边形ACHG都是正方形，
∴AC＝AG，AB＝BD，BC＝BE，∠GAC＝∠EBC＝∠DBA＝90°．
∴∠ABC＝∠EBD（同为∠EBA的余角）．
在△BDE和△BAC中，
，
∴△BDE≌△BAC（SAS），
∴DE＝AC＝AG，∠BAC＝∠BDE．
∵AD是正方形ABDI的对角线，
∴∠BDA＝∠BAD＝45°．
∵∠EDA＝∠BDE﹣∠BDA＝∠BDE﹣45°，
∠DAG＝360°﹣∠GAC﹣∠BAC﹣∠BAD
＝360°﹣90°﹣∠BAC﹣45°
＝225°﹣∠BAC
∴∠EDA+∠DAG＝∠BDE﹣45°+225°﹣∠BAC＝180°
∴DE∥AG，
∴四边形ADEG是平行四边形（一组对边平行且相等）．
（2）当四边形ADEG是矩形时，∠DAG＝90°．
则∠BAC＝360°﹣∠BAD﹣∠DAG﹣∠GAC＝360°﹣45°﹣90°﹣90°＝135°，
即当∠BAC＝135°时，平行四边形ADEG是矩形；
（3）当四边形ADEG是正方形时，∠DAG＝90°，且AG＝AD．
由（2）知，当∠DAG＝90°时，∠BAC＝135°．
∵四边形ABDI是正方形，
∴AD＝AB．
又∵四边形ACHG是正方形，
∴AC＝AG，
∴AC＝AB．
∴当∠BAC＝135°且AC＝AB时，四边形ADEG是正方形．
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