初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试优秀练习

这是一份初中数学北师大版九年级下册第三章 圆综合与测试优秀练习，共15页。

[范围：第三章 时间：120分钟 分值：120分]


一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)


1．若⊙O的半径为5，点P在⊙O内，则OP的长可能是( )


A．4 B．5 C．6 D．7


2．如图1，AB为⊙O的直径，CD是⊙O的弦，已知∠ACD＝20°，则∠BAD的度数为( )





图1


A．20° B．50°


C．60° D．70°


3．如图2，AB是⊙O的直径，AC是弦，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D.若∠A＝32°，则∠D的度数为( )





图2


A．64° B．58°


C．32° D．26°


4．如图3，已知四边形ABCD内接于⊙O，AD是直径，∠ABC＝120°，CD＝3，则弦AC的长是( )





图3


A．3 eq \r(3) B．2 eq \r(3)


C.eq \r(3) D．4


5．如图4，AB为⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，∠BAC＝20°，eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，则∠DAC的度数是( )





图4


A．70° B．45° C．35° D．30°


6．如图5，P，Q分别是⊙O的内接正五边形的边AB，BC上的点，BP＝CQ，则∠POQ的度数为( )





图5


A．75° B．54°


C．72° D．60°


二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)


7．如图6，已知△ABC的外接圆⊙O的半径为4 cm，且BC＝4 cm，则∠A的度数是________．





图6


8．边长为2 eq \r(3)的等边三角形的内切圆的半径为________．


9．如图7，将⊙O沿弦AB折叠，eq \(AB,\s\up8(︵))恰好经过圆心O，若⊙O的半径为3，则eq \(AB,\s\up8(︵))的长为________．





图7 图8


10．如图8，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留根号和π)．


11．如图9，△ABC是⊙O的内接三角形，AB是⊙O的直径，P为⊙O上的动点，且∠BPC＝60°，⊙O的半径为6，则点P到AC距离的最大值是________．





图9


12．已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，如果以点C为圆心的圆与斜边AB有唯一的公共点，那么⊙C的半径R的取值范围为____________．


三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)


13．如图10，在⊙O中，弦AB与CD相交于点E，且AB＝CD.求证：AE＝CE.





图10

















14．如图11，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，点D在eq \(AB,\s\up8(︵))上，连接CD交AB于点E，B是eq \(CD,\s\up8(︵))的中点．


求证：∠B＝∠BEC.





图11

















15．请你用无刻度的直尺分别在下面的图中作出△ABC的边AB上的高CD.


(1)如图12①是以锐角三角形ABC的边AB为直径的圆，与另两边AC，BC分别交于点E，F；


(2)如图②是以钝角三角形ABC的一短边AB为直径的圆，与最长的边AC相交于点E.





图12


























16．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图13①，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理．图②是其示意图，筒车盛水桶的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆．已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦AB的长为6米，点C为运行轨道的最低点且点C到弦AB的距离为2米(O，C的连线垂直于AB)，若筒车盛水桶的运行轨道的最高点为D，求点D到弦AB所在直线的距离．





图13


























17．如图14，在⊙O中，弦AB＝8，点C在⊙O上(点C与点A，B不重合)，连接CA，CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是D，E，连接DE.


(1)求线段DE的长；


(2)若点O到AB的距离为3，求⊙O的半径．





图14























四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)


18．如图15，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，直线MN与⊙O相切于点C，过点B作BD⊥MN于点D.


(1)求证：∠ABC＝∠CBD；


(2)若BC＝4 eq \r(5)，CD＝4，求⊙O的半径．





图15





























19．如图16，已知△ABC内接于⊙O，P是圆外一点，PA为⊙O的切线，且PA＝PB，连接OP，线段AB与线段OP相交于点D.


(1)求证：PB为⊙O的切线；


(2)若PA＝eq \f(4,5)PO，⊙O的半径为10，求线段PD的长．





图16


























20．如图17，在△ABC中，BA＝BC，∠ABC＝90°，以AB为直径的半圆O交AC于点D，E是eq \(BD,\s\up8(︵))上不与点B，D重合的任意一点，连接AE交BD于点F，连接BE并延长交AC于点G.


(1)求证：△ADF≌△BDG；


(2)若AB＝4，且E是eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，求DF的长；


(3)若H是eq \(AE,\s\up8(︵))上的一点，当四边形OBEH为菱形时，求∠EAB的度数．





图17




















五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)


21．如图18，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为F.


(1)求证：直线DF是⊙O的切线；


(2)求证：BC2＝4CF·AC；


(3)若⊙O的半径为4，∠CDF＝15°，求阴影部分的面积．





图18


























22．如图19①，四边形ABCD内接于⊙O，AC是⊙O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P，且∠APC＝∠BCP.


(1)求证：∠BAC＝2∠ACD；


(2)过图①中的点D作DE⊥AC，垂足为E(如图②)，当BC＝6，AE＝2时，求⊙O的半径．





图19




















六、(本大题共12分)


23．如图20，AB是⊙O的直径，P是BA延长线上一点，过点P作⊙O的切线PC，切点是C，过点C作弦CD⊥AB于点E，连接CO，CB，PD.


(1)求证：PD是⊙O的切线；


(2)若AB＝10，tanB＝eq \f(1,2)，求PA的长；


(3)试探究线段AB，OE，OP之间的数量关系，并说明理由．





图20








参考答案


1．A 2.D 3.D 4.A 5.C 6.C 7.30°


8．1 9.2π 10.eq \f(3 \r(3),2)－eq \f(π,3) 11.6＋3 eq \r(3) 12．6

13．证明：如图，连接AC.





∵AB＝CD，∴eq \(AB,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))，


∴eq \(AB,\s\up8(︵))－eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(CD,\s\up8(︵))－eq \(BD,\s\up8(︵))，即eq \(AD,\s\up8(︵))＝eq \(CB,\s\up8(︵))，


∴∠DCA＝∠BAC，


∴AE＝CE.


14．证明：∵B是eq \(CD,\s\up8(︵))的中点，


∴eq \(BD,\s\up8(︵))＝eq \(BC,\s\up8(︵))，


∴∠BCD＝∠A.


∵∠BEC＝∠A＋∠ACE，


∴∠BEC＝∠BCD＋∠ACE＝∠ACB.


∵AB＝AC，


∴∠B＝∠ACB，


∴∠B＝∠BEC.


15．解：(1)如图①，CD即为所求作的高．





(2)如图②，CD即为所求作的高．


16．解：如图，连接AO，延长CO交⊙O于点D.由题意知CE＝2.





设⊙O的半径为r，则OE＝r－2.


∵OC是半径，OC⊥AB，


∴AE＝BE＝eq \f(1,2)AB＝3.


在Rt△AEO中，OA2＝AE2＋OE2，


∴r2＝32＋(r－2)2，解得r＝eq \f(13,4)，


∴DE＝2r－2＝eq \f(9,2)，


∴点D到弦AB所在直线的距离为eq \f(9,2)米．


17．解：(1)∵OD经过圆心O，OD⊥AC，


∴AD＝DC.


同理：CE＝EB，


∴DE是△ABC的中位线，


∴DE＝eq \f(1,2)AB＝4.





(2)如图，连接OA，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则OH＝3.


∵OH经过圆心O，OH⊥AB，


∴AH＝BH＝eq \f(1,2)AB＝4.


在Rt△AHO中，AH2＋OH2＝AO2，


∴42＋32＝AO2，


∴AO＝5，即⊙O的半径为5.


18．解：(1)证明：如图，连接OC.





∵直线MN与⊙O相切于点C，


∴OC⊥MN.


又∵BD⊥MN，


∴OC∥BD，


∴∠CBD＝∠BCO.


∵OC＝OB，


∴∠BCO＝∠ABC，


∴∠ABC＝∠CBD.


(2)如图，连接AC.


在Rt△BCD中，BC＝4 eq \r(5)，CD＝4，


∴BD＝eq \r(BC2－CD2)＝8.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，


∴∠ACB＝∠CDB.


又∵∠ABC＝∠CBD，


∴△ABC∽△CBD，


∴eq \f(AB,BC)＝eq \f(BC,BD)，即eq \f(AB,4 \r(5))＝eq \f(4 \r(5),8)，


∴AB＝10，


∴⊙O的半径是5.


19．解：(1)证明：如图，连接OA，OB.





在△OAP和△OBP中，∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，


∴△OAP≌△OBP(SSS)，


∴∠OAP＝∠OBP.


∵PA为⊙O的切线，


∴∠OAP＝90°，


∴∠OBP＝90°.


又∵OB为⊙O的半径，


∴PB为⊙O的切线．


(2)∵在Rt△AOP中，PO2－PA2＝AO2，PA＝eq \f(4,5)PO，AO＝10，


∴PO2－(eq \f(4,5)PO)2＝102，


解得PO＝eq \f(50,3)，


∴PA＝eq \f(4,5)PO＝eq \f(40,3).


∵PA＝PB，OA＝OB，∴OP垂直平分AB，


∴∠ADP＝90°.


∵cs∠APO＝eq \f(PD,PA)＝eq \f(PA,PO)，


∴PD＝eq \f(32,3).


20．解：(1)证明：∵BA＝BC，∠ABC＝90°，


∴∠BAC＝45°.


∵AB是半圆O的直径，


∴∠BDG＝∠ADF＝90°，


∴∠ABD＋∠BAC＝90°，


∴∠ABD＝∠BAC＝45°，


∴AD＝BD.


又∵∠DAF＝∠DBG，


∴△ADF≌△BDG(ASA)．


(2)由(1)可知，△BAD是等腰直角三角形．


∵AB＝4，∴AD＝BD＝2 eq \r(2).


∵E是eq \(BD,\s\up8(︵))的中点，∴eq \(DE,\s\up8(︵))＝eq \(BE,\s\up8(︵))，


∴∠DAE＝∠BAE.


∵AB是⊙O的直径，


∴∠AEG＝∠AEB＝90°.


在△AEG和△AEB中，


∵∠GAE＝∠BAE，AE＝AE，∠AEG＝∠AEB，


∴△AEG≌△AEB，


∴AG＝AB＝4，


∴DG＝AG－AD＝4－2 eq \r(2).


由(1)可知△ADF≌△BDG，∴DF＝DG＝4－2 eq \r(2).


(3)如图，连接OH，EH.





∵AB是半圆O的直径，


∴∠AEB＝90°.


∵四边形OBEH为菱形，


∴BE＝OB＝eq \f(1,2)AB，


∴sin∠EAB＝eq \f(BE,AB)＝eq \f(1,2)，


∴∠EAB＝30°.


21．解：(1)证明：如图，连接OD.





∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.


∵OB＝OD，∴∠ODB＝∠B，


∴∠ODB＝∠C，∴OD∥AC.


∵DF⊥AC，∴DF⊥OD.


又∵OD是⊙O的半径，


∴直线DF是⊙O的切线．


(2)如图，连接AD，则AD⊥BC.


∵AB＝AC，∴BD＝CD＝eq \f(1,2)BC.


∵DF⊥AC，


∴∠DFC＝90°＝∠ADC.


又∵∠C＝∠C，


∴△CFD∽△CDA，


∴eq \f(CD,AC)＝eq \f(CF,CD)，


∴CD2＝CF·AC，∴(eq \f(1,2)BC)2＝CF·AC，即BC2＝4CF·AC.


(3)如图，过点O作OG⊥AE，垂足为G，连接OE.


由(2)知△CFD∽△CDA，


∴∠CDF＝∠CAD.


∵∠CDF＝15°，∴∠CAD＝15°.


∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠OAE＝2∠CAD＝30°.


又∵OA＝OE，∴∠OEA＝∠OAE＝30°，


∴∠AOE＝120°.


∵OG⊥AE，∠OAE＝30°，OA＝4，


∴OG＝2，AG＝OA·cs∠OAE＝2 eq \r(3)，


∴AE＝2AG＝4 eq \r(3)，


∴S△OAE＝eq \f(1,2)AE·OG＝eq \f(1,2)×4 eq \r(3)×2＝4 eq \r(3)，


∴S阴影＝S扇形OAE－S△OAE＝eq \f(120×π×42,360)－4 eq \r(3)＝eq \f(16π,3)－4 eq \r(3).


22．解：(1)证明：如图①，过点D作DF⊥BC于点F，连接DB.





∵AP是⊙O的切线，


∴∠PAC＝90°，∴∠APC＋∠ACP＝90°.


∵AC是⊙O的直径，


∴∠ADC＝90°，∴∠ACP＋∠DAC＝90°，


∴∠APC＝∠DAC＝∠DBC.


∵∠APC＝∠BCP，


∴∠DBC＝∠DCB，


∴DB＝DC.


∵DF⊥BC，


∴DF是BC的垂直平分线，


∴DF经过点O.


∵OD＝OC，∴∠ODC＝∠OCD.


∵DB＝DC，DF⊥BC，∴∠BDC＝2∠ODC，


∴∠BAC＝∠BDC＝2∠ODC＝2∠OCD，即∠BAC＝2∠ACD.


(2)如图②，过点D作DF⊥BC于点F.由(1)知DF经过点O，





∴CF＝eq \f(1,2)BC＝3.


在△DEC和△CFD中，


∵∠DCE＝∠CDF，∠DEC＝∠CFD＝90°，DC＝CD，


∴△DEC≌△CFD(AAS)，


∴DE＝CF＝3.


∵∠ADC＝90°，DE⊥AC，


∴∠ADE＋∠CDE＝90°，∠DCE＋∠CDE＝90°，


∴∠ADE＝∠DCE.


又∵∠AED＝∠DEC＝90°，


∴△ADE∽△DCE，


∴eq \f(DE,CE)＝eq \f(AE,DE)，∴CE＝eq \f(DE2,AE)＝eq \f(9,2)，


∴AC＝AE＋CE＝2＋eq \f(9,2)＝eq \f(13,2)，


∴⊙O的半径为eq \f(13,4).


23．解：(1)证明：如图①，连接OD.





∵PC是⊙O的切线，


∴∠PCO＝90°，即∠PCD＋∠OCD＝90°.


∵OA⊥CD，∴CE＝DE，


∴PC＝PD，


∴∠PDC＝∠PCD.


∵OC＝OD，


∴∠ODC＝∠OCD，


∴∠PDC＋∠ODC＝∠PCD＋∠OCD＝90°.


又∵点D在⊙O上，


∴PD是⊙O的切线．


(2)如图②，连接AC，





∵AB是⊙O的直径，


∴∠ACB＝90°，


∴tanB＝eq \f(AC,BC)＝eq \f(1,2).


设AC＝m，BC＝2m，由勾股定理得m2＋(2m)2＝102，


解得m＝2 eq \r(5)(负值已舍去)，


∴AC＝2 eq \r(5)，BC＝4 eq \r(5).


由等积法可知CE·AB＝AC·BC，


∴10CE＝2 eq \r(5)×4 eq \r(5)，


∴CE＝4，


∴BE＝eq \f(CE,tanB)＝8，


∴AE＝2，OE＝3.


∵cs∠COP＝eq \f(OE,OC)＝eq \f(OC,OP)，


∴OP＝eq \f(OC2,OE)＝eq \f(25,3)，


∴PA＝OP－OA＝eq \f(25,3)－5＝eq \f(10,3).


(3)AB2＝4OE·OP.


理由：∵PC切⊙O于点C，CD⊥AB，


∴∠OCP＝90°＝∠OEC.


又∵∠COE＝∠POC，


∴△OCE∽△OPC，


∴eq \f(OE,OC)＝eq \f(OC,OP)，即OC2＝OE·OP.


∵OC＝eq \f(1,2)AB，∴(eq \f(1,2)AB)2＝OE·OP，


即AB2＝4OE·OP.