数学九年级下册27.2 相似三角形达标测试

这是一份数学九年级下册27.2 相似三角形达标测试，共15页。试卷主要包含了2 相似三角形 培优训练等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（本大题共10道小题）


1. （2020·永州）如图，在中，，四边形的面积为21，则的面积是（ ）





A. B. 25C. 35D. 63





2. （2020·云南）如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于（ ）





A．B．C．D．





3. （2020·哈尔滨）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点E在AC边上，过点E作EF∥BC，交AD于点F,过点E作EG∥AB，交BC于点G,则下列式子一定正确的是（ ）





A． B． C． D．





4. （2020·内江）如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）





A. 30B. 25C. 22．5D. 20





5. （2020·河南）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，边BC在轴上，顶点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0).将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，点D的坐标为( )





A. (，2) B. (2，2) C. (，2) D. (4，2)





6. （2020·广西北部湾经济区）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（ ）





A．15B．20C．25D．30





7. （2020·铜仁）已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）


A．3B．2C．4D．5





8. （2020·营口）如图，在△ABC中，DE∥AB，且=，则的值为（ ）





A． B． C． D．





9. （2020·昆明）在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形.如图，△ABC是格点三角形，在图中的6×6正方形网格中作出格点三角形△ADE(不含△ABC)，使得△ADE∽△ABC(同一位置的格点三角形△ADE只算一个)，这样的格点三角形一共有（ ）


A.4个 B.5个 C.6个 D.7个








10. （2020·新疆）如图，在△ABC中，∠A＝90°，D是AB的中点，过点D作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，若AB＝CE，且△DFE的面积为1，则BC的长为（ ）





A．B．5C．D．10





二、填空题（本大题共8道小题）


11. （2020·吉林）如图，．若，，则______．








12. （2020·南通）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上，设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于 ▲ ．








13. （2020·盐城） 如图，且，则的值为


．








14. （2020·郴州）在平面直角坐标系中，将以点为位似中心，为位似比作位似变换，得到.已知，则点的坐标是 ．








15. （2020·临沂）如图，在中，，为边的三等分点，，为与的交点.若，则_________.








16. （2020·杭州）如图是一张矩形纸片，点E在边上，把沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，，则______，______．








17. （2020·苏州）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、.已知，则_________.








18. (2019•辽阳)如图，平面直角坐标系中，矩形的边分别在轴，轴上，点的坐标为，点在矩形的内部，点在边上，满足∽，当是等腰三角形时，点坐标为__________．








三、解答题（本大题共4道小题）


19. （2020·杭州）如图，在正方形中，点E在BC边上，连接AE，的平分线AG与CD边交于点G，与BC的延长线交于点F．设．





（1）若，λ＝1，求线段CF的长．


（2）连接EG，若，


①求证：点G为CD边的中点．


②求的值．

















20. 已知AB是半径为1的圆O直径，C是圆上一点，D是BC延长线上一点，过D点的直线交AC于E点，交AB于F点，且△AEF为等边三角形．


(1)求证：△DFB是等腰三角形；


(2)若DA＝eq \r(7)AF，求证CF⊥AB.




















21. 如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴交于点C，与直线AD交于点A(eq \f(4,3)，eq \f(5,3))，点D的坐标为(0，1)．


(1)求直线AD的解析式；


(2)直线AD与x轴交于点B，若点E是直线AD上一动点(不与点B重合)，当△BOD与△BCE相似时，求点E的坐标．




















22. （2020·泰州）如图，在中，，，，为边上的动点（与、不重合），，交于点，连接，设，的面积为．





（1）用含的代数式表示的长；


（2）求与的函数表达式，并求当随增大而减小时的取值范围．














人教版 九年级数学 27.2 相似三角形 培优训练-答案


一、选择题（本大题共10道小题）


1. 【答案】B


【详解】解：∵


∴


∴


∵


∴


∴


∴


∵


∴


∴


故选：B．





2. 【答案】 B．


【解析】利用平行四边形的性质可得出点O为线段BD的中点，结合点E是CD的中点可得出线段OE为△DBC的中位线，利用三角形中位线定理可得出OE∥BC，OE＝BC，进而可得出△DOE∽△DBC，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平分，即可求出△DEO与△BCD的面积的比为1：4．





3. 【答案】C【解析】本题考查了平行线分线段成比例和由平行判定相似，∵EF∥BC，∴，∵EF∥BC，∴，∴因此本题选C．





4. 【答案】 D


【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出DE是中位线，从而判断△ADE∽△ABC，然后掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解本题．首先判断出△ADE∽△ABC，然后根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出△ABC的面积．


根据题意，点D和点E分别是AB和AC的中点，则DE∥BC且DE=BC，故可以判断出△ADE∽△ABC,根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可知：=1：4，则：=3：4，题中已知，故可得=5，=20，因此本题选D．








5. 【答案】B


【解析】∵点A，B的坐标分别为(-2，6)和(7，0)，∴OC=2，AC=6，OB=7，


∴BC=9，正方形的边长为2．将正方形OCDE沿轴向右平移，当点E落在AB边上时，设正方形与轴的两个交点分别为G、F，∵EF⊥轴，EF=GF=DG=2，∴EF∥AC，D，E两点的纵坐标均为2，


∴，即，解得BF=3.∴OG=OB-BF-GF=7-3-2=2，∴ D点的横坐标为2，∴点D的坐标为 (2，2)．








6. 【答案】 B


【解析】设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x，


∵四边EFGH是正方形，


∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC，


∴△AEF∽△ABC，


∵AD是△ABC的高，


∴∠HDN＝90°，


∴四边形EHDN是矩形，


∴DN＝EH＝x，


∵△AEF∽△ABC，


∴（相似三角形对应边上的高的比等于相似比），


∵BC＝120，AD＝60，


∴AN＝60﹣x，


∴，


解得：x＝40，


∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20．因此本题选B．





7. 【答案】A【解析】相似三角形的周长之比等于相似比，所以△FHB和△EAD的相似比为30∶15=2∶1，所以FH∶EA=2∶1，即6∶EA=2∶1，解得EA=3.因此本题选A．





8. 【答案】A


【解析】利用平行截割定理求的值．∵DE∥AB，∴==，∵CE+AE=AC，∴=．





9. 【答案】A


【解析】本题考查了相似三角形的判定.符合条件的三角形有四个，如图所示：





因此本题选A．





10. 【答案】A


【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理．如答图，过点E作EG⊥BC于G，过点A作AH⊥BC于H．





又因为DF⊥BC，所以DF∥AH∥EG，四边形DEGF是矩形．所以△BDF∽△BAH，DF＝EG，所以＝，因为D为AB中点，所以＝，所以＝．设DF＝EG＝x，则AH＝2x．因为∠BAC＝90°，所以∠B＋∠C＝90°，因为EG⊥BC，所以∠C＋∠CEG＝90°，所以∠B＝∠CEG，又因为∠BHA＝∠CGE＝90°，AB＝CE，所以△ABH≌△CEG，所以CG＝AH＝2x．同理可证△BDF∽△ECG，所以＝，因为BD＝AB＝CE，所以＝EG＝x．在Rt△BDF中，由勾股定理得BD＝＝＝x，所以AD＝x，所以CE＝AB＝2AD＝x．因为DE∥BC，所以＝＝，所以AE＝AC＝CE＝x．


在Rt△ADE中，由勾股定理得DE＝＝＝x．因△DEF的面积为1，所以DE·DF＝1，即×x·x＝1，解得x＝，所以DE＝×＝，因为AD＝BD，AE＝CE，所以BC＝2DE＝，因此本题选D．





二、填空题（本大题共8道小题）


11. 【答案】10


【解析】∵，∴，


又∵，，∴，∴，故答案为：10．





12. 【答案】


【解析】由图形易证△ABC与△DEF相似，且相似比为，所以周长比为．故答案为：．





13. 【答案】2


【解析】∵BC∥DE，∴△ADE∽△ABC，∴ ，设DE＝x,则AB＝10－x∵AD＝BC＝4，∴，∴x1＝8 ,x2＝2(舍去)， ，此本题答案为2 ．








14. 【答案】（，2）


【解析】∵将△AOB以点O为位似中心，为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A（2，3），∴点A1的坐标是：（×2，×3），即A1（，2）．故答案为：（，2）．





15. 【答案】1【解析】 ∵D、E为边AB的三等分点， ∴BE=ED=AD=AB.


∵，∴∴.








16. 【答案】2 －1


【解析】设BE＝x，则AB＝AE＋BE＝2＋x．∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝2＋x，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC．由折叠得∠BEC＝∠DEC，EF＝BE＝x，∴∠DCE＝∠DEC．∴DE＝CD＝2＋x．∵点D，F，E在同一条直线上，∴DF＝DE－EF＝2＋x－x＝2．∵AB∥CD，∴△DCF∽△EAF，∴＝．∴＝，解得x1＝－1，x2＝－－1．经检验，x1＝－1，x2＝－－1都是分式方程的根．∵x＞0，∴x＝－1，即BE＝－1．





17. 【答案】或2.8


【解析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，过点C作CD⊥y轴于点D，设AC交y轴于点E，∴CD∥x轴，∴∠CAO=∠ACD, △DEC∽△OEA，∵，∴∠BCD=∠ACD, ∴BD=DE,设BD=DE=x，则OE=4-2x,∴=,即=,解得x=1.2．∴OE=4-2x=1.6，∴n=OD=DE+OE=1.2+1.6=2.8.





18. 【答案】或


【解析】∵点在矩形的内部，且是等腰三角形，


∴点在的垂直平分线上或在以点为圆心为半径的圆弧上；


①当点在的垂直平分线上时，点同时在上，的垂直平分线与的交点即是，如图1所示，





∵，，


∴，


∴∽，


∵四边形是矩形，点的坐标为，


∴点横坐标为﹣4，，，，


∵∽，


∴，即，


解得：，


∴点．


②点在以点为圆心为半径的圆弧上，圆弧与的交点为，


过点作于，如图2所示，





∵，∴，


∴∽，


∵四边形是矩形，点的坐标为，


∴，，，


∴，∴，


∵∽，


∴，即：，


解得：，，


∴，


∴点，


综上所述：点的坐标为：或，


故答案为：或．





三、解答题（本大题共4道小题）


19. 【答案】


解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AD∥BC，AB＝BC＝2，∴∠DAF＝∠F．∵AG平分∠DAE，∴∠DAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠F，∴EA＝EF．∵λ＝1，∴BE＝EC＝1．在Rt△ABE中，由勾股定理得EA＝，∴CF＝EF－EC＝－1．


（2）①∵EA＝EF，EG⊥AF，∴AG＝GF．又∵∠AGD＝∠FGC，∠DAG＝∠F，所以△DAG≌△CFG，∴DG＝CG，∴点G为CD边的中点．


②不妨设CD＝2，则CG＝1．由①知CF＝AD＝2．∵EG⊥AF，∴∠EGF＝90°．∵四边形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠FCG，∠EGC＋∠CGF＝90°，∠EGC＋∠GEC＝90°，∴∠CGF＝∠GEC，∴△EGC∽△GFC，∴＝＝，∴EC＝，∴BE＝，∴λ＝．





20. 【答案】


(1)证明：∵AB为直径，


∴∠ACB＝90°，


∵△AEF是等边三角形，


∴∠EAF＝∠EFA＝60°，


∴∠ABC＝30°，


∴∠FDB＝∠EFA－∠B＝60°－30°＝30°，(2分)


∴∠ABC＝∠FDB，


∴FB＝FD，


∴△BDF是等腰三角形．(3分)


(2)解：设AF＝a，则AD＝eq \r(7)a，





解图


如解图，连接OC，则△AOC是等边三角形，


由(1)得，BF＝2－a＝DF，


∴DE＝DF－EF＝2－a－a＝2－2a，CE＝AC－AE＝1－a，


在Rt△ADC中，DC＝eq \r(（\r(7)a）2－1)＝eq \r(7a2－1)，


在Rt△DCE中，tan30°＝eq \f(CE,DC)＝eq \f(1－a,\r(7a2－1))＝eq \f(\r(3),3)，


解得a＝－2(舍去)或a＝eq \f(1,2)，(5分)


∴AF＝eq \f(1,2)，


在△CAF和△BAC中，


eq \f(CA,AF)＝eq \f(BA,AC)＝2，且∠CAF＝∠BAC＝60°，


∴△CAF∽△BAC，


∴∠CFA＝∠ACB＝90°，


即CF⊥AB.(6分)





21. 【答案】


解：(1)设直线AD的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，


将D(0，1)、A(eq \f(4,3)，eq \f(5,3))代入解析式得


eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1,\f(4,3)k＋b＝\f(5,3)))，


解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1,k＝\f(1,2)))，


解图


∴直线AD的解析式为y＝eq \f(1,2)x＋1.(3分)


(2)直线AD的解析式为


y＝eq \f(1,2)x＋1，令y＝0，得x＝－2，


∴B(－2，0)，即OB＝2.


∵直线AC的解析式为y＝－x＋3，令y＝0，得x＝3，


∴C(3，0)，即BC＝5，


设E(x，eq \f(1,2)x＋1)，


①当E1C⊥BC时，∠BOD＝∠BCE1＝90°，∠DBO＝∠E1BC，


∴△BOD∽△BCE1，


此时点C和点E1的横坐标相同，


将x＝3代入y＝eq \f(1,2)x＋1，


解得：y＝eq \f(5,2)，


∴E1(3，eq \f(5,2))．(6分)


②当CE2⊥AD时，∠BOD＝∠BE2C＝90°，∠DBO＝∠CBE2，


∴△BOD∽△BE2C，


如解图，过点E2作E2F⊥x轴于点F，则∠E2FC＝∠BFE2＝90°.


∵∠E2BF＋∠BE2F＝90°，


∠CE2F＋∠BE2F＝90°，


∴∠E2BF＝∠CE2F，


∴△E2BF∽△CE2F，则eq \f(E2F,BF)＝eq \f(CF,E2F)，


即E2F2＝CF·BF，


(eq \f(1,2)x＋1)2＝(3－x)(x＋2)，


解得：x1＝2，x2＝－2(舍去)，


∴E2(2，2)；(9分)


③当∠EBC＝90°时，此情况不存在．


综上所述，点E的坐标为E1(3，eq \f(5,2))或E2(2，2)．(10分)





22. 【答案】


解： （1）∵DP∥AB


∴△DCP∽△ACB


∴





∴


∴





∴AD＝3－


（2）∵△DCP∽△ACB,且相似比为x：4．


∴S△DCP：S△ACB＝x2：16


∴S△ABC＝





∴S△DCP＝


∴S△APB＝


∴S＝S△ABC－S△ABP－S△CDP








当 时，S随x增大而减少．