专题10 直线的一般式方程（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题10 直线的一般式方程

考点1直线的一般式方程

1.若点M(a，)和N(b，)都在直线l：x＋y＝1上，则点P(c，)，Q(，b)和l的关系是(　　)

A．P和Q都在l上

B．P和Q都不在l上

C．P在l上，Q不在l上

D．P不在l上，Q在l上

【答案】A

【解析】∵点M(a，)和N(b，)都在直线l：x＋y＝1上，

∴a＋＝1，b＋＝1.

则b＝，即＋＝1，

化简得c＋＝1.

∴点P(c，)在直线l上，

又b＋＝1，则Q(，b)在直线l上．

故选A.

2.点M(1，2)与直线l：2x－4y＋3＝0的位置关系是(　　)

A．点M在直线l上

B．点M不在直线l上

C．点M与直线l重合

D．不确定

【答案】B

【解析】∵2×1－4×2＋3≠0，∴M∉l.

3.过点(－3，0)和(0，4)的直线的一般式方程为(　　)

A．4x＋3y＋12＝0

B．4x＋3y－12＝0

C．4x－3y＋12＝0

D．4x－3y－12＝0

【答案】C

【解析】由已知得方程为＋＝1，即4x－3y＋12＝0.

4.直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，那么l的方程为(　　)

A．3x－y－13＝0

B．3x－y＋13＝0

C．3x＋y－13＝0

D．3x＋y＋13＝0

【答案】C

【解析】∵直线l过点A(3，4)且与点B(－3，2)的距离最远，则直线l应该与直线AB垂直，

∴直线l的斜率为＝＝－3，

∴直线l的方程为y－4＝－3(x－3)，即3x＋y－13＝0，

故选C.

5.直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，而且它的斜率是直线x－y＝3的斜率的相反数，则(　　)

A．m＝－，n＝1

B．m＝－，n＝－3

C．m＝－，n＝－1

D．m＝，n＝1

【答案】D

【解析】∵直线mx＋ny＋3＝0在y轴上的截距为－3，

∴0－3n＋3＝0，解得n＝1.

∵直线x－y＝3的斜率为，

∴直线mx＋ny＋3＝0的斜率为－＝－，解得m＝.

∴m＝，n＝1.

故选D.

考点2 直线的一般式方程与直线的性质

6.如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【答案】C

【解析】∵直线Ax＋By＋C＝0可化为y＝－x－，

又AC＜0，BC＜0，

∴AB＞0，∴－<0，－>0，

∴直线过一、二、四象限，不过第三象限．

7.直线l的方程为Ax＋By＋C＝0，若直线l过原点和一、三象限，则(　　)

A．C＝0，B>0

B．A>0，B>0，C＝0

C．AB<0，C＝0

D．AB>0，C＝0

【答案】C

【解析】通过直线的斜率和截距进行判断．

8.已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图所示，则(　　)

A．若c＞0，则a＞0，b＞0

B．若c＞0，则a＜0，b＞0

C．若c＜0，则a＞0，b＜0

D．若c＜0，则a＞0，b＞0

【答案】D

【解析】由ax＋by＋c＝0，斜率k＝－，

直线在x、y轴上的截距分别为－、－.

如题图，k＜0，即－＜0，∴ab＞0.

∵－＞0，－＞0，∴ac＜0，bc＜0.

若c＜0，则a＞0，b＞0；若c＞0，则a＜0，b＜0.

9.直线x－y＝0的倾斜角为(　　)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

【答案】B

【解析】直线x－y＝0的斜率为1，设其倾斜角为α，则0°≤α＜180°，由tanα＝1，得α＝45°，故选B.

10.直线x＋2y＋1＝0在x轴上的截距是(　　)

A．1

B．－1

C．0.5

D．－0.5

【答案】B

【解析】令y＝0，则x＋1＝0，解得x＝－1，

即直线在x轴上的截距为－1.

故选B.

11.与直线l1：2x－y＋5＝0平行的直线l2，在y轴上的截距是－6，则l2与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　)

A．9

B．12

C．16

D．18

【答案】A

【解析】由题意知，直线l2的方程为y＝2x－6，它与两坐标轴的交点为(0，－6)和(3，0)，

∴它与两坐标轴围成的三角形的面积为×|3|×|－6|＝9，故选A.

考点3 直线的一般式方程与直线的平行关系

12.下列四种说法，不正确的是(　　)

A．每一条直线都有倾斜角

B．过点P(a，b)平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线方程为A(x－a)＋B(x－b)＝0

C．过点M(0，1)斜率为1的直线仅有1条

D．经过点Q(0，b)的直线都可以表示为y＝kx＋b

【答案】D

【解析】对于A，根据直线在直角坐标系里倾斜角的定义，可得每一条直线都有倾斜角，故A正确；

对于B，将点P(a，b)代入直线A(x－a)＋B(x－b)＝0，左右两边相等，

可得点P在直线A(x－a)＋B(x－b)＝0上，

又因为直线Ax＋By＋C＝0平行于直线A(x－a)＋B(x－b)＝0，故B正确；

对于C，利用斜截式，可得过点M(0，1)斜率为1的直线方程为y＝x＋1，

有且只有一条，故C正确；

对于D，经过点Q(0，b)且斜率为k的直线方程为

y＝kx＋b，

但是如果直线过点Q(0，b)且与x轴垂直，就没有斜率，故不可写成y＝kx＋b，

因此D项不正确．

故选D.

13.已知直线l：3x－4y－2＝0，则下列直线中，与l平行的是(　　)

A．3x－4y－1＝0

B．3x＋4y－1＝0

C．4x＋3y－1＝0

D．4x－3y－1＝0

【答案】A

【解析】由于与直线l：3x－4y－2＝0平行的直线方程为3x－4y＋c＝0的形式，故选A.

14.已知两条直线ax－2y－1＝0和6x＋4y＋b＝0平行，则a、b需要满足的条件是(　　)

A．a＝3

B．a＝－3，b≠2

C．a＝－3，b＝2

D．a＝－3

【答案】B

【解析】∵直线ax－2y－1＝0和6x＋4y＋b＝0平行，

∴斜率＝-，解得a＝－3.两条直线在y轴上的截距不相等，∴b≠2.故选B.

15.直线l过点P(－1，2)且与直线2x－3y＋4＝0平行，则直线l的方程是(　　)

A．3x＋2y－1＝0

B．3x＋2y＋7＝0

C．2x－3y＋5＝0

D．2x－3y＋8＝0

【答案】D

【解析】设所求的直线方程为2x－3y＋c＝0，把点P(－1，2)代入可得－2－6＋c＝0，c＝8，故所求的直线方程为2x－3y＋8＝0，故选D.

16.已知直线l1经过A(1，1)和B(3，2)，直线l2方程为2x－4y－3＝0.

(1)求直线l1的方程；

(2)判断直线l1与l2的位置关系，并说明理由．

【答案】(1)∵直线l1经过A(1，1)和B(3，2)，

由两点式求得直线l1的方程为，

即x－2y＋1＝0.

(2)由于直线l1的斜率为，在y轴上的截距为.而l2的斜率为，在y轴上的截距为，故直线l1与l2平行．

考点4 直线的一般式方程与直线的垂直关系

17.两条直线mx＋2ny＋3＝0与2nx－my＋4＝0(mn≠0)的位置关系是(　　)

A．平行

B．垂直

C．相交且不垂直

D．不确定，与m、n的取值有关

【答案】B

【解析】两条直线mx＋2ny＋3＝0与2nx－my＋4＝0的斜率分别为－、，它们的斜率互为负倒数，故这两条直线垂直，

故选B.

18.已知点A(2，0)，B(－2，4)，C(5，8)，若线段AB和CD有相同的垂直平分线，则点D的坐标是(　　)

A．(6，7)

B．(7，6)

C．(－5，－4)

D．(－4，－5)

【答案】A

【解析】设D(x，y)，∵A(2，0)，B(－2，4)，

∴AB中点为E(0，2)，AB的斜率k＝

＝－1，

∴AB的垂直平分线的斜率为1，且过点E(0，2)，

∴AB的垂直平分线的方程为y＝x＋2，

∴CD的中点F(，)在y＝x＋2上，

∴＝＋2，①

又CD的斜率＝－1，②

联立①②解得即D(6，7)．

故选A.

19.直线l1：kx＋(1－k)y＋3＝0和l2：(k－1)x－(2k＋3)y－4＝0互相垂直，则k的值是(　　)

A．－1

B．1

C．1或－1

D．0或±1

【答案】C

【解析】由直线l1：kx＋(1－k)y＋3＝0和l2：(k－1)x－(2k＋3)y－4＝0互相垂直，

可得k(k－1)－(1－k)(2k＋3)＝0，即3k2－3＝0，

解得k＝1或k＝－1，故选C.

20.与直线l1：mx－m2y＝1垂直于点P(2，1)的直线l2的方程为(　　)

A．x＋y－1＝0

B．x－y－3＝0

C．x－y－1＝0

D．x＋y－3＝0

【答案】D

【解析】点P(2，1)代入直线l1：mx－m2y＝1，可得m＝1，

所以直线l1的斜率为1，直线l2的斜率为－1，故可知方程为x＋y－3＝0，

故选D.

21.已知△ABC三边的方程为AB：3x－2y＋6＝0，AC：2x＋3y－22＝0，BC：3x＋4y－m＝0.判断三角形的形状．

【答案】直线AB的斜率为kAB＝，直线AC的斜率为kAC＝－，

所以kAB·kAC＝－1，所以直线AB与AC互相垂直，因此，△ABC为直角三角形．

【解析】

22.已知三角形的三个顶点是A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)．

(1)求AB边上的高所在直线的方程；

(2)求AC边上的中线所在直线的方程．

【答案】(1)∵A(4，0)，B(6，6)，C(0，2)，

∴kAB＝＝3，

∴AB边上的高所在直线的斜率k＝，

∴AB边上的高所在直线的方程为y－2＝，

整理得x＋3y－6＝0.

(2)∵AC边的中点为(2，1)，

∴AC边上的中线所在的直线方程为，

整理得5x－4y－6＝0.

考点5 直线的一般式方程与垂直、平行的关系

23.已知过点A(－2，m)和点B(m，4)的直线为l1，直线l2：2x＋y－1＝0，直线l3：x＋ny＋1＝0.若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为(　　)

A．－10

B．－2

C．0

D．8

【答案】A

【解析】由题意可得，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为－2，且l1∥l2，

∴＝－2，求得m＝－8.

由于直线l3的斜率为－，l2⊥l3，

∴－2×(－)＝－1，求得n＝－2，

∴m＋n＝－10，故选A.

24.已知两直线l1：mx＋8y＋n＝0和l2：2x＋my－1＝0.试确定m，n的值，使

(1)l1∥l2；

(2)l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

【答案】(1)当m＝0时，显然l1与l2不平行．当m≠0时，由＝≠得m·m－8×2＝0，得m＝±4，8×(－1)－n·m≠0，得n≠±2，即m＝4，n≠－2时或m＝－4，n≠2时，l1∥l2.

(2)当且仅当m·2＋8·m＝0，即m＝0时，l1⊥l2.

又－＝－1，∴n＝8.

即m＝0，n＝8时，l1⊥l2，且l1在y轴上的截距为－1.

25.如图，已知三角形的顶点为A(2，4)，B(0，－2)，C(－2，3)，求：

(1)直线AB的方程；

(2)AB边上的高所在直线的方程；

(3)AB的中位线所在的直线方程．

【答案】(1)由已知直线AB的斜率kAB＝＝3，

∴直线AB的方程为y＝3x－2，即3x－y－2＝0.

(2)设AB边上的高所在的直线方程为y＝－x＋m，由直线过点C(－2，3)，

∴3＝＋m，解得m＝，故所求直线为y＝－x＋，即x＋3y－7＝0.

(3)AB边的中位线与AB平行且过AC中点(0，)，

∴AB的中位线所在的直线方程为y＝3x＋，即6x－2y＋7＝0.

26.如图，在平行四边形OABC中，点C(1，3)，A(3，0)．

(1)求AB所在直线方程；

(2)过点C作CD⊥AB于点D，求CD所在直线的方程．

【答案】(1)∵AB∥OC，∴AD所在直线的斜率为kAB＝kOC＝＝3.

∴AB所在直线方程是y－0＝3(x－3)，

即3x－y－9＝0.

(2)在平行四边形OABC中，AB∥OC，

∵CD⊥AB，

∴CD⊥OC.∴CD所在直线的斜率为kCD＝－.

∴CD所在直线方程为y－3＝－(x－1)，

即x＋3y－10＝0.