人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题09 函数之一次函数和反比例函数综合问题（含解析）

专题09 函数之一次函数和反比例函数综合问题中考压轴题中函数之一次函数和反比例函数综合问题，选择、填空和解答三种题型都有，内容主要包括函数图象的分析，一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数和反比例函数的综合应用三方面的内容。一.函数图象的分析：1. 已知，则函数和 的图象大致是【    】A.    B.     C.    D. 【答案】B。【考点】一次函数和反比例函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，不等式的性质，排它法的应用。【分析】∵，∴双曲线 的图象在一、三象限。故排除C。            又∵函数的，∴直线与轴的交点在轴下方。故排除D。又∵，∴，即OB<OA。故排除A。故选B。2.教室里的饮水机接通电源就进入自动程序，开机加热时每分钟上升10℃，加热到100℃，停止加热，水温开始下降，此时水温（℃）与开机后用时（min）成反比例关系，直至水温降至20℃，饮水机关机。饮水机关机后即刻自动开机，重复上述自动程序。若在水温为20℃时，接通电源后，水温y（℃）和时间（min）的关系如图，为了在下午第一节下课时（14：30）能喝到健康卫生和水温适中的水（水沸腾后水温在20℃和50℃之间，含20℃和50℃），则接通电源的时间最晚是当天下午的         之间。【答案】13：50～14：14。 【考点】一次函数和反比例函数的图象分析，待定系数法的应用，曲线上点的坐标与方程的关系。二. 一次函数和反比例函数的交点问题：3 如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象交于点（2，1），则使y1＞y2的x的取值范围是【    】 A．0＜x＜2   B．x＞2     C．x＞2或-2＜x＜0    D．x＜－2或0＜x＜2【答案】D。 4.在同一直角坐标系下，直线y=x+2与双曲线的交点的个数为【    】　　A．0个　　B．1个　　C．2个　　D．不能确定【答案】B。【考点】反比例函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程。5. 已知一次函数y1=x+m的图象与反比例函数的图象交于A、B两点．已知当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2．（1）求一次函数的解析式；（2）已知双曲线在第一象限上有一点C到y轴的距离为3，求△ABC的面积．【答案】（1）y1=x+5   （2）21【解析】 解：（1）∵当x＞1时，y1＞y2；当0＜x＜1时，y1＜y2，∴点A的横坐标为1，代入反比例函数解析式，=y，解得y=6，∴点A的坐标为（1，6），又∵点A在一次函数图象上，∴1+m=6，解得m=5，∴一次函数的解析式为y1=x+5； 则点D的纵坐标为2，∴x+5=2，解得x=﹣3，∴点D的坐标为（﹣3，2），∴CD=3﹣（﹣3）=3+3=6，点A到CD的距离为6﹣2=4，考点：反比例函数与一次函数的交点问题．点评：本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，根据已知条件先判断出点A的横坐标是解题的关键． 三. 一次函数和反比例函数的综合应用问题：6. 如图，直线与双曲线交于E、F两点，与轴、轴分别交于A、B两点，点C，连结CA、CB、CE、CF，若，则=          。【答案】。【考点】直线与双曲线的综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰三角形的性质，相似三角形的性质。【分析】在中，令，解得；令，则。∴点A（2，0）、B（0，）。又∵C，∴CB=。在Rt△OAC中，由勾股定理得，CA==，∴CB=CA。7. 如图，已知一次函数的图象交反比例函数的图象于点A、B，交轴于点C。（1）求的取值范围；（2）若点A的坐标是(2，4)，且＝，求的值和一次函数的解析式。【答案】（1）∵反比例函数的图象在第四象限，∴，解得。（2）∵点A(2， 4)在函数图象上，∴，解得。∴反比例函数解析式为。∵一次函数的图象过点A(2， 4)、B(6，)，∴，解得。∴一次函数的解析式是。【考点】反比例函数图象的性质，点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，待定系数法，解二元一次方程组。