人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题16 静态几何之三角形问题（含解析）

专题16 静态几何之三角形问题

中考压轴题中静态几何之三角形问题，主要有三角形全等问题，三形角相似问题，等腰（边）三角形问题，直角三角形问题，解三角形应用问题。

一. 三角形全等问题

1如图，中，，，则由“”可以判定（　　）

Ａ．  Ｂ．

Ｃ．  Ｄ．以上答案都不对

【答案】B

【解析】

考点：本题考查三角形全等的判定方法

点评：判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

2. 如图，已知△ABC中，AB=AC，∠ADB=∠AEC，那么图中有　   　对全等三角形。

【答案】3。

【考点】等腰三角形的性质，全等三角形的判定。

二. 三形角相似问题

3. 已知：如图，，当为多少时，图中的两个三角形相似．

【答案】为3.6或4.8

【解析】

考点：相似三角形的判定和性质

点评：分类讨论问题是初中数学的重点和难点，是中考的热点，一般是中考压轴题，难度较大，需特别注意.

4. 如图，已知△ABC中，AB＝，AC＝，BC＝6，点M在AB边上，且AM=BM，在线段AC上取点N，使△AMN与△ABC相似，求线段MN的长。

【答案】①如图1，过点M作MN∥BC交AC于点N，

则△AMN∽△ABC，

∴。

∵AM=BM，∴。

∵BC＝6，∴MN=2。

【考点】相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。

【分析】作MN∥BC交AC于点N，由△AMN∽△ABC可得MN的长；作∠AMN=∠B，利用△AMN∽△ACB可得MN的长。

三. 等腰（边）三角形问题

5. 如图，矩形ABCD的BC边在直线l上，AD=5，AB=3， P为直线l上的点，且△AEP是腰长为5的等腰三角形，则BP=        

【答案】4或1或9。

【考点】矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，分类思想的应用。

【分析】如图，根据题意，

6. 在正方形ABCD中，点E在BC边所在直线上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB。

证明：△BGF是等腰直角三角形。

【答案】（1）如图1，若点E在BC边上，

∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE=90°。

∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，∴。

在Rt△ABE中，同理可得。

∴GF=GB。∴△BGF为等腰三角形。

又∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠BGE∠EGF=2（∠BAG∠GAF）=2∠BAC=90°。

∴△BGF为等腰直角三角形。

（3）如图3，若点E在CB的延长线上，

同（1）可证△BGF为等腰三角形，

∵AG=BG，AG=FG，∴∠BGE=2∠BAG，∠EGF=2∠GAF。

又∵∠BAC=45°，∴∠BGF=∠EGF ∠BGE =2（∠GAF ∠BAG）=2∠BAC=90°。

∴△BGF为等腰直角三角形。

综上所述，△BGF是等腰直角三角形。

【考点】等腰直角三角形的判定，正方形的性质，直角三角形斜边上中线的性质，三角形外角性质。

【分析】分点E在BC边上，在BC的延长线上，点E在CB的延长线上三种情况证明即可。

四. 直角三角形问题

7. 阅读下面短文：如图1，△ABC是直角三角形，∠C=90°，现将△ABC补成长方形，使△ABC的两个顶点为长方形一边的两个端点，第三个顶点落在长方形这一边的对边上，那么符合要求的长方形可以画出两个：长方形ACBD和长方形AEFB（如图2）。

解答问题：

（1）设图2中长方形ACBD和长方形AEFB的面积分别为S1，S2，则S1    S2（填“＞”、“＝”或“＜”）

（2）如图3，△ABC是钝角三角形，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出        个，利用图3把它画出来。

（3）如图4，△ABC是锐角三角形且三边满足BC＞AC＞AB，按短文中的要求把它补成长方形，那么符合要求的长方形可以画出       个，利用图4把它画出来。

（4）在（3）中所画出的长方形中，哪一个的周长最小？为什么？

【答案】（1）=；（2）1；（3）3；（4）以AB为边的长方形。

【解析】

（1）=；

（2）1；

（3）3；

（4）以AB为边长的长方形周长最小，

设长方形BCED，ACHQ，ABGF的周长分别为，，，BC=a，AC=b，AB=c．易得三个长方形的面积相等，设为S，

，

，同理可得

∴以AB为边长的长方形周长最小．

考点：本题考查的是直角三角形的综合应用

点评：解决此题的关键是注意运用类比的方法画图；要比较两个数或式子的大小，一般采用求差法．

8. 如图，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD，AC= cm，则四边形ABCD的面积是         cm2。

【答案】24。

【考点】多边形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质。转换思想的应用。

五. 解三角形应用问题

9. 如图，已知△ABC，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，点D在BC上，AD=BD，则AD的长是

         ，cosB的值是         (结果保留根号)。

【答案】；。

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义。

【分析】可以证明△ABC∽△BDA，设AD＝x，根据相似三角形的对应边的比相等，即可列出方程，求得x的值；过点D作DE⊥AB于点E，则E为AB中点，由余弦定义可求出cosB的值：

∵ 在△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝108°，∴ ∠ABC＝∠ACB＝＝36°。

∵AD=BD，∴∠ABD＝∠BAD＝36°。∴ △ABC∽△BDA。∴ 。

∵∠BAC＝108°，∠BAD＝36°，∴∠CAD＝72°。

又∵∠ACB＝36°，∴∠CDA＝72°。∴∠CAD＝∠CDA＝72°。∴CD=CA=1。

设AD＝x，则BD＝AD＝x，BC＝，

∴（舍去负值）。

∴AD＝x＝。

10. 某校初三年级“数学兴趣小组”实地测量操场旗杆的高度．旗杆的影子落在操场和操场边的土坡上，如图所示，测得在操场上的影长BC=20 m，斜坡上的影长CD=2m，已知斜坡CD与操场平面的夹角为45°，同时测得身高l.65m的学生在操场 上的影长为3.3 m．求旗杆AB的高度。(结果精确到1m)

  (提示：同一时刻物高与影长成正比．参考数据：≈1.414．≈1.732．≈2.236)

【答案】过D点作CE的垂线，垂足为点F，连接AD并延长交CE于点G，设学生的身高为MN。

【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质。

【分析】如图，作出旗杆AB的在地面的影长BG，再根据同时测得的身高l.65m学生在操场上的影长为3.3 m和∠DCF=45°即可求解。