人教版华师大北师大版等通用版 中考数学 专题28 动态几何之双（多）动点形成的面积问题（含解析）

专题28 动态几何之双（多）动点形成的面积问题

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈。动态题是近年来中考的的一个热点问题，以运动的观点探究几何图形的变化规律问题，称之为动态几何问题，随之产生的动态几何试题就是研究在几何图形的运动中，伴随着出现一定的图形位置、数量关系的“变”与“不变”性的试题，就其运动对象而言，有点动、线动、面动三大类，就其运动形式而言，有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等，就问题类型而言，有函数关系和图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、定值问题和存在性问题等。解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解，而静态问题又是动态问题的特殊情况。以动态几何问题为基架而精心设计的考题，可谓璀璨夺目、精彩四射。

   动态几何形成的面积问题是动态几何中的基本类型，包括单动点形成的面积问题，双（多）动点形成的面积问题，线动形成的面积问题，面动形成的面积问题。本专题原创编写双（多）动点形成的面积问题模拟题。

在中考压轴题中，双（多）动点形成的面积问题的重点和难点在于应用数形结合的思想准确地进行分类。

1. 如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4．动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达A点后立刻以原来的速度沿AB返回．点P、Q运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时停止运动，点Q也同时停止．连接PQ，设运动时间为t（t >0）秒．

（1）求线段AC的长度；

（2）当点Q从点B向点A运动时（未到达A点），求△APQ的面积S关于t的函数关系式，并写出t的取值范围；

（3）伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线为l：

①当l经过点A时，射线QP交AD于点E，求AE的长；

②当l经过点B时，求t的值．

【答案】（1）5  （2），     （3）3、t＝2.5，

【解析】

试题分析：（1）在矩形ABCD中，         

（2）过点P作PH⊥AB于点H，AP=t，AQ =3－t，

由△AHP∽△ABC，得，∴PH=，

 ，  

. 

②（ⅰ）如图③，当点Q从B向A运动时l经过点B，

BQ＝CP＝AP＝t，∠QBP＝∠QAP  

∵∠QBP＋∠PBC＝90°，∠QAP＋∠PCB＝90°

∴∠PBC＝∠PCB   CP＝BP＝AP＝t      

∴CP＝AP＝AC＝×5＝2.5　∴t＝2.5．    

（ⅱ）如图④，当点Q从A向B运动时l经过点B，

考点：矩形、相似三角形

点评：本题考查矩形，相似三角形，要求考生掌握矩形的性质，相似三角形的判定方法，会判定两个三角形相似

2. 如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B的坐标分别为（8，0）、（0，6）．动点Q从点O、动点P从点A同时出发，分别沿着OA方向、AB方向均以1个单位长度/秒的速度匀速运动，运动时间为t（秒）（0＜t≤5）．以P为圆心，PA长为半径的⊙P与AB、OA的另一个交点分别为点C、D，连结CD、QC．

（1）当t为何值时，点Q与点D重合？

（2）当t为何值时，DQ=2AD？

（3）求线段QC所在直线与⊙P相切时t的值。

【答案】（1）∵A（8，0），B（0，6），∴OA=8，OB=6。∴。

∵点Q的速度是1个单位长度/秒，∴OQ=t。∴AQ=OA－OQ=8－t。

∵⊙P的直径为AC，∴∠ADC=90°。

∴，即，解得。

当点Q与点D重合时，AD=AQ，∴，解得。

∴当时，点Q与点D重合。

     （3）线段QC所在直线与⊙P相切时，CQ⊥AB，AQ=8－t，

∵∠BAO=∠QAC，∠AOB=∠ACQ=90°，∴△ACQ∽△AOB。

∴，即，解得t=。

∴线段QC所在直线与⊙P相切时，。

【考点】双动点问题，勾股定理，圆周角定理，锐角三角函数定义，切线的性质，相似三角形的判定与性质。

【分析】（1）根据点A、B的坐标求出OA、OB，利用勾股定理列式求出AB，根据点Q的速度表示出OQ，然后求出AQ，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠ADC=90°，再利用∠BAO的余弦表示出AD，然后列出方程求解即可。

（2）根据DQ=2AD列式求解即可。

（3）根据切线的性质，得到△ACQ∽△AOB，根据相似比列式求解即可。

3. 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P，Q同时从A点出发，沿AB→BC→CD向D点运动，点P的速度是每秒2个单位长度，点Q的速度是每秒1个单位长度，当P运动到D点时，P、Q两点同时停止运动。设P点运动的时间为t，△APQ的面积为S，则S与t的函数关系式是         。

【答案】。

【考点】动点问题的函数图象，正方形的性质，分类和转换思想的应用。

【分析】根据题意，动点P，Q运动的位置有三种形式：

点P，Q都在AB上，此时0≤t≤2，S=0。

            点P在BC上，点Q在AB上，如图1，此时2＜t≤4，

由题意得， AQ=t，BP=，

。

∴

。

综上所述，S与t的函数关系式是。

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO是梯形，其中A（4，0），B（3，），C（1，），动点P从点A以每秒1个单位的速度向点O运动，动点Q也同时从点A沿A→B→ C→O的线路以每秒2个单位的速度向点O运动，当点P到达A点时，点Q也随之停止，设点P、Q运动的时间为t（秒）。求△OPQ的面积S与时间t的函数关系式。

【答案】∵A（4，0），B（3，），C（1，），

∴可求BC=2，OC=2，OA=4，AB=2。

∴梯形ABCO是等腰梯形，且易求∠COA=∠BAO=600。

分三种情况讨论：

当点P在OA边上运动，点Q在AB边上运动时，如图1，0≤t≤1。

过点Q作QE⊥x轴的于点E，

则OP=，AQ=，QE=。

 ∴。

当点P在OA边上运动，点Q在BC边上运动时，如图2，1＜t≤2。

过点B作BF⊥x轴的于点F，

则OP=， BF=。

∴。

【考点】双动点问题，等腰梯形的性质，由实际问题列函数关系式，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，分类思想的应用。

【分析】分0≤t≤1，1＜t≤2和2＜t≤3三种情况讨论。

5. 如图，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C、D作抛物线，与x轴的另一交点为E，连结CE。

（1）求点A、B、C、D的坐标；

（2）已知抛物线的对称轴l交x轴于点F，交线段CD于点K，点M、N分别是直线l和x轴上的动点，连结MN，当线段MN恰好被BC垂直平分时，求点N的坐标；

（3）在满足（2）的条件下，过点M作一条直线，使之将四边形ABCD的面积分为2：3的两部分，设该直线与x轴交于点P，求点P的坐标。

【答案】（1）在抛物线中，令，解得，∴A（2，0）。

                令，解得，∴D（0，4）。

                ∵ 的对称轴为，点C、D关于x轴对称，∴C（）。

                ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD=5。∴B（）。

则点M的坐标为（，），即GF= MF=，BF=。

∴。

又∵MN被BC垂直平分，∴BM=BN=。

∴BN=OB+BN=3+。

∴点N的坐标为（，0）。

（3）如图2，过点M作直线交x轴于点P，交CD于点Q，

易求四边形ABCD的面积为20，

设四边形PBCQ的面积为S，点P的坐标为（a，0），则

若点P在对称轴的左侧，则FP=，，CQ=，PB=。

当S=8时，，解得。

当S=12时，，解得，小于，超出AB的范围。

若点P在对称轴的右侧，则FP=，，CQ=，PB=。

当S=8时，，解得，与点P在对称轴的右侧不符。

当S=12时，，解得，与点P在对称轴的右侧不符。

综上所述，满足条件的点P的坐标为。

【考点】二次函数综合题，双动点问题，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的性质，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，分类思想的应用。