专题3.2 二项式定理与杨辉三角（B卷提升篇）（解析版）-2020-2021学年高中数学新教材（人教B）同步单元双基双测AB卷

专题3.2二项式定理与杨辉三角（B卷提升篇）

参考答案与试题解析

第Ⅰ卷（选择题）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（2020·河南项城市第三高级中学高二月考（理））的展开式中含项的系数为（    ）

A．160 B．210 C．120 D．252

【答案】D

【解析】

，，当时，.故选D.

2．（2020·浙江高三月考）二项式的展开式中，所有有理项的系数和是（    ）

A． B． C．6 D．8

【答案】D

【解析】

由题意二项式展开式的通项公式为，

当时，则；

当时，则；

当时，则；

所以所有有理项的系数和为.

故选：D.

3．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））若，且, 则实数的值为

A．1或3 B．-3 C．1 D．1或 -3

【答案】D

【解析】

令得：，而，所以有

.

令得：，因此有，解得，或，故选：D

4．（2020·云南省下关第一中学高二月考（理））展开式中含x的项的系数为（    ）

A．-112 B．112 C．-513 D．513

【答案】C

【解析】

当项出时，5个括号均出；

当项出时，5个括号有2个出，3个出；

所以展开式中含的项为：.

所以含的项的系数为.

故选：C.

5．（2020·湖北江岸�高三期末（理））杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在我国南宋数学家杨辉所著的《评解九章算法》（年）一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律，现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：，，，，，，，，，，，，，，……．记作数列，若数列的前项和为，则＝（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

将1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，．

分组为（1），，，2，，，3，3，，，4，6，4，

则第组个数且第组个数之和为，

设在第组中，

则，

解得：，

即在第11组中且为第11组中的第2个数，即为，

则，

故选：C．

6．（2020·安徽高三月考（理））若展开式中的常数项是60，则实数的值为（    ）

A．±3 B．±2

C．3 D．2

【答案】B

【解析】

由的通项公式为，结合知：

当为常数项时，有，即(舍去)

当为常数项时，有，即

又∵展开式的常数项为60

∴，解得

故选：B

7．（2020·沙坪坝�重庆八中高二月考）若多项式，则（   ）

A．9 B．10 C．-9 D．-10

【答案】D

【解析】

，

，根据已知条件得 的系数为0， 的系数为1  故选D.

8．（2020·四川三台中学实验学校高二月考（理））在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（    ）

A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360

【答案】B

【解析】

∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大，

∴展开式共有7项，则n＝6，

则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k（）k＝（﹣2）kCx6﹣2k，

由6﹣2k＝0得k＝3，

即常数项为T4＝（﹣2）3C160，

故选：B．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。

9．（2020·广东高二期末）若的展开式中含项，则的值可能是（    ）

A．6 B．9 C．12 D．14

【答案】BD

【解析】

因为的展开式的通项为：，

令得，

因为，若，则；故B正确；

若，则；故D正确；

故选：BD.

10．（2020·山东省泰安第二中学高二开学考试）已知的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等，且展开式的各项系数之和为1024，则下列说法正确的是（    ）

A．展开式中奇数项的二项式系数和为256

B．展开式中第6项的系数最大

C．展开式中存在常数项

D．展开式中含项的系数为45

【答案】BCD

【解析】

由二项式的展开式中第5项与第7项的二项数系数相等可知,

又展开式的各项系数之和为1024,即当时,,所以,

所以二项式为,

则二项式系数和为,则奇数项的二项式系数和为,故A错误；

由可知展开式共有11项,中间项的二项式系数最大,即第6项的二项式系数最大,

因为与的系数均为1,则该二项式展开式的二项式系数与系数相同,所以第6项的系数最大,故B正确；

若展开式中存在常数项,由通项可得,解得,故C正确；

由通项可得,解得,所以系数为,故D正确,

故选: BCD

11．（2020·江苏南京�高三开学考试）已知，则（    ）

A．的值为2 B．的值为16

C．的值为﹣5 D．的值为120

【答案】ABC

【解析】

令x＝0，得，故A正确；

，故，B正确；

令x＝1，得①，

又，∴，故C正确；

令x＝﹣1，得②，由①②得：，D错误．

故选：ABC

12．（2020·山东枣庄�高二期末）下面结论正确的是（    ）

A．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为35

B．1×1!+2×2!+…+nn!＝（n+1）!﹣1（n∈N*）

C．（n+1）＝（m+1）（n＞m，）

D．（）

【答案】BCD

【解析】

．若3个班分别从5个风景点中选择一处游览，则不同的选法种数为，因此不正确；

．，

！！，因此正确；

．，，，，因此正确；

．由二项式定理可得：的展开式的奇数项与偶数项的二项式系数相等，可得：，因此正确．

故选：BCD．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．（2021·广西钦州一中高三开学考试（理））的展开式中含的项的系数为8，则__________.

【答案】2

【解析】

因为二项式展开式的通项为：，

令，解得，

所以.

故答案为：2.

14．（2020·山东滕州市第一中学新校高二月考）杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书记载.在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，它出现要比杨辉三角迟393年.那么，第15行第13个数是_____.（用数字作答）

【答案】455

【解析】

第1行：，，第2行：，第3行：，第4行：，

观察可得第n行第r个数为，

所以第15行第13个数为.

故答案为：455

15．（2020·临猗县临晋中学高二期末（理））已知(1＋3x)n的展开式中，后三项的二项式系数的和等于121，则展开式中二项式系数最大的项是第________项..

【答案】8和9

【解析】

由题意可得，，即，解得，

∵，

故展开式中二项式系数的最大的项为第8项或第9项，

故答案为：8和9.

16．（2020·全国高三其他（理））已知展开式的前三项系数成等差数列，则______，其展开式中的有理项依次为______．

【答案】8    ，，．   

【解析】

根据题意，前三项系数依次为，，，

因为前三项系数成等差数列，

则有，

整理得，解得，

设第项为展开式的有理项，于是，

当时，为有理项，

又且，于是，共有三项，即依次为，，．

故答案为：8；，，．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（2020·西夏�宁夏大学附属中学高二期末（理））已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等，

（1）求，

（2）求展开式中的一次项的系数.

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由第4项和第9项的二项式系数相等可得

解得

（2）由（1）知，展开式的第项为：

令得

此时

所以，展开式中的一次项的系数为

18．（2020·重庆高二期末）已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为256，其中实数a为常数.

（1）求n的值；

（2）若展开式中二项式系数最大的项的系数为70，求a的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题知，二项式系数和，故；

（2）二项式系数分别为，根据其单调性知其中最大，

即为展开式中第5项，∴，即.

19．（2020·江苏省海头高级中学高二月考）二项式展开式中第五项的二项式系数是第三项系数的4倍.求：

（1）；

（2）展开式中的所有的有理项.

【答案】（1）6；（2），，

【解析】

（1）二项展开式的通项.

依题意得，，

所以，

解得.

（2）由（1）得，

当，3，6时为有理项，

故有理有，，.

20．（2020·海林市朝鲜族中学高二期末（理））已知(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a7x7，求：

(1)a1＋a2＋…＋a7；

(2)a1＋a3＋a5＋a7；

(3)a0＋a2＋a4＋a6；

(4)|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a7|.

【答案】(1)；(2)；(3)；(4).

【解析】

根据所给的等式求得常数项，令，

则

在所给的等式中，令，

可得：     ①

令，

则      ②

用①②再除以可得

用①②再除以可得

在中，令，

可得

21．（2020·山东莱州一中高二期末）二项式的二项式系数和为256.

（1）求展开式中二项式系数最大的项；

（2）求展开式中各项的系数和；

（3）展开式中是否有有理项，若有，求系数；若没有，说明理由.

【答案】(1);(2);(3)见解析.

【解析】

因为二项式的二项式系数和为256，所以，

解得.

（1）∵，则展开式的通项 .

∴二项式系数最大的项为；

（2）令二项式中的，则二项展开式中各项的系数和为.

（3）由通项公式及且得当时为有理项；

系数分别为，，.

22．（2020·济宁市育才中学高二月考）（1）若的展开式中项的系数为20，求的最小值.  

（2）已知 ，若 ，求 .

【答案】（1）；（2）；

【解析】

（1）的展开式的通项公式为，

令，求得，故的展开式中项的系数为

，即，

，当且仅当时等号成立．

（2）令得

即

即

令得

解得