专题04 解三角形（解答题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题04 解三角形（解答题）
1．在中，角，，的对边分别为，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）对已知等式利用正弦定理将角化边，再利用余弦定理求得的值，进而求得角的大小．（2）利用正弦定理将转化为角的形式，然后利用三角函数求取值范围的方法，求得的取值范围．
【解析】（1）由，利用正弦定理可得：，化为．
由余弦定理可得：，，所以．
（2）在中有正弦定理得，又，
所以，，
故，
因为且，故且，所以，，
故的取值范围是．
2．已知的内角，，所对的边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，依次成等比数列，求的值．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理进行边化角，再利用两角差的余弦公式进一步化简可求得，从而求得角B；（2）由等比数列的性质可得，再利用正弦定理进行边化角，带入通分后的式子即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
又中，，故，
即，化简得，又，所以角的大小为．
（2）由，，依次成等比数列得，由正弦定理得，
故．
3．在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并解答．已知的内角的对边分别为，，而且_____．
（1）求；
（2）求周长的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】湖南师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）最大值为．
【解析】（1）选①，把，整理得，
由余弦定理得，因为，所以．
选②，因为，
由正弦定理，可得，
因为，则，所以，可得，
又，所以，故，即．
选③，因为，
由正弦定理得：，即，
所以，因为，所以．
（2）由（1）可知，，
在中，由余弦定理得，即，
所以，当且仅当时取等号，
所以，所以，即周长的最大值为．
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理的应用，其中利用正弦、余弦定理可以很好地解决三角形的边角关系，熟练掌握定理、合理运用是解本题的关键．通常当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解．
4．已知的内角，，满足，的面积为．
（1）求；
（2），求的周长．
【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由已知条件，根据角化边公式化简得，再利用余弦定理求出，即可得的值；（2）根据题意，结合正弦定理可得，再利用三角形面积公式得出，根据余弦定理可得，即可求得的周长．
【解析】（1）设内角，，的对边分别为，，，
，
可得，化简可得，
由余弦定理可得，，，．
（2）因为，，则，
所以，
由，，因为，，
，，所以的周长为．
5．，，分别为内角，，的对边．已知，．
（1）求；
（2）若，求内切圆的半径．
【试题来源】河南省郑州市示范性高中2020-2021学年高三阶段性考试（三）（文）
【答案】（1）或；（2）或．
【分析】（1）由正弦定理得，化简即得解；
（2）先求出的面积，再对分类讨论求出内切圆的半径．
【解析】（1）由，得，
因为，所以，所以．
因为，所以，因为，故或．
（2）的面积．
当时，由余弦定理得，即，
设内切圆的半径为，则，所以，
则内切圆的半径．
当时，同理可得，
则内切圆的半径．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．
6．在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．
在中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，设的面积为S，已知_____________．
（1）求tanB的值；
（2）若，，求b的值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）选择条件①，由余弦定理化边为角即可求出；选择条件②，由正弦定理化边为角可解出；（2）由，得，再由面积公式可求出，利用余弦定理即可求出．
【解析】（1）选择条件①．由題意得．即
整理可得，所以．选择条件②．因为，
由正弦定理得，，，
即，在中，，所以，
，所以．
（2）由，得，又， ，
则，解得．
由余弦定理得：，即．
7．如图，在直角中，，，，点在线段上．

（1）若，求的长；
（2）点是线段上一点，，且，求的值．
【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（二）
【答案】（1）3；（2）．
【分析】（1）在中，利用正弦定理即可得到答案；
（2）由可得，在中，利用及余弦定理得，解方程组即可．
【解析】（1）在中，已知，，，由正弦定理，
得，解得．
（2）因为，所以，
解得．在中，由余弦定理得，
，
即，
，故．
8．已知，，分别为内角，，的对边，若同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？
（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应的面积．
【试题来源】山东师范大学附属中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（10月）
【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案见解析
【分析】（1）由①可得，由②，结合二倍角公式，可求得，即，易知①②不能同时成立，进而可得满足题意的组合为①③④或②③④；
（2）若选择①③④，先求出，进而由余弦定理，建立关系式，可求出，再利用，可求出答案；若选②③④，由余弦定理，建立关系式，可求出，进而由，可得答案．
【解析】（1）由①，可得；
由②，可得，
解得（舍）或，由，可得．
所以①②不能同时成立，故满足有解三角形的序号组合有①③④或②③④．
（2）若选择①③④，则，
由余弦定理，即，整理得，解得或（舍去），
所以；
若选择②③④，由②得，由余弦定理，即，解得，所以．
【名师点睛】本题考查解三角形，考查三角函数的性质，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题．
9．如图，在中，点在边上，，，．

（1）求边的长；
（2）若的面积是，求的值．
【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高一下学期期末
【答案】（1）2（2）
【分析】（1）在中利用余弦定理可以求出．
（2）由（1）得为等边三角形，其边的高线为的高线，根据已知的面积可以得到的长，根据余弦定理可以得到的长，再利用正弦定理可以求出．
【解析】（1）在中，设，则由余弦定理得：
，
即：，解之得：，即边的长为2．
（2）由（1）得为等边三角形，作于，则，
所以，故 ，，
所以在中，由余弦定理得：
所以在中由正弦定理得： ，
所以，所以
【名师点睛】三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量．
（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；
（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；
（3）如果知道两角及一边，用正弦定理．
10．的内角的对边分别为，设．
（1）求；
（2）若依次成等差数列，且的外接圆的面积为，求的面积．
【试题来源】安徽省四校2020-2021学年高三上学期适应性测试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）首先利用化简，利用三角恒等变形转化为，求角；（2）首先根据三角形外接圆的面积求得，再根据正弦定理求，再根据条件，求，利用余弦定理求，最后再求三角形的面积．
【解析】（1）由已知条件得，，
去分母并移项得，．
而．，
因此．因为，所以．又，所以．
（2）因为的外接圆的面积为．所以的外接圆半径为．
根据正弦定理得，解得．由依次成等差数列知，．
由余弦定理得，，配方得，所以．
所以．
【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，三角恒等变换，重点考查转化与变形，计算能力，属于中档题型．
11．在中，，，分别为角，，对边，且同时满足下列四个条件中的三个：①；②；③；④．
（1）满足有解的序号组合有哪些？
（2）在（1）的组合中任选一组，求的面积．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】（1）①③④或②③④；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）利用余弦定理由条件①得，由条件②得，由于，与矛盾，所以不能同时满足①②，经验证①③④作为条件和②③④作为条件，都有解，（2）若选择组合①③④，由计算出，再利用三角形面积公式即可求出结果，若选择组合②③④，因为，利用勾股定理求出的值，再利用三角形面积公式即可求出结果．
【解析】（1）由条件①得，
由条件②得，即，
解得或（舍），因为，所以．
因为，，
而在单减，所以．
于是，与矛盾．所以不能同时满足①②．
当①③④作为条件时：有，即，
解得．所以有解．
当②③④作为条件时：有，即．解得．
因为，所以，为直角三角形，所以有解．
综上所述，满足有解三角形的所有组合为①③④或②③④．
（2）若选择组合①③④：因为，
所以．
所以的面积．
若选择组合②③④：因为，所以，
所以的面积．
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的运用，考查了考生的计算能力和解决问题的能力，属于中档题．
12．如图所示，在中，点D为边上一点，且， E为的中点，，，．

（1）求的长；
（2）求的面积．
【试题来源】黑龙江省大庆实验中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（文）
【答案】（1）2；（2）
【分析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用两角和的正弦函数公式可求的值，进而根据正弦定理可得的值．
（2）由（1）知，依题意得，在中，由余弦定理解得的值，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【解析】（1）在中，因为，，
所以，
所以，
由正弦定理知，得．
（2）由（1）知，依题意得，
在中，由余弦定理得，
即，
所以，解得，（负值舍去），
所以，
从而．

【名师点睛】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角和的正弦函数公式，正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
13．在中，角A，B，C对边分别为若．
（1）求角A；
（2）若，且的外接圆半径为1，求的面积．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（理）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）根据正弦定理边化角以及正弦的和角公式化简求解即可．（2）根据正弦定理与的外接圆半径为1，结合（1）中可得，再根据余弦定理结合可得，再根据面积公式求解即可．
【解析】（1）因为．
由正弦定理得，从而可得，
又C为三角形的内角，所以，于是，又A为三角形内角，因此．
（2）设的外接圆半径为R，则，，
由余弦定理得，即，
所以．所以的面积为．
14．在中，，是上一点，且．
（1）若，求；
（2）求．
【试题来源】云南师大附中2020届高三（下）月考（理）（七）
【答案】（1）3；（2）
【解析】（1），在中，由余弦定理可知，
，
所以为等腰三角形，所以，
所以，所以，所以．
（2）法一：设，在中，，
又，，在中，由正弦定理知，
即，所以，
．
法二：由，
得，
两边同时除以，得（张角定理），
即，．
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，需熟记定理的内容，属于中档题．
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求角A的大小；
（2）若，试判断的形状并给出证明．
【试题来源】河南省名校联盟2020届高三（6月份）高考数学（（理））联考试题
【答案】（1）；（2）为等边三角形，证明见解析．
【分析】（1）利用正弦定理将角化边，再由余弦定理计算可得；（2）由正弦定理边化角及诱导公式、两角和的正弦公式可得，即可得到，从而得到三角形的形状．
【解析】（1），
由正弦定理得，
，根据余弦定理知．
又角A为的内角，．
（2）为等边三角形，，由正弦定理得．
由三角形内角和公式得，故，
，整理得，
，又，．
又由（1）知，为等边三角形．
【名师点睛】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦公式的应用，属于中档题．
16．在中，角、、所对的边长是、、，向量，且满足．
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的最大值．
【试题来源】河南省许昌市、济源市、平顶山市2020届高三数学（（理））第三次质检试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用向量模的坐标运算可得出，利用余弦定理可求得的值，结合角的取值范围可求得角的值；（2）利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，进而可得出的周长的最大值．
【解析】（1）且，，
由余弦定理得，，因此，；
（2）由，及余弦定理得，
即，
，，当且仅当时，等号成立，
因此，的周长的最大值为．
【名师点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，考查了利用坐标计算平面向量的模，同时也考查了利用基本不等式计算三角形周长的最值，考查计算能力，属于中等题．
17．中，角，，的对边分别为，，，且．
（1）求角的大小；
（2）若为边上的中线，，，求的面积．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】（1）．（2）．
【分析】（1）由正弦定理，得，化简得到，进而求得，即可求得的大小；（2）在中，由余弦定理化简得，再由正弦定理和两角和的正弦函数公式，化简得到，求得的值，利用面积公式，即可求解．
【解析】（1）由题意，在中满足，
由正弦定理，得，
又由，所以，
所以，所以，
又因为，则，所以，又由，所以．
（2）在中，由余弦定理，可得，
整理得…①，在中，由正弦定理得，
又由，可得，
所以，所以……②，
由①，②解得，所以．
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，以及三角恒等变换的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
18．的内角，，的对边分别为，，．
（1）求的三个角中最大角的大小；
（2）秦九韶是我国古代最有成就的数学家之一，被美国著名科学史家萨顿赞誉“秦九韶是他那个民族，他那个时代，并且确实也是那个时代最伟大的数学家之一”．他的数学巨著《数书九章》中的大衍求一术、三斜求积术和秦九韶算法是有世界意义的重要贡献；他提出的三斜求积术可以已知三边求三角形的面积．试用余弦定理推导该公式，并用该公式求的面积．
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理求出cosC的值，即可确定出C的度数；（2）利用三角形面积公式，以及，且，从而证明结论的成立，代入、、即可求出三角形ABC面积．
【解析】（1）因为、、所以角最大．由余弦定理得：
，又角为内角，所以．
（2）在中，
因为，且
所以
，即证．
当、、时，
，
即面积为．
【名师点睛】此题考查了余弦定理，以及三角形的面积公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键，属于基础题．
19．的内角A，B，C所对的边分别为
（1）若成等差数列，证明：
（2）若成等比数列，且，求的值
【试题来源】河南省南阳市六校2020-2021学年高二上学期第一次联考
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】（1）由等差数列的结论可得，正弦定理得，．
（2）由等比数列的结论可得，据此可得：，
则．
20．在中，内角，，的对边分别为，，，且满足，．
（1）求角；
（2）若，求的面积．
【试题来源】河南省商丘市驻马店市周口市部分学校联考2020-2021学年高三10月质量检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换可得，进而可得，即可得解；
（2）由余弦定理可得，进而可得，再由三角形面积公式即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
由可得，
由得，所以，
所以，由可得；
（2）由余弦定理及可得，即，
由可得，所以的面积．
【名师点睛】本题考查了三角恒等变换及解三角形的综合应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
21．内角，，的对边分别是，，，其外接圆半径为，面积，．
（1）求；
（2）若，求的值．
【试题来源】湖南三湘名校教育联盟2020届高三第二次大联考（文）
【答案】（1）（2）
【分析】（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和与差的余弦公式，求得的值，由此求得的大小，进而求得的大小．
（2）根据正弦定理求得，由此求得，结合余弦定理列方程，求得，化简后求得的值．
【解析】（1）由已知及正弦定理可得，即，所以，
因为，所以，
所以，
所以，．
（2），，所以，
由已知及余弦定理得，，
所以，．
【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查两角和与差的余弦公式，属于基础题．
22．在中，设角的对边分别为，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的取值范围．
【试题来源】江苏省南京师范大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末模拟
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由三角函数的平方关系及余弦定理即可得出（2）利用正弦定理、两角和差的正弦公式、三角函数的单调性转化为三角函数求值域即可得出．
【解析】（1）由题意知，
即，由正弦定理得
由余弦定理得，又．
（2），则的周长
．
，
，
周长的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查了三角函数的平方关系，正余弦定理，两角和差的正弦公式，三角函数的单调性，属于中档题．
23．在①；②；③（），这三个条件中，任选一个补充在下面问题中的横线处，并加以解答．
已知的内角，，的对边分别为，，，若，的面积为4，______，求及．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省张家口市邢台市衡水市2021届高三上学期摸底联考（新高考）
【答案】．．
【分析】选①，用正弦定理化角为边，再用两角和公式求出，再由面积公式求出，，再由余弦定理可求出
选②，用正弦定理化角为边，再用两角和公式的求出，，再由面积公式求出，，再由余弦定理可求出
选③，利用倍角公式，两角和公式以及面积公式和余弦定理即可求解
【解析】若选①：由正弦定理及，
得，
又，所以，所以，即，所以．
因为，所以，
由余弦定理得，
即．
若选②：由正弦定理得及，
得，即，
又，所以，所以，结合及，
可解得，．因为，所以，
由余弦定理得，
即．
若选③：由，得，
又，所以，所以，
所以，
所以．
因为，所以，
由余弦定理得，
即．
【名师点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，两角和公式以及面积公式的使用，属于基础题
24．如图，某游乐园的平面图呈圆心角为120°的扇形，其两个出入口设置在点B及点C处，且园内有一条平行于的小路．已知某人从C沿走到D用了8分钟，从D沿走到B用了6分钟．若此人步行的速度为每分钟50米．

（1）求的面积；
（2）求该扇形的半径的长．
【试题来源】河北省唐山市2020-2021学年高二上学期9月质量检测
【答案】（1）平方米；（2）370米．
【分析】（1）利用三角形的面积公式可得，代入求解即可．
（2）设扇形的半径为，连结，可得，利用余弦定理即可求解．
【解析】（1）由题意（米），（米），；
的面积（平方米）
所以的面积为平方米．
（2）设扇形的半径为，连结，由题意
在中，，
即，解得（米）
则该扇形半径的长为370米．

【名师点睛】本题考查了三角形的面积公式、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于基础题．
25．在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．
（1）确定角的大小；
（2）若，且的面积为，求的值．
【试题来源】宁夏石嘴山市2020届高三适应性测试（文）
【答案】（1）；（2）5．
【分析】（1）利用正弦定理边化角，化简即可求解．
（2）由三角形面积公式，求得，再结合余弦定理，即可求出．
【解析】（1）由及正弦定理得，．
因为，所以．因为是锐角三角形，所以．
（2）因为，面积为，所以，即．①
因为，所以由余弦定理得，即．②
由②变形得．③将①代入③得，故．
26．在中，，，．
（1）求的大小；
（2）若是的中点，求的长．
【试题来源】北京市八一学校2021届高三年级十月月考
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系可得，再利用正弦定理即可求解．
（2）利用余弦定理可得，由，再利用向量模的求解即可求解．
【解析】（1）因为在中，，，，
所以，因为由正弦定理，
可得，又，可得为锐角，所以．
（2）因为在中，由余弦定理，
可得，可得：，
所以解得或(舍去)，因为是的中点，
所以，两边平方可得：，
所以，即的长为．

【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理，需熟记公式，考查了基本运算求解能力，属于基础题．
27．在中，角，，所对的边分别为，，，若，为边上的一点，且，．
（1）求证：；
（2）求的值．
【试题来源】河南省平顶山市2020-2021学年高三10月阶段测试（文）
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）利用余弦定理化角为边即可得证．
（2）由已知条件可得，利用正弦定理可以求出，进而可得，利用，展开即可求解．
【解析】（1）由，由余弦定理得：
，化简，即得．
（2）在中，，，为等腰直角三角形，，
由正弦定理，，所以，
由于为钝角，为锐角，所以．
所以．
【名师点睛】本题主要考查了利用正弦和余弦定理解三角形，涉及两角和的正弦公式，属于中档题．
28．在中，，，是，，所对的边，，，．
（1）求；
（2）若为边上一点，且，求的面积．
【试题来源】陕西省部分学校2020-2021学年高三上学期摸底检测（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由题意求得，再根据余弦定理即可求出答案；
（2）根据正弦定理可得，从而求得，则，再根据三角形的面积公式即可求出答案．
【解析】（1）由，得，所以，
又因为，，又，即，
解得，(负值舍去)；
（2）由（1）得，所以，
所以，所以，

因为，所以，且，
所以的面积．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，考查三角形的面积公式的应用，属于基础题．
29．在中，内角所对的边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若，求sinC的值．
【试题来源】安徽省合肥市第七中学2020-2021学年高三上学期第一次段考（文）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）利用正弦定理，将边化为角：，再根据三角形内角范围化简得，；（2）已知两角，求第三角，利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再根据两角和的正弦公式求解．
【解析】（1）在中，由，可得，
又由，得，
所以，得；
（2）由，可得，则．
【考点】同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理
【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，首先从角进行分析，善于用已知角表示所求角，即注重角的变换．角的变换涉及诱导公式、同角三角函数基本关系、两角和与差的公式、二倍角公式、配角公式等，选用恰当的公式是解决三角问题的关键，明确角的范围，对开方时正负取舍是解题正确的保证．
30．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求A；
（2）若，求面积的最大值．
【试题来源】重庆市重庆八中2021届高三上学期九月份适应性月考
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）已知等式利用正弦定理化简，整理后求出的值，即可确定出角A的大小；
（2）由的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值．
【解析】（1）由可得：，
由正弦定理可得：
所以，
因为，所以，因为，所以；
（2）由（1）知，由余弦定理得，即
因为，所以（当且仅当时取等号）
所以，所以面积的最大值为．
【名师点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及两角和与差的正弦函数公式，基本不等式的应用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．
31．在中，角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求的值；
（2）若，的面积为，求，的值．
【试题来源】河南省豫南九校2020-2021学年高二（9月份）第一次联考（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）正弦定理边化角，整理化简得到的值．（2）根据面积公式得到的关系，由余弦定理得到的关系，解出和的值．
【解析】（1）因为，所以由正弦定理
可得，又因
所以，
，化简可得，即，
所以，所以．
（2）因为的面积为，所以，即，
又，所以由余弦定理得，
所以，结合．可得．
【名师点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题．
32．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中．若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角，，的对边分别为，，，__________，且，？
注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分．
【试题来源】福建省福清西山学校高中部2021届高三9月月考
【答案】答案见解析．
【分析】由条件可得，若选①，则可求出边，再用余弦定理可求解；若选②，由正弦定理可得，结合条件可得出边，由条件进一步得出，再用余弦定理可求解；若选③，即．由，，由余弦定理可得，故不成立．
【解析】选①：因为所以．
所以，所以，．因为，，所以．
符合，故存在满足条件的．
选②：由正弦定理，则
因为，所以．因为所以．
因为，所以，所以．
由，解得．
符合，故存在满足条件的．
选③：因为，所以．因为所以．
因为，所以．
得，不成立．故不存在满足条件的．
【名师点睛】角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．属于中档题．
33．如图，在中，角，，的对边分别为，，，且．

（1）求的大小；
（2）若，点、在的异侧，，，求平面四边形面积的最大值．
【试题来源】安徽省六安中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由正弦定理将化为，再由两角和的正弦公式化简，即可求出结果；
（2）先由余弦定理求出的长，将平面四边形的面积转化为两三角形与面积之和，即可求解．
【解析】（1）因为，且，所以，
在中，，所以，
所以，
所以 因为在中，，
所以 因为是的内角所以．
（2）在中，，
因为是等腰直角三角形，
所以，，
所以平面四边形的面积 ，因为，所以
所以当时，， 此时平面四边形的面积有最大值
【名师点睛】本题考查了正弦定理与余弦定理在解三角形中的综合应用，三角形面积公式的应用及面积范围的求法，属于中档题．
34．如图，某自行车手从O点出发，沿折线O﹣A﹣B﹣O匀速骑行，其中点A位于点O南偏东45°且与点O相距20 千米．该车手于上午8点整到达点A，8点20分骑至点C，其中点C位于点O南偏东（45°﹣α）（其中sinα= ，0°＜α＜90°）且与点O相距5 千米（假设所有路面及观测点都在同一水平面上）．
（1）求该自行车手的骑行速度；
（2）若点O正西方向27．5千米处有个气象观测站E，假定以点E为中心的3．5千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说明理由．

【试题来源】湖北省武汉市江岸区2019-2020学年高一下学期期末
【答案】（1）（2）会进入
【分析】（1）根据余弦定理可求出AC的长，从而可求出自行车的速度；
（2）先根据余弦定理求出cos∠OAC，再根据正弦定理可得OM，再在Rt△EHM中，求出EM的大小，比较后即可得到结论．
【解析】（1）由题意知：OA=2，OC， ∠AOC=α，sinα=．
由于0°＜α＜90°，所以．在△AOC中，由余弦定理得
，所以，所以该自行车手的行驶速度为（千米/小时）．
（2）如图，设直线OE与AB相交于点M．

在△AOC中，由余弦定理得
cos∠OAC
从而 sin∠OAC．
在△AOM中，由正弦定理得，
所以，
由于OE=27．5＞40=OM，所以点M位于点O和点E之间，且ME=OE﹣OM=7．5．
过点E作EH AB于点H，则EH为点E到直线AB的距离．
在Rt△EHM中，EH=EM•sin∠EMH=EM•sin（45°﹣∠OAC）．
所以该自行车手会进入降雨区．
【名师点睛】（1）解三角形应用题的一般步骤
①阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．
②根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．
③根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．
④将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．
（2）解题中要合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．
35．某公司要在一条笔直的道路边安装路灯，要求灯柱与地面垂直，灯杆与灯柱所在的平面与道路走向垂直，路灯采用锥形灯罩，射出的光线与平面的部分截面如图中阴影部分所示．已知，，路宽米．设．

（1）求灯柱的高（用表示）；
（2）此公司应该如何设置的值才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小？最小值为多少？
【试题来源】湖北省荆州中学2020-2021学年高二上学期9月月考
【答案】（1）；（2），米
【分析】（1）在与在中，由正弦定理即可用表示灯柱的高；
（2）根据正弦定理，分别表示出灯柱与灯杆的长，即可表示出，结合正弦和角公式化简，结合角的取值范围即可得解．
【解析】（1）与地面垂直，，在中，，
由正弦定理得，得，
在中，，由正弦定理得，

．
（2）中，由正弦定理得，
得，


，，当时，取得最小值．
故该公司应设置，才能使制造路灯灯柱与灯杆所用材料的总长度最小，最小值为米．
【名师点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，根据角的范围求最值，属于中档题．
36．设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2ccosC＝acosB+bcosA．
（1）求角C；
（2）若ABC的面积为，且a+b＝5，求c．
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B卷试题
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）根据正弦定理将已知条件中的边化为角，有，再结合正弦的两角和公式与，可知，从而解得，再结合的范围即可得解；
（2）由知，，解出的值后，利用平方和公式求出，最后根据余弦定理即可得解．
【解析】（1）由正弦定理知，，因为，
所以．
因为，所以，因为，所以．
（2）由知，，所以，
又，所以，
由余弦定理知，，所以．
【名师点睛】本题主要考查解三角形中的正弦定理和余弦定理的综合应用，还涉及正弦的两角和公式，利用正弦定理将边化角是解题的突破口，考查学生的逻辑推理能力和运算能力．
37．的内角，，的对边分别是，，，，．
（1）若，求；
（2）若，求的面积．
【试题来源】2020届全国普通高校运动训练、民族传统体育专业单独统一招生考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由且，求得，结合正弦定理，即可求解；（2）由正弦定理和已知条件，求得，再由余弦定理，列出方程，求得的值，再结合面积公式，即可求解．
【解析】（1）在中，由且，可得，
根据正弦定理，可得．
（2）由正弦定理可得，
因为，可得，
由余弦定理可得，可得，
即，解得，所以．
【名师点睛】本题主要考查了正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，要抓住能够利用某个定理的信息，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
38．中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）记BC边上的高为h，求；
（2）若，，求．
【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研A卷试题
【答案】（1）2；（2），或．
【分析】（1）利用正弦定理和两角和的正弦公式即可求得，再利用正弦定理和三角形的面积公式，即可求解．
（2）由（1）得，的面积，可得，再利用余弦定理可得，两式平方相加即可得关于的方程，解方程即可求出的值．
【解析】（1）由已知及正弦定理得，，
即，
因为，所以，所以，
所以，因为，所以，所以，即．
（2）由（1）得，的面积，所以，即①，
又由余弦定理，得，即②，
所以，即，解得，或
【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理等解三角形基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
39．今年年初新冠肺炎肆虐全球，抗击新冠肺炎的有效措施之一是早发现､早隔离．现某地发现疫情，卫生部门欲将一块如图所示的四边形区域沿着边界用固定高度的板材围成一个封闭的隔离区．经测量，边界与的长都是200米，，．
（1）若，求的长(结果精确到米)；
（2）围成该区域至多需要多少米长度的板材？(不计损耗，结果精确到米)．

【试题来源】上海市华东师大二附中2021届高三上学期9月月考
【答案】（1）米；（2）631米．
【分析】（1）直接根据正弦定理即可求出；（2）设，利用正弦定理、三角函数的变换和三角函数的性质可求出取得最大值，进而可得结果．
【解析】（1）联结，则在中
由，得：
所以的长约为163米
（2）设，则
在中，由，
得：
所以
所以当时，取得最大值，
此时围成该施工区域所需的板材长度最长，为千米，约为631米
【名师点睛】本题考查了正余弦定理，三角函数的性质的应用，考查了运算求解能力，转化与化归能力，属于中档题．
40．已知向量，，，其中是的内角．
（1）求角的大小；
（2）若为锐角三角形，角，，所对的边分别为，，，，，求的面积．
【试题来源】江西省南昌市第二中学2021届高三上学期第三次考试（文）
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用两个向量垂直的坐标表示进行运算，利用降次公式和辅助角公式化简后，可求得的大小．（2）利用余弦定理求得边的长，解有两个，根据三角形为锐角三角形排除其中一个，再根据三角形的面积公式求得三角形的面积．
【解析】（1）向量，，
，可得，即有，，，，可得；
（2）在中，由余弦定理可得，，即为，解得或2，
若，则为最大边，且，为钝角，不合题意；
若，则为最大边，且，B为锐角，合题意，
则的面积为．
【名师点睛】本小题主要考查两个向量垂直的坐标表示，考查三角函数降次公式和辅助角公式，考查余弦定理和三角形的面积公式，属于中档题．
41．在①，②，③的面积，三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答．（如果选择多个条件作答，则按所选的第一个条件给分）
在中，角、、所对的边分别为、、，且角为锐角，
（1）求角；
（2）若，求的取值范围．
【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一）
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）选①由，
得
由正弦定理，得．所以因为，所以．
选②，则，．，所以．
选③，则．
，所以，又，所以．
（2），
化简得：．
因为，所以，，即．
【名师点睛】本题考查正弦定理，余弦定理以及三角函数两角和公式的运用，主要考查学生的运算能力，属于基础题
42．已知的三个内角，，所对的边分别为，，，且满足关系式．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【试题来源】云南省保山市2019-2020学年高二下学期期末（（理））
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）由正弦定理边化角可得，化简整理可得：，即可得解；（2）根据余弦定理得，化简求值可得，代入面积公式即可得解．
【解析】（1）由正弦定理得，
化简得，因为，所以，
则，得，所以．
（2）由余弦定理得，
化简得，故，，
所以的面积为．
【名师点睛】本题考查了正余弦定理的应用，考查了面积公式，解此类问题的关键是角化边或者边化角，同时考查了计算能力，属于中档题．
43．已知的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，，，．
（1）求角的大小；
（2）若，边上的中线长为，求的面积．
【试题来源】浙江省精诚联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）本题首先可根据得出，然后根据正弦定理边角互化得出，再然后根据两角和的正弦公式得出，最后根据A、B、C是的三个内角即可得出，并求出角的大小；
（2）本题首先可以根据是边上的中线得出，然后通过转化得出，再然后通过余弦定理得出，最后两式联立，得出，通过解三角形面积公式即可得出结果．
【解析】（1）因为，，，
所以，，
即，，
，
，因为A、B、C是的三个内角，
所以，，，，
（2）因为是边上的中线，所以，即，
则，，，
因为，所以，即，
联立，解得，
故的面积．
【名师点睛】本题考查解三角形的相关问题的求解，考查正弦定理边角互化的应用，考查解三角形面积公式、余弦定理以及两角和的正弦公式，考查向量垂直的相关性质，考查转化与化归思想，是中档题．
44．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知
（1）求角C；
（2）若， 且，求△ABC的面积．
【试题来源】云南师大附中2021届高三高考适应性月考卷（一）（理）
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）由正弦定理将角化为边，再根据余弦定理可求出，继而得出角C；
（2）根据条件可得，分和两种情况讨论可求出面积．
【解析】（1）已知，
由正弦定理，，整理得，
由余弦定理：，又，所以．
（2）已知，整理得，
，即．
①当时，为直角三角形，
，；
②当时，，
所以，为等边三角形，，的面积为或．
【名师点睛】本题考查正余弦定理的应用以及三角恒等变换解三角形，考查三角形面积的求解，属于中档题．
45．如图，在中，点D是边BC上的一点，，．

（1）若，求；
（2）若，求AB的长．
【试题来源】浙江省山水联盟2020-2021学年高二上学期开学考试
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）在中以及中，利用余弦定理可得，在中，再利用正弦定理即可解．
（2）在两个三角形中，利用余弦定理、建立等量关系，整理得出，结合题中的条件，利用余弦定理建立等量关系式，求得结果．
【解析】（1）在中，利用余弦定理可得，
在中，，所以，解得 ，
由，在中，由正弦定理可得，
即，解得．
（2）因为，所以，可得，
在中，，
所以，
整理得出，所以，所以．
【名师点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理解三角形，考查了基本运算求解能力，属于中档题．
46．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．
（1）求角的大小；
（2）设，，求b和的值．
【试题来源】山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试（文）
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）由正弦定理得，又，由此可解得B．
（2）由余弦定理得，由，得，则，由此能求出．
【解析】（1）在中，由正弦定理，可得，
又由，得，即，
又因为，所以，可得．
（2）在中，由余弦定理及，，，
由，故，
由，可得，
因为，故，因此，，
所以，
所以．
【名师点睛】本题主要考查两角和差的三角函数公式，正弦定理，余弦定理，以及二倍角公式的应用，属于中档题．
47．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且向量，，且，为锐角．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积的最大值．
【试题来源】山西省太原市第五中学2021届高三上学期9月阶段性考试（文）
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用向量共线的条件，建立等式，结合A为锐角，即可求角A的大小；
（2）根据，利用余弦定理及基本不等式，结合三角形面积公式，即可求的面积的最大值．
【解析】（1）因为，，且，
所以，所以，
所以，所以，因为为锐角，所以；
（2）因为，所以，所以（当且仅当时等号成立），所以时，取得最大值4，
因为的面积等于，所以的面积的最大值为．
【名师点睛】本题考查向量共线的条件，考查余弦定理，考查基本不等式，考查三角形的面积公式，考查学生的计算能力，属于中档题．
48．在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．
在中，角，，的对边分别为，，，且满足______．
（1）求角的大小；
（2）若，求面积的最大值．
【试题来源】辽宁省2021届高三上学期测评考试
【答案】条件选择见解析（1）；（2）．
【解析】若选条件①：（1）因为，由正弦定理，得
，即．
在中，，得．
即，又，所以，所以．
（2）因为，由余弦定理得(当且仅当时等号成立)，
结合三角形的面积公式得到，
所以该三角形面积的最大值为．
若选条件②：（1）结合余弦定理得到，又，所以．
（2）由，结合余弦定理得到：
(当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，
所以该三角形面积的最大值为．
若选条件③：（1）因为，所以，所以．
又，所以．
（2）由，结合余弦定理得到：
(当且仅当时等号成立)，结合三角形的面积公式得到，所以该三角形面积的最大值为．
【名师点睛】本题考查正余弦定理解三角形，考查基本不等式求最值及三角形面积，注重考查三角公式及定理的熟练运算，是中档题
49．如图，某城市有一矩形街心广场，如图．其中百米，百米．现将在其内部挖掘一个三角形水池种植荷花，其中点在边上，点在边上，要求．

（1）若百米，判断是否符合要求，并说明理由；
（2）设，写出面积的关于的表达式，并求的最小值．
【试题来源】2020届上海市嘉定区高三一模
【答案】（1）不符合要求，理由详见解析；（2），最小值为．
【解析】（1）由题意，，，
所以，
所以，不符合要求．
（2），，
所以，，，

，所以，的最小值为．
【名师点睛】本题考查三角形的解法与实际应用，余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
50．已知a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且满足．
（1）求角A的大小；
（2）若，，求的面积．
【试题来源】江西省赣州市会昌县七校2021届高三联合月考（文）
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，可得：，
所以由余弦定理可得：， 又，所以
（2）由及正弦定理可得：，
因为，，所以由余弦定理可得：，
所以解得，，所以
【名师点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及特殊角的三角函数以及三角形面积公式的应用，属于中档题．对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件．另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用．
51．在中，角的对边分别为，．有以下3个条件：①；②；③．请在以上3个条件中选择一个，求面积的最大值．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省唐山市2021届高三上学期第一次摸底
【答案】答案见解析．
【解析】若选择①：由正弦定理得：可将化为，
又，所以，所以，
即，，，，
所以（当时取到等号），
所以面积的最大值为2．
若选择②：由正弦定理可将化为，又，所以，
所以，即，
，又，，又由余弦定理可得：
（当且仅当时取等号），
，所以面积的最大值为．
若选择③：因为，所以，
（当且仅当时取等号），又由余弦定理得：
（当且仅当时取等号），
，（当且仅当时取等号），
所以面积的最大值为．
【名师点睛】本题主要考查了利用正弦定理和余弦定理以及三角形的面积公式解三角形．属于中档题．
52．在中，角的对边分别为，且．
（1）求的大小；
（2）若的外接圆的半径为，面积为，求的周长．
【试题来源】江苏省徐州市铜山区、南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期第一次抽测
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式化简即得的大小；（2）先利用正弦定理求出a的值，再利用面积求出bc的值，最后利用余弦定理求出b+c的值即得解．
【解析】（1）因为，由正弦定理可得，，
由三角形内角和定理和诱导公式可得，
，
代入上式可得，，
所以．因为，所以，即．
由于，所以．
（2）因为的外接圆的半径为，由正弦定理可得，．
又的面积为，所以，即，所以．
由余弦定理得，则，
所以，即．所以的周长．
【名师点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．
53．在△ABC中，a， b， c分别为内角A， B， C的对边，且
（1）求A的大小；
（2）求的最大值．
【试题来源】黑龙江省哈尔滨市第三中学校2020-2021学年高三上学期第二次验收考试（文）
【答案】（1）120°；（2）1．
【分析】（1）由题意利用正弦定理角化边，然后结合余弦定理可得∠A的大小；
（2）由题意结合（1）的结论和三角函数的性质可得的最大值．
【解析】（1），
，即．
，．
（2），
，所以当即时，取得最大值1．
【名师点睛】在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．
54．在①，②asinC＝ccos，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线处，并完成解答．
问题：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，D是边BC上一点，BD＝5，AD＝7，且________，试判断CD和BD的大小关系________．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】河北省石家庄市2021届高三上学期教学质量检测（一）
【答案】答案见解析．
【分析】先利用余弦定理求出的长，选条件①：利用辅助公式和正弦定理即可求解；选条件②：利用边化角，然后利用两角差的余弦公式求出，最后根据等边三角形的性质，即可判断CD和BD的大小关系
【解析】设AB=x，在中由余弦定理可得：
，即，解得，
方案一：选条件①．由得， ，

在中由正弦定理可得：解得，

方案二：选条件②．由正弦定理可得：代入条件得：，
，因为A为三角形内角，所以，故，
所以为等边三角形，所以，所以CD