专题04 直线和圆的方程（解答题）（人教A版2019）（9月）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题04 直线和圆的方程（解答题）
1．（西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高二下学期第一学段考试（期中）数学（文）试题）设圆的方程为
（1）求该圆的圆心坐标及半径.
（2）若此圆的一条弦AB的中点为，求直线AB的方程.
【答案】（1）；；（2）
【分析】（1）将圆的方程转化为标准形式，可得结果.（2）根据弦的中垂线过圆心，可得中垂线的斜率，然后根据垂直关系，可得直线的斜率，最后根据点斜式可得结果.
【解析】（1）由圆的方程为，则，
所以可知圆心，半径.
（2）由弦的中垂线为,则，所以可得，
故直线AB的方程为：，即.
【点睛】本题考查圆的方程以及直线方程，难点在于对圆的几何性质的认识，属基础题.
2．（西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高二下学期第二学段考试（期末）数学（文）试题）已知点、，直线.
（1）求线段的中点坐标及直线的斜率；
（2）若直线过点，且与直线平行，求直线的方程.
【答案】（1）线段的中点坐标为，直线的斜率为；（2）.
【分析】（1）利用中点坐标公式可求出线段的中点坐标，由直线的斜率公式可计算出直线的斜率；（2）根据题意，设直线的方程为，将的坐标代入其方程计算可得的值，即可得答案．
【解析】（1）根据题意，设的中点坐标为，
又由点、，则，，
所以，线段的中点坐标为，直线的斜率为；
（2）设直线的方程为，
又由直线经过点，则有，则.
即直线的方程为.
【点睛】本题考查线段中点坐标的计算，涉及直线的斜率计算，同时也考查了利用直线平行求直线方程，涉及平行直线系方程的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
3．（西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高二下学期第一学段考试（期中）数学（文）试题）已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．
【答案】（1）（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）12.
【分析】（1）求出半径，从而可得圆的标准方程；（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，求出圆心到直线的距离，根据勾股定理求出弦长，从而可求出面积．
【解析】（1）圆C的半径为 ，
从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；
（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，

在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，
所以，所以|AB|＝2|AD|＝8，
所以△ABC的面积．
4．（湖北省宜昌市天问高中2019-2020学年高二（下）开学数学试题）已知直线过点M（﹣3，3），圆．
（1）求圆C的圆心坐标及直线截圆C弦长最长时直线的方程；
（2）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围．
【答案】（1）（0，-2），;（2）.
【分析】（1）利用直径为最长弦；（2）利用点与圆的位置关系．
【解析】（1）圆C方程标准化为：，
∴圆心C的坐标为（0，﹣2），直线截圆C弦长最长，即过圆心，
故此时的方程为：，整理得：；
（2）若过点M的直线与圆C恒有公共点，则点M在圆上或圆内，
∴，得．
5．（黑龙江省大庆中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知中，、、，写出满足下列条件的直线方程（要求最终结果都用直线的一般式方程表示）.
（1）边上的高线的方程；
（2）边的垂直平分线的方程.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出直线的斜率，进而可得出边上的高线的点斜式方程，化为一般式方程即可；（2）求出线段的中点坐标，进而可得出边的垂直平分线的点斜式方程，化为一般式方程即可.
【解析】（1）直线的斜率为，
所以边上的高线的方程为，即；
（2）线段的中点为，
所以边的垂直平分线的方程为，即.
【点睛】本题考查直线方程的求解，一般求出直线的斜率以及直线所过的一点的坐标，结合点斜式可得出其方程，考查计算能力，属于基础题.
6．（江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一下学期学情调研（一）数学试题）在中，边所在的直线方程为，其中顶点的纵坐标为1，顶点的坐标为.
（1）求边上的高所在的直线方程；
（2）若的中点分别为，，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由题易知边上的高过,斜率为3，可得结果.（1）求得点A的坐标可得点E的坐标，易知直线EF和直线AB的斜率一样，可得方程.
【解析】（1）边上的高过,因为边上的高所在的直线与所在的直线互相垂直，故其斜率为3,方程为:.
（2） 由题点坐标为,的中点.
是的一条中位线,所以,，
其斜率为：，所以的斜率为，
所以直线的方程为：化简可得：.
【点睛】本题考查了直线方程的求法，主要考查直线的点斜式方程，以及化简为一般式，属于基础题.
7．（江苏省扬州市江都区大桥高级中学2019-2020学年高一下学期学情调研（一）数学试题）已知圆与圆.
（1）求两圆公共弦所在直线的方程；
（2）求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程.
【答案】（1），（2）.
【解析】（1）过圆与圆交点的直线，即为两圆公共弦的直线.
所以过A、B两点的直线方程.
（2）设所求圆的方程为.
则圆心坐标为，
∵圆心在直线上，
∴将圆心坐标代入直线方程，得，解得.
∴所求圆的方程为.
【点睛】两圆相交时，其公共弦所在直线方程只需将两圆方程相减即可，求解圆的方程的题目常采用待定系数法：设出圆的方程，根据条件列出关于参数的方程组，解方程组得到参数值最后写出方程.
8．（云南省昆明市官渡区第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（文）试题）已知圆，直线是圆与圆的公共弦所在直线方程，且圆的圆心在直线上．
（1）求公共弦的长度；
（2）求圆的方程；
（3）过点分别作直线，，交圆于，，，四点，且，求四边形面积的最大值与最小值．
【答案】（1）；（2）；（3）最大值17，最小值12．
【分析】（1）根据直线和圆相交求弦长用直角三角形勾股定理等价条件进行求解即可；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，求出圆心的半径即可得到圆的方程；
（3）对直线，分两种情况讨论，即当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时和当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，写出四边形面积的的表达式，再利用函数知识求最大值与最小值．
【解析】圆，
所以圆的圆心坐标，半径，
（1）圆心到直线的距离，
公共弦；
（2）圆的圆心在直线上，设圆心，
由题意得，，即，到的距离，
所以的半径，所以圆的方程：；
（3）当过点的互相垂直的直线，为轴，垂直于轴时，，这时直线的方程为，代入到圆中，，
所以，四边形的面积；
当过点的互相垂直的直线，不垂直于轴时，
设直线为：，则直线为：，
所以圆心到直线的距离，圆心到直线的距离，，，
设，当或1时，正好是轴及垂直轴，
面积，
当时，最大且，或1时，最小，
四边形面积的最大值17，最小值．
【点睛】本题主要考查直线和圆相交求相交弦长，及利用勾股定理弦长距离半径之间的关系求解，属于中难度题．
9．（江苏省无锡市普通高中2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知圆C过三点，，.
（1）求圆C的方程；
（2）斜率为1的直线l与圆C交于M，N两点，若为等腰直角三角形，求直线l的方程
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据题意，求得圆心的纵坐标，设出方程，根据两点距离公式即可求得圆心和半径，则问题得解；（2）设出直线方程，根据题意，利用点到直线的距离公式，即可求得参数，则问题得解.
【解析】（1）因为圆过点，故圆心在上，
设圆心坐标，则，解得.
故其半径，故圆方程为：
（2）设直线方程为：
为等腰直角三角形，
圆心到直线的距离或，
或.
【点睛】本题考查圆方程的求解，以及根据直线与圆相交所得三角形的形状求直线方程，属综合基础题.
10．（湖北省武汉市新洲一中2019-2020学年高一6月月考数学试题）已知圆C：关于直线对称，圆心C在第四象限，半径为1.
（1）求圆C的标准方程；
（2）是否存在直线与圆C相切，且在轴，轴上的截距相等？若存在，求出该直线的方程；若不存在，说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，或.
【分析】（1）根据圆的一般方程用参数表示出圆心和半径，结合圆心坐标满足直线方程和半径为1，即可列出方程，求得结果；（2）讨论直线斜率是否存在，以及直线是否经过原点，根据直线与圆的位置关系，即可求得直线方程.
【解析】（1）将圆C化为标准方程，得
∴ 圆心C（），半径，
由已知得或，
又C在第四象限， ∴，
∴圆C的标准方程为 ，
（2）当直线过原点时，l斜率存在，则设 ，则，
此时直线方程为；
当直线不过原点时，设 ，则 ，
解得 ，此时直线方程为：或，
综上，所求直线的方程为：或.
【点睛】本题考查圆方程的求解，以及由直线与圆的位置关系求直线的方程，属综合基础题.
11．（内蒙古包头市昆都仑区田家炳中学2019-2020学年高二（上）期中数学试题）求经过点M（2，﹣2）以及圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程．
【答案】x2+y2﹣3x﹣2=0.
【分析】先确定过两圆交点的圆系方程，再将M的坐标代入，即可求得所求圆的方程．
【解析】设过圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2=4交点的圆的方程为
x2+y2﹣6x+λ（x2+y2﹣4）=0…①，
把点M的坐标（2，﹣2）代入①式得λ=1，把λ=1代入①并化简得x2+y2﹣3x﹣2=0，
∴所求圆的方程为：x2+y2﹣3x﹣2=0.
12．（宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）圆截直线所得的弦长为，求的值.
【答案】
【分析】先化圆标准式方程，再求圆心到直线距离，最后根据垂径定理列方程解得结果.
【解析】
因此圆心到直线距离为
因为圆截直线所得的弦长为，
所以
【点睛】本题考查由圆弦长求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.
13．（河北省石家庄市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知直线l1：x+y+2＝0；l2：mx+2y+n＝0.
（1）若l1⊥l2，求m的值；
（2）若l1//l2，且他们的距离为，求m，n的值.
【答案】（1）；（2），．
【分析】（1）由垂直得斜率互为负倒数，可求得；（2）由平行求得，再由距离求得．
【解析】（1）的斜率为，
∵l1⊥l2，∴直线的斜率为，∴；
（2）∵，∴，（时两直线平行），
的方程化为，∴两平行间的距离为，
解得．
14．（湖南省娄底市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知直线l:x+y+2=0和圆
（1）直线l交圆C于A，B两点，求弦长;
（2）求过点的圆的切线方程.
【答案】（1）；（2）与.
【分析】（1）根据圆心到直线的距离，得到弦心距，再根据圆的弦长公式得到答案；
（2）先研究直线斜率不存在时，判断是否符合要求，再研究直线斜率存在时，利用圆心到直线的距离等于半径，得到关于斜率的方程.
【解析】（1）圆:知圆心，半径，
所以圆心到直线:的距离，
所以.
（2）①当直线斜率不存在时，圆心到直线的距离为，等于半径。
所以直线是圆的一条切线，
②当直线存在时，由于过点，
故由点斜式设切线方程为：即。
因直线与圆相切，所以得到圆心到直线的距离等于半径，
即，解得，此时切线方程为。
故所求切线有两条:与.
【点睛】本题考查利用圆的弦长公式求圆的弦长，求过圆外一点圆的切线方程，属于基础题.
15．（河北省石家庄市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知点和圆.
（1）写出圆的标准方程，并指出圆心的坐标和半径；
（2）设为上的点，求的取值范围.
【答案】（1）；圆心，半径为；（2）.
【分析】（1）将圆的普通方程配方整理，即可得出标准方程；进而可得出圆心坐标和半径；
（2）先求出圆心到定点的距离，进而可得出范围.
【解析】（1）由得，
因此其圆心坐标为：，半径为；
（2）因为点，所以，
即点在圆外，
又为上的点，所以，
因此，
即的取值范围是.
【点睛】本题主要考查圆的标准方程，以及圆上的点到定点距离的范围，属于常考题型.
16．（黑龙江省牡丹江一中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知两直线，，当为何值时，和
（1）平行；
（2）垂直？
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）根据与平行的条件且列式可解得.（2） 根据与垂直的条件列式可得.
【解析】（1）因为,所以,解得或,
当时,两条直线重合,不合题意舍去.所以.
（2）因为,所以,解得或.
【点睛】本题考查了两条直线平行或垂直的条件,属于基础题.
若,
则且;
.
17．（浙江省金华十校2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知：圆过点，，，是直线上的任意一点，直线与圆交于、两点.
（1）求圆的方程；
（2）求的最小值.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）设圆的一般方程为，即可根据题意列出三个方程，解出，即可得到圆的方程；（2）联立直线的方程和圆的方程可得、两点的坐标，设，再根据两点间的距离公式表示出，消去，可得关于的二次函数，即可求出最小值．
【解析】（1）设圆的一般方程为，依题意可得，
．
所以圆的方程为：．
（2）联立或，
不妨设，，则，
∴．
故的最小值为．
【点睛】本题主要考查圆的方程的求法，直线与圆的交点坐标的求法，以及两点间的距离公式的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于基础题．
18．（吉林省长春市2019-2020学年高一下学期期中考试数学）已知直线，直线
（1）求为何值时，；
（2）求为何值时，.
【答案】（1）；（2） .
【分析】（1）由l1∥l2，得，由此能求出a的值；
（2）由l1⊥l2，得a+2（a﹣1）=0，由此能求出a的值．
【解析】（1）∵要使 ∴解得或(舍去) ，
∴当时，.
（2）∵要使 ∴ 解得，
∴当时，.
【点睛】已知两直线的一般方程判定两直线平行或垂直时，记住以下结论，可避免讨论：
已知，，
则， ．
19．（内蒙古开鲁县第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学（文）试题）己知直线的方程为．
（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）求与直线平行，且到点的距离为的直线的方程
【答案】（1），（2）或
【分析】直接利用直线垂直的充要条件求出直线的方程；
设所求直线方程为，由于点到该直线的距离为，可得，解出或，即可得出答案；
【解析】（1）∵直线的斜率为，∴所求直线斜率为，
又∵过点，∴所求直线方程为，即．
（2）依题意设所求直线方程为，
∵点 到该直线的距离为，∴，解得或，
所以，所求直线方程为或．
20．（黑龙江省哈师大附中2019-2020学年高一（下）期末数学试题）设直线l经过点A（1，0），且与直线3x+4y﹣12＝0平行.
（1）求直线l的方程；
（2）若点B（a，1）到直线l的距离小于2，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）首先求出直线的斜率，再利用点斜式计算可得；
（2）利用点到线的距离公式得到不等式，解得即可.
【解析】（1）因为直线的斜率，
又直线过点，所以直线的方程为，整理得.
（2）点到直线的距离，
依题意可得，即，
解得，即
【点睛】本题考查两直线平行求直线方程以及点到直线的距离公式的应用，属于基础题.
21．（江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知直线，.
（1）若，求的值；
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）利用两条直线垂直的条件，结合两条直线的方程可得1×（m﹣2）+m×3＝0，由此求得m的值．（2）利用两直线平行的条件，结合两条直线的方程可得，由此求得得m 的值．
【解析】（1）∵直线l1：x+my+6＝0，l2：（m﹣2）x+3y+2m＝0，
由l1⊥l2 ，可得 1×（m﹣2）+m×3＝0，解得．
（2）由题意可知m不等于0,
由l1∥l2 可得，解得 m＝﹣1．
22．（河北省保定市曲阳县第一中学2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知的顶点，，.
（1）求边上的高所在直线的方程；
（2）证明：为等腰直角三角形.
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【分析】（1）首先求出直线的斜率，即可得到直线，再用点斜式求出直线的方程即可；（2）利用平面直角坐标系上任意两点间的距离公式及勾股定理逆定理即可证明.
【解析】（1）∵直线的斜率为，
所以，边上的高所在直线的斜率为，
由点斜式方程得，边上的高所在直线的方程为，即.
（2）证明：因为，
，
，
所以，且，所以为等腰直角三角形.
【点睛】本题考查点斜式求直线方程以及平面直角坐标系上两点间的距离公式的应用，属于基础题.
23．（西藏林芝市第二高级中学2019-2020学年高二下学期第一学段考试（期中）数学（文）试题）三角形的三个顶点为
（1）求边上高所在直线的方程；
（2）求边上中线所在直线的方程.
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）运用直线的斜率公式可得直线BC的斜率，再由两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，可得BC边上高的斜率，再由点斜式方程，即可得到所求直线的方程；（2）运用中点坐标公式可得BC的中点M，求出AM的斜率，由点斜式方程即可得到所求中线的方程．
【解析】（1）由题意可得
则边上高所在直线的斜率为-3，又高线过
所以边上高所在直线的方程为，即
（2）由题知中点M的坐标为，，
所以中线所在直线的方程为，即．
【点睛】本题考查直线方程的求法，注意运用两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，以及中点坐标公式，考查运算能力，属于基础题．
24．（江西省新余市2018-2019学年高一上学期期末质量检测数学试题）求过点 ，且满足下列条件的直线方程：
（1）倾斜角等于直线的倾斜角的二倍的直线方程；
（2）在两坐标轴上截距相等的直线方程．
【答案】（1），（2）或 ．
【分析】（1）求出直线的倾斜角，利用点斜式求出直线方程；
（2）分类讨论，可得在两坐标轴上截距相等的直线方程.
【解析】（1） 由题意，可知 ，所以 ，
则 ．所以 ，
所以所求直线的方程为：．
 （2） 当直线过原点时方程为：，当直线不过原点时方程为：．
故所求直线的方程为 或 ．
25．（浙江省嘉兴市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知点和直线.
（1）若点在直线上，求的值；
（2）若直线过点且与直线垂直，求直线的方程.
【答案】（1）0；（2）.
【分析】（1）根据点的坐标满足直线方程，代值计算即可；（2）根据题意求得直线斜率，即可写出点斜式方程，化简即可.
【解析】（1）点代入直线的方程，得，解得.
（2）直线的斜率为2，所以的斜率为，
从而的方程为，即.
26．（广东省广州市八区2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知点，直线．
（1）求过点M且与直线l垂直的直线l1的方程；
（2）求过点M且与直线l平行的直线l2的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由题意结合直线垂直的性质、直线的点斜式方程即可得解；（2）由题意结合直线平行的性质、直线的点斜式方程即可得解.
【解析】由题意直线的斜率为，
（1）若，则直线的斜率，
又直线过点，所以即；
（2）若，则直线的斜率，
又直线过点，所以即.
27．（宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）（1）倾斜角为，在轴上的截距为，求直线的一般方程.
（2）点（2，1）到直线的距离是多少？
【答案】（1）；（2）3.
【分析】（1）先求斜率，再根据斜截式求直线方程，最后化为一般式；（2）根据点到直线距离公式直接求解.
【解析】（1）因为倾斜角为，所以斜率为，
因为在轴上的截距为，所以直线方程为，
即直线的一般方程为.
（2）根据点到直线距离公式得点（2，1）到直线的距离是
【点睛】本题考查直线一般方程、点到直线距离公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
28．（宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知两直线：，：求分别满足下列条件的a，b的值．
直线过点，并且直线与垂直；
直线与直线平行，并且坐标原点到，的距离相等．
【答案】（1），；（2），或，.
【分析】利用直线过点，直线与垂直，斜率之积为，得到两个关系式，求出a，b的值．类似直线与直线平行，斜率相等，坐标原点到，的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．
【解析】，，即
又点在上，
由得，．
，，，
故和的方程可分别表示为：
，，
又原点到与的距离相等，，或，
，或，．
【点睛】本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．
29．（黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知直线l经过直线3x+4y﹣2＝0与2x+y+2＝0的交点P，且垂直于直线x﹣3y+1＝0．
（1）求直线l方程；
（2）求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积S．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）求出交点的坐标，由垂直得直线斜率，用点斜式写出直线方程，化简即得，
（2）求出直线与坐标轴的交点坐标后可得面积．
【解析】（1）由，解得，即，
又直线的斜率为，
所与以其垂直的直线有斜率为，方程为，即；
（2）在中分别令得它与坐标轴的交点分别为，，
所以直线与坐标轴围成的三角形面积为．
【点睛】本题考查求直线方程，考查求直线的交点坐标，两直线垂直的关系，考查直线与坐标轴围成的三角形面积，属于基础题．
30．（黑龙江省七台河市勃利县2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知圆C：（x+2）2+y2＝5，直线l：mx﹣y+1+2m＝0，m∈R.
（1）判断直线与圆的位置关系，并说明理由；
（2）若直线与圆交于两点，求弦AB的中点M的轨迹方程.
【答案】（1）相交，理由见解析；（2）
【分析】（1）根据直线方程确定直线恒过的定点，结合点与圆的位置关系，即可容易判断直线与圆的位置关系；（2）根据中点在直线上，结合，即可得到点的轨迹方程，注意讨论斜率是否存在.
【解析】（1）直线：，也即，
故直线恒过定点，
又，故点在圆内，此时直线一定与圆相交.
（2）设点，当直线斜率存在时，，
又，，即，
化简可得：；
当直线斜率不存在时，显然中点的坐标为也满足上述方程.
故点的轨迹方程为：.
【点睛】本题考查直线恒过定点的求解，点与圆的位置关系以及动点的轨迹方程，属综合中档题.
31．（内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）直线与直线平行，且与坐标轴构成的三角形面积是24，求直线的方程.
【答案】
【分析】设直线，则将直线与两坐标轴的交点坐标，代入三角形的面积公式进行运算，求出参数，即可得到答案.
【解析】设直线，分别与轴、轴交于两点，
则，，那么.
所以直线的方程是
【点睛】本题考查用待定系数法求直线的方程，两直线平行的性质，以及利用直线的截距求三角形的面积．
32．（四川省乐山市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知两条直线和．
（1）当时，求的值；
（2）在（1）的条件下，求、间的距离．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，分析可得，解可得，分别验证和时，两直线是否平行，即可得答案；（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．
【解析】（1）根据题意，直线和．
若，必有，解可得，
当时，直线，直线，两直线平行，符合题意，
当时，直线，直线，两直线重合，不符合题意，
故；
（2）由（1）的结论，直线，直线，
直线、间的距离．
【点睛】本题考查直线平行的判断以及平行线间的距离计算，关键是求出的值，属于基础题．
33．（黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2019-2020学年高二10月月考数学试题）已知圆,直线．
（1）判断直线与圆的位置关系；
（2）若直线与圆交于不同两点,且,求直线的方程．
【答案】（1）直线与圆相交；（2）或．
【分析】（1）通过比较圆心到直线的距离与半径的关系，不难发现直线和圆相交．（2）根据垂径定理，得到圆心与直线的距离，进而列方程求解即可．
【解析】（1）将圆方程化为标准方程,
所以圆的圆心,半径,
圆心到直线的距离,
因此直线与圆相交．
（2）设圆心到直线的距离为,则,
又,
解得所求直线为或．
34．（福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知圆C：，直线过定点.
（1）若与圆相切，求的方程；
（2）若与圆相交于两点，线段的中点为，又与的交点为，判断是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由.
【答案】（1），;（2）是定值，且为6．
【解析】（1）①若直线的斜率不存在，即直线是，符合题意
②若直线斜率存在，设直线为，即．
由题意知，圆心（3，4）到已知直线的距离等于半径2，即：，
解之得．所求直线方程是，．
（2）直线与圆相交，斜率必定存在，
且不为0,可设直线方程为
由得．
又直线CM与垂直，由得

为定值． 故是定值，且为6．
35．（内蒙古包头市昆都仑区田家炳中学2019-2020学年高二（上）期中数学试题）已知圆C的圆心坐标（1，1），直线l：y＝﹣x+1被圆C截得弦长为．
（1）求圆C的方程；
（2）过点P（2，3）作圆的切线，求切线方程．
【答案】（1）；（2）或.
【分析】（1）设圆的半径为r，先求得圆心到直线l：y＝﹣x+1的距离，然后利用弦长公式求解. （2）因为点P不在圆上，然后分切线的斜率不存在时，直线为：验证即可，当切线的斜率存在时，设直线的方程为： ，利用圆心到直线的距离等于半径求解.
【解析】（1）设圆的半径为r，
圆心到直线l：y＝﹣x+1的距离为： ，
又因为直线l：y＝﹣x+1被圆C截得弦长为．
所以，解得，
所以圆的方程为：
（2）因为点P不在圆上，
当切线的斜率不存在时，直线为：，与圆相切，成立，
当切线的斜率存在时，设直线的方程为： ，即，
圆心到直线的距离为：，解得，
所以切线方程为：，
综上：切线方程为：或
36．（广东省广州市八区2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在平面直角坐标系中，直线x+y+3＝0与圆C相切，圆心C的坐标为(1,1)．
（1）求圆C的方程；
（2）设直线y＝kx+2与圆C没有公共点，求k的取值范围；
（3）设直线y＝x+m与圆C交于M，N两点，且OM⊥ON，求m的值．
【答案】（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）由直线与圆相切的性质结合点到直线的距离可得半径，即可得解；
（2）由直线与圆相离的性质结合点到直线的距离可得关于k的不等式，即可得解；
（3）由题意联立方程组，结合韦达定理、平面向量垂直的性质联立方程组即可求得m，即可得解.
【解析】（1）∵直线与圆C相切，且圆心C的坐标为，
∴圆C的半径，则圆C的方程为；
（2）∵直线y＝kx+2与圆C没有公共点，
∴点到直线的距离，解得，
∴k的取值范围为；
（3）联立，得，
由，解得，
设，则，
∵，∴，
即，
∴，解得，符合题意，∴．
【点睛】本题考查了直线与圆位置关系的应用，考查了运算求解能力与转化化归思想，合理转化、细心计算是解题关键，属于中档题.
37．（广东省珠海市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）在平面直角坐标系中，圆C是以（1，1）为圆心、半径为1的圆，过坐标原点O的直线l的斜率为k，直线l交圆C于P，Q两点，点A的坐标为（，﹣）．
（1）写出圆C的标准方程；
（2）求△APQ面积的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）根据圆心和半径，即可直接写出圆的方程；
（2）联立直线方程和圆方程，求得的范围，结合弦长公式，求得，再利用点到直线的距离公式，即可求得点到直线的距离，结合基本不等式，即可求得面积的最大值.
【解析】（1）根据题意可得，圆的圆心为，半径，
故圆方程为：.
（2）设直线的方程为，联立圆方程可得，
因为直线圆交于两点，故可得，解得；
又圆心到直线的距离，
故可得；
又点到直线的距离，故三角形的面积
.
当且仅当时取得面积的最大值.
【点睛】本题考查圆方程的求解，涉及直线截圆的弦长求解，涉及基本不等式的应用，属综合中档题.
38．（福建省福州福清市2019-2020学年学年高一期末）已知，直线.
（1）求证：直线l与恒有两个交点；
（2）若直线l与的两个不同交点分别为A，B．求线段中点P的轨迹方程，并求弦的最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2）线段中点P的轨迹方程为；.
【分析】（1）通过证明直线所过定点在圆C内来证明直线与圆恒有两个交点；（2）由可知点P的轨迹方程是以为直径的圆，求出圆心及直径即可写出点P的轨迹方程；由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小，利用勾股定理即可求得的最小值.
【解析】（1）证明：，
即，圆心，半径，
又直线，化为，
由，解得，所以直线l恒过定点，
由，
可得Q在圆C内，则直线l与⊙C恒有两个交点；
（2）由题意知，设点为弦的中点，
由（1）可知，所以点P的轨迹方程是以为直径的圆，
线段的中点为，，
则线段中点P的轨迹方程为；
由圆的几何性质可知，当是弦的中点时，最小.
弦心距，的半径为5，
可得.
【点睛】本题考查圆的定义与方程、判断直线与圆的位置关系、求动点的轨迹方程、圆的弦长，属于中档题.
39．（吉林省实验中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知以点P为圆心的圆经过点A（－1，0）和B（3，4），线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且|CD|＝.
（1）求直线CD的方程；
（2）求圆P的方程.
【答案】（1）x＋y－3＝0；（2）圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.
【分析】（1）求出AB中点坐标和直线CD的斜率，即得直线CD的方程；（2）设圆心P（a，b），求出的值，即得圆P的方程.
【解析】（1）由题意知，直线AB的斜率k＝1，中点坐标为（1，2）.
所以.则直线CD的方程为y－2＝－（x－1），
所以直线CD的方程为x＋y－3＝0.
（2）设圆心P（a，b），则由点P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因为直径|CD|＝4，所以|PA|＝2，
所以（a＋1）2＋b2＝40.②
由①②解得或
所以圆心P（－3，6）或P（5，－2）.
所以圆P的方程为（x＋3）2＋（y－6）2＝40或（x－5）2＋（y＋2）2＝40.
【点睛】本题主要考查直线和圆的方程的求法，考查直线和圆的位置关系的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
40．（浙江省环大罗山联盟2019-2020学年高一下学期期末联考数学试题）中，点、、.
（1）若为中点，求直线所在直线方程；
（2）若在线段上，且，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）求出线段中点的坐标，利用斜率公式求得直线的斜率，然后利用点斜式可得出直线所在直线的方程；（2）由可得，可得，可计算出平面向量的坐标，进而可求得的值.
【解析】（1）为中点，，直线的斜率，
所以直线所在的直线方程为：，即直线方程为；
（2）因为，所以，则，
又由，
所以.
【点睛】本题考查直线方程的求解，同时也考查了利用三角形面积的倍数关系求向量的模，考查计算能力，属于中等题.
41．（四川省达州市开江中学衔接班2019-2020学年高一6月月考数学试题）已知直线方程为.
（1）证明：直线恒过定点；
（2）为何值时，点到直线的距离最大，最大值为多少？
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，求面积的最小值及此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析（2）；（3）最小值为；此时直线的方程
【分析】（1）利用直线是直线系求出直线恒过定点，即可；
（2）点到直线的距离最大，转化为两点间的距离，求出距离就是最大值．
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于．两点，设出直线的方程，求出，，然后求出面积，利用基本不等式求出的最小值及此时直线的方程．
【解析】（1）直线方程为，
可化为，对任意都成立，
所以，解得，所以直线恒过定点；
（2）点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，
即.，
的斜率为，
可得，解得.
（3）若直线分别与轴，轴的负半轴交于两点，直线方程为，，
则，，
，
当且仅当时取等号，面积的最小值为.
此时直线的方程.
【点睛】本题考查直线系过定点，零点的距离公式，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想，属于中档题．
42．（江苏省泰州市2019-2020学年高一下学期期末（重考卷）数学试题）（1）求过点，且与直线垂直的直线方程；
（2）求直线关于点对称的直线方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）根据直线垂直关系求解即可.（2）先在直线取两点和，求其关于点对称点，再求对称点所在直线的方程即可.
【解析】（1）由题意可设所求直线的方程为，
∵直线过点，∴，∴，
∴所求的直线方程为.
（2）在直线取两点和，
其关于点对称的点分别为，
即，
直线关于点对称的直线方程为，
∴所求直线的方程为．
43．（湖南省长沙市雅礼中学2019-2020学年高一下学期5月月考数学试题）已知直线经过直线与直线的交点，且垂直于直线．
（1）求直线的方程．
（2）求直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
【答案】（1），（2）1.
【解析】（），解得，则点的坐标为．
由于点的坐标是，且所求直线与直线垂直，
可设所求直线的方程为．
将点坐标代入得，解得．
故所求直线的方程为．
（）由直线的方程知它在轴，轴上的截距分别是，，
所以直线与两坐标轴围成的三角形的面积．
44．（江苏省盐城市伍佑中学2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知圆，直线.

（1）求直线所过定点A的坐标；
（2）求直线被圆C所截得的弦长最短时直线的方程及最短弦长；
（3）已知点M(-3,4)，在直线MC上(C为圆心)，存在定点N(异于点M)，满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数， 试求所有满足条件的点N的坐标及该常数.
【答案】（1）A（1，3）；（2）直线方程为，最短弦长为；（3）在直线MC上存在定点，使得为常数．
【分析】（1）利用直线系方程的特征，直接求解直线过定点A的坐标；（2）当AC⊥时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），，求出AC的斜率，利用点到直线的距离，转化求解即可；（3）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N（，4）满足题意，则设，，得，且，求出，然后求解比值.
【解析】（1）依题意得，，
令且，得，∴直线过定点A（1，3）；
（2）当AC⊥时，所截得弦长最短，由题知C（0，4），，
，得，
∴由得，此时直线方程为，
∴圆心到直线的距离为，
∴最短弦长为；
（3）由题知，直线MC的方程为，假设存在定点N（，4）满足题意，
则设，，得，且，
，
，
整理得，，
∵上式对任意恒成立，且，
解得 或（舍去，与M重合），
综上可知，在直线MC上存在定点，使得为常数.
45．（浙江省湖州市2019-2020学年高二上学期期中数学试题）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1，1)在AD边所在直线上．求：

（1）AD边所在直线的方程；
（2） DC边所在直线的方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先由AD与AB垂直，求得AD的斜率，再由点斜式求得其直线方程；
（2）根据矩形特点可以设DC的直线方程为，然后由点到直线的距离得出，就可以求出m的值，即可求出结果.
【解析】（1）由题意：ABCD为矩形，则AB⊥AD，
又AB边所在的直线方程为：x－3y－6＝0，
所以AD所在直线的斜率kAD＝－3，而点T(－1，1)在直线AD上．
所以AD边所在直线的方程为：3x＋y＋2＝0.
（2）方法一：由ABCD为矩形可得，AB∥DC，
所以设直线CD的方程为x－3y＋m＝0.
由矩形性质可知点M到AB、CD的距离相等
所以＝,解得m＝2或m＝－6(舍)．
所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
方法二：方程x－3y－6＝0与方程3x＋y＋2＝0联立得A（0，-2），
关于M的对称点C（4，2），因AB∥DC，所以DC边所在的直线方程为x－3y＋2＝0.
【点睛】本题主要考查直线方程的求法，在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．
46．（江苏省南通市如东县2019-2020学年高一下学期期中数学试题）已知直线，圆.
（1）求证：直线过定点，并求出点的坐标；
（2）若直线与圆交于，两点，当弦长最短时，求此时直线的方程.
【答案】（1）证明见解析，；（2）.
【分析】（1）将直线化为，利用，求得直线所过的定点坐标；（2）根据圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，根据直线的斜率为，可得直线的斜率为1，从而求得直线的方程.
【解析】（1）直线可化为：
，可得
所以直线过定点.
（2）由圆的几何性质可知，当直线时，弦长最短，因为直线的斜率为，所以直线的斜率为1，此时直线的方程为.
【点睛】该题考查的是有关直线与圆的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，过一定点圆的最短弦所在直线方程的求解问题，属于简单题目.
47．（福建省莆田第一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知直线在轴上的截距为，且垂直于直线．
（1）求直线的方程；
（2）设直线与两坐标轴分别交于、两点，内接于圆，求圆的一般方程．
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；（2）设出圆的一般方程为．求出两点坐标，中点是圆心，是圆的直径由此可求得．
【解析】（1）设直线的方程为．
∵直线的斜率为，所以直线的斜率．
则直线的方程为．
（2）设圆的一般方程为．
由于是直角三角形，所以圆的圆心是线段的中点，半径为；
由，得，；
故，解得，，．
则圆的一般方程为：．
【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．
48．（四川省成都七中2019-2020学年高一下学期6月考试数学试题）已知圆，点为圆上任意一点，点，线段的中点为，点的轨迹为曲线．
（1）求点的轨迹的方程；
（2）求曲线与的公共弦长．
（3）求过点并与相切的直线方程．
【答案】（1）；（2）；（3）或.
【分析】（1）设点，，根据相关点法求解即可；、
（2）先根据题意求得与的公共弦所长直线的方程，再结合圆的弦长问题计算即可；
（3）先考虑斜率不存在时得满足题意，再考虑斜率存在时，设斜率为，得方程为，再根据直线与圆相切求解即可.
【解析】（1）设点，，
∵ 线段的中点为，，∴ ，故，
又∵ 为圆上任意一点，∴ ，
∴ 将代入得
∴点的轨迹的方程为
（2） ，
两式做差得公共弦所在直线方程为：
点到之距离
所求与公共弦长为：
（3）当过点的切线斜率不存在时，即轴时，直线，显然与相切，满足条件；当过点的切线斜率存在时，设直线斜率为，
可知，即
由与相切得到直线的距离为，即：，
解得 ，所以.
综上，所求直线方程为：或.
【点睛】本题考查相关点法求曲线的轨迹方程，圆的切线方程，弦长等问题，考查数学运算能力，是中档题.
49．（四川省成都七中2019-2020学年高一下学期6月考试数学试题）已知圆，满足：①截y轴所得弦长为2；②被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1.
（1）求a，b满足的关系式；
（2）求圆心P到直线的距离的最小值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）设圆心，半径为，分别在中找到的关系，然后消去，即得a，b满足的关系式；（2）先表示出圆心P到直线的距离，平方后结合，可得结论.
【解析】如图，圆心，半径为，过分别作轴、轴的垂线，垂足分别为

（1）由① ③
由② ④
联立③④消去，.
（2）到直线之距离 ，
所以，因为，
，当且仅当时取等号，
即即或时，，此时
圆心P到直线的距离的最小值.
【点睛】考查垂径定理在平面解析几何中的应用、点到直线的距离公式以及基本不等式的应用，中档题.
50．（宁夏银川市宁夏大学附属中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知圆和直线
（1）当圆C与直线l相切时，求m的值；
（2）并求圆C关于直线l的对称圆方程.
【答案】（1）；（2）
【分析】（1）先化圆标准方程，再根据圆心到切线距离等于半径列式求解，即得结果；
（2）先求圆心关于直线l的对称点，再写出所求对称圆方程.
【解析】（1）
因为圆C与直线l相切，所以；
（2）由（1）得，
设关于直线l的对称点为，则，
即关于直线l的对称点为，
所以圆C关于直线l的对称圆方程为.
【点睛】本题考查直线与圆位置关系、关于直线对称圆方程，考查基本分析求解能力，属中档题.
51．（浙江省宁波市2019-2020学年高一下学期期末数学试题）已知三角形的三个顶点A(−5，0)，B(3，−3)，C(0，2).
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本小题先根据两点求直线的斜率，再运用点斜式求直线方程即可；（2）本小题先求点A到直线BC的距离就是高，再求B、C两点的距离就是底边，最后求三角形面积即可.
【解析】（1）∵ B(3，−3)，C(0，2)，∴ ，
∴ BC边所在直线的方程：，即，
（2）A(−5，0)，∴点A到直线BC的距离为： ，
∵ B(3，−3)，C(0，2)，∴ ，
∴ .
【点睛】本题考查过两点求斜率，点斜式直线方程，点到直线的距离公式，两点间距离公式，是基础题.
52．（黑龙江省齐齐哈尔市2019-2020学年高一（下）期末数学试题）如图，已知圆内有一点，线段AB为过点且倾斜角为α的弦．

（1）当α＝135°时，求AB的长；
（2）当弦AB被点P0平分时，写出直线AB的方程．
【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）本小题先根据倾斜角求直线斜率，再求直线方程，接着联立方程求交点，最后用两点间距离公式求解即可；
（2）本小题借圆的弦的几何意义先求直线的斜率，再根据点斜式求直线方程.
【解析】（1）当α＝135°时，直线AB的斜率为，
因为直线AB过点，所以直线AB的方程为：即，
联立方程，解得或，则A、B两点的坐标为，，
所以.
（2）∵ ，，∴ ，
∵ 弦AB被点P0平分，∴ ，∴ ，
∴ 直线AB的方程：即，
∴ 直线AB的方程：.
【点睛】本题考查借倾斜角求斜率，运用点斜式求直线方程，两点间距离公式，圆的弦的几何意义，是基础题.
53．（黑龙江省七台河市勃利县2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知圆，直线，点在直线上，过点作圆的切线、，切点为、．
（1）若，求点坐标；
（2）若点的坐标为，过作直线与圆交于、两点，当时，求直线的方程；
（3）求证：经过、、三点的圆与圆的公共弦必过定点，并求出定点的坐标．
【答案】（1）或；（2）或；（3）
【解析】（1）由条件可知，设，则，
解得或，所以或.
（2）由条件可知圆心到直线的距离，
设直线的方程为，
则，解得或，
所以直线的方程为或，
（3）设，过、、三点的圆即以为直径的圆，
其方程为，
整理得与相减得
，即，
由得，所以两圆的公共弦过定点
【点睛】本题第一、二小题较容易，第三小题较难．但第三小题解法巧妙，使得问题简化．这种解法是这样的，将两圆的方程相减，得到一条直线的方程，由于两圆相交于两点，因而这条直线也经过这两点，故这条直线就是弦所在的直线．
54．（湖北省部分省重点中学?2019-2020学年高一（下）期末数学试题）已知的顶点边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为.求
（1）顶点的坐标；
（2）直线的方程.
【答案】（1）（2）
【分析】（1）先求所在边的直线方程，然后与所在直线方程建立方程组求解.
（2）先设，求出，代入直线方程，再根据在所在直线上，代入的直线方程，建立方程组求出点B的坐标，再用两点式写出BC所在的直线方程.
【解析】（1）因为边上的高所在直线方程为，
所以，又因为点，
所以所在边的直线方程为：，
又因为边上的中线所在直线方程为，
由，得，所以.
（2）设，则的中点在中线上，
所以，即，
又点在所在直线上，所以，
由，解得，所以，
所以直线的方程，即.
55．（内蒙古通辽市科左后旗甘旗卡第二高级中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题）已知直线经过点，且被圆截得的弦长为8，求直线的方程．
【答案】或．
【分析】先由题意得到圆心坐标与半径，根据弦长求出圆心到直线的距离；分别讨论直线斜率存在与不存在两种情况，结合点到直线距离公式，列出方程求解，即可得出结果.
【解析】圆的圆心为，半径．
由直线被圆截得的弦长为8，故根据垂径定理得圆心到直线的距离为：，
①当直线的斜率不存在时，则的方程为，圆心到直线的距离为，故直线符合题意；
②当直线的斜率存在时，设其方程为，即．
由题意可知，解得，
即所求直线方程为．
综上所述，满足题意的直线的方程为或．
【点睛】本题主要考查已知弦长求直线方程，熟记直线与圆的位置关系，以及点到直线距离公式即可，属于常考题型.