专题02 空间向量与立体几何（解答题）（10月）（人教A版2019）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递_数学》

专题02 空间向量与立体几何（解答题）
一、解答题
1．（浙江省“七彩阳光”新高考研究联盟2020-2021学年高三上学期返校联考）如图，在三棱台中，平面平面，，，．

（1）证明：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：设，则，又，
由余弦定理知：．由勾股定理的逆定理知：，
又平面平面，平面平面，
平面，∴平面，∵平面，∴．
（2）令，则，
又，，由余弦定理知：，
∴，∴，∴平面，∴，
∴，如图，以点为原点，建立空间直角坐标系

，，，
设点为，则
得到：．∴，∴，
设平面的法向量为，
，得到，
又，∴．
2．（重庆市南开中学2020届高三下学期第九次教学质量检测数学（理））如图，直三棱柱中，，，、分别为、的中点．

（1）证明：平面；
（2）若直线与所成的角为，求二面角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连接、，
，为的中点，，
在直三棱柱中，平面，平面，，
，平面．
、分别为、中点，，，
为中点，，，，，
四边形为平行四边形，，所以平面；
（2）设，，为异面直线、所成的角，
，，
以为坐标原点，以、、所在的直线分别为、、轴建立如图所示空间直角坐标系，

则，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，由，可得，
令，则，，所以，平面的一个法向量，
设平面的法向量为，由，可得，
令，则，，所以，平面的法向量为，
设二面角的大小为，，
所以．
3．（重庆市第八中学2020届高三下学期第五次月考数学（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，平面CDP，已知，Q为线段DP的中点．

（1）求证：平面ACQ；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）连结交于点，连结
ABCD为正方形，则为的中点，又为中点．
所以，面，面，所以面．
（2）平面CDP，面，则
又ABCD为正方形，所以，且
所以面， 由面ABCD．所以面面ABCD．
过作交于点，则面ABCD．
，则．取的中点为，
以为原点， 为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．
则，
设面的法向量为，，
所以 ，即 ，取，
设面的法向量为，，，
所以 ，即，取，
所以 ，
所以二面角的平面角的余弦值.

4．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）在直线三棱柱中，，延长至点，使，连接交棱于点．以为坐标原点建立空间直角坐标系，如图所示．

（1）写出、、、、、的坐标；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）．
（2）∵，
∴，
∴异面直线与所成角的余弦值为.
5．（江苏省镇江市扬中市第二高级中学2020-2021学年高三上学期初检测）如图，已知四棱锥的底面是菱形，对角线，交于点，，，，底面，设点满足．

（1）若，求二面角的大小；
（2）若直线与平面所成角的正弦值，求的值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）以O为坐标原点，建立坐标系，则
，，，，，
所以，，设，
则，，所以，
易知平面的一个法向量，设平面的一个法向量为，
则，，所以，
，
由图形可得，二面角为锐角，所以二面角的大小为．
（2），，设，
则，，
所以，设平面的一个法向量，
则，令，则，
，
因为直线与平面所成角的正弦值，
则，
，解得：，，．

6．（辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考）已知空间中三点，，，设，．
（1）求向量与向量的夹角的余弦值；
（2）若与互相垂直，求实数的值．
【答案】（1）；（2）或．
【分析】（1）先写出，，再根据空间向量的夹角公式直接求解即可；
（2）根据空间向量垂直的坐标表示直接求解即可得答案．
【解析】（1）∵，，
设与的夹角为，∴；
（2）∵，且，
∴，即：或．
7．（河北省邯郸市大名县第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考）如图，在四棱锥中，底面，，，，．

（1）求证：；
（2）若，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【分析】（1）取的中点，连接，根据线面垂直的判定定理，证明平面，进而可得线线垂直；（2）以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，根据题中条件，分别求出两平面的法向量，求出两向量夹角的余弦值，即可得出结果．
【解析】（1）证明：取的中点，连接，因为，所以，
又因为，所以四边形是平行四边形．
因为所以四边形是矩形．所以．
又，所以．
所以是直角三角形，即．
又底面，底面，所以．
又平面，平面，且．
所以平面．又平面，所以．

（2）如图，以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，由（1）知，，．

，所以．所以
所以．
设平面的法向量为，则，
所以，即，取，则，，
所以平面的一个法向量为．
又平面的一个法向量为
所以.
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为．
【点睛】本题主要考查证明线线垂直，以及求二面角，熟记线面垂直的判定定理与性质定理，灵活运用空间向量的方法求二面角即可，属于常考题型．
8．（安徽省合肥市庐江县2019-2020学年高二下学期期末数学（理））如图，平面，，．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）若二面角的余弦值为，求线段的长．
【答案】（1）见证明；（2）（3）
【分析】首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系
（1）利用直线BF的方向向量和平面ADE的法向量的关系即可证明线面平行；
（2）分别求得直线CE的方向向量和平面BDE的法向量，然后求解线面角的正弦值即可；
（3）首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF长度的方程，解方程可得CF的长度．
【解析】依题意，可以建立以A为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系(如图)，

可得．
设，则．
（1）依题意，是平面ADE的法向量，
又，可得，
又因为直线平面，所以平面．
（2）依题意，，
设为平面BDE的法向量，则，即，
不妨令z=1，可得，因此有．
所以，直线与平面所成角的正弦值为．
（3）设为平面BDF的法向量，则，即．
不妨令y=1，可得．
由题意，有，解得．
经检验，符合题意｡所以，线段的长为．
9．（四川省宜宾市叙州区第二中学校2021届高三上学期开学考试数学（理））如图，在以，，，，，为顶点的五面体中，平面平面，，四边形为平行四边形，且．

（1）求证：；
（2）若，，直线与平面所成角为60°，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此．证明平面，即可证明结论；
（2）以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面的法向量，平面的法向量，代入向量的夹角公式，即可得答案；
【解析】（1）过作交于，连接，由平面平面，得平面，因此．

，，，，，
由已知得为等腰直角三角形，
因为，又，，
平面，．
（2），平面，平面，平面，
平面平面，．由（1）可得，，两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

由题设可得，进而可得，，，，，．
设平面的法向量，则，，可取．
设平面的法向量，则，，
可取．则．
二面角的余弦值为．
10．（江苏省无锡市江阴市2020-2021学年高三上学期开学检测）如图，在直角梯形中，，，，，是的中点，是与的交点．将沿折起到的位置，如图．

（1）证明：平面；
（2）若平面平面，求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）在图的直角梯形中，连接，

，，，是的中点，所以且，所以，四边形是菱形，则，
翻折后，在图中，，．
，平面，
又因为且，，是的中点，且，
所以四边形是平行四边形，从而．
平面，平面；
（2）由已知，平面平面，又由（1）知，，．
所以为二面角的平面角，所以．
如图，以为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，因为，且，

所以，，，．
得，，．
设平面的法向量，平面的法向量，
平面与平面夹角为，
则，得，令，可得，则，
，得，令，可得，，则，
从而，
即平面与平面夹角的余弦值为．
11．（江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试）如图，已知，平面，平面，过点且垂直于的平面与平面的交线为，，，．

（1）证明：平面；
（2）设点是上任意一点，求平面与平面所成锐二面角的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：因为，平面，所以//平面，
又平面，平面平面，所以//．
因为平面，所以．又，，
所以平面，从而平面．
（2）作//，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设，平面､平面的法向量分别为，，
则，，，．
因为平面，所以，令，得，，即．
同理，令，得，，即．
因为，当且仅当时取等号，
所以平面与平面所成锐二面角的最小值为．

12．（江苏省南京市秦淮中学2020-2021学年高三上学期期初调研）如图，是半圆的直径，是半圆上除，外的一个动点，垂直于半圆所在的平面，，，．

（1）证明：平面平面；
（2）当点为半圆的中点时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵是圆的直径，∴，
∵平面，平面，∴，
又，∴平面，
∵，，∴四边形是平行四边形，∴，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）当点为半圆的中点时，，
以为原点，以，，为坐标轴建立空间坐标系如图所示：
则，，，，
∴，，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则，，即，，
令得，令得．∴．
∵二面角是钝二面角，∴二面角的余弦值为．

13．（浙江省平阳县浙鳌高级中学2021届高三上学期期初教学质量监测）正三棱锥的底面正三角形的边长为，侧棱，，分别为，中点，为中点，棱上有一点（不为中点），直线与直线交于，直线与直线交于．

（1）证明：平面；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）由题意可得是正三角形的中位线，所以，面，面，可得面，面，面面，则，在正三角形中，为中点，可得，即，
底面正三角形的边长为，侧棱长为，可得三条侧棱两两垂直，
即，，可得面，则，
又，由线面垂直的判定定理可得平面．
（2）由已知可得三条侧棱两两垂直，以直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，
设，则，由与共线得，
得，解得，所以，同理得，
可得，设平面的一个法向量为，
，令，得，即，，
设直线与平面所成角为，则，
则直线与平面所成角的正弦值为．

14．（湖南省岳阳市汨罗市二中2020-2021学年高三上学期入学考试）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，平面平面，点为棱的中点．

（1）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由；
（2）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．
【答案】（1）见解析（2）
【解析】（1）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点．
理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，
且，故且．所以，四边形为平行四边形．
所以，，又平面，平面，所以，平面．
（2）由题意知为正三角形，所以，亦即，
又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，
设，则由题意知，，，，
，，
设平面的法向量为，
则由得，令，则，，
所以取，显然可取平面的法向量，

由题意：，所以．
由于平面，所以在平面内的射影为，
所以为直线与平面所成的角，
易知在中，，从而，
所以直线与平面所成的角为．
15．（河北省石家庄市第二中学2020-2021学年高二上学期8月线上考试（二））如图，在三棱锥中，平面，平面平面，．

（1）证明：平面；
（2）若二面角的余弦值为，线段的长．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）平面，平面，
取的中点为，连接，，

又平面平面，平面平面，平面
平面，又平面，，
，平面，平面.
（2）设，由（1）知，平面，平面，
如图，分别以所在直线为轴，轴，过点作轴，且平行于，建立空间直角坐标系，易得，
平面的法向量为，
设平面的法向量为，
，，
解得，即，从而得出，在中，
线段的长为.

16．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三高考数学（理科）模拟试题（一）（a卷））在四棱锥中，，，．

（1）证明：平面平面；
（2）求直线与平面夹角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：设、的中点分别为O、E，连接、、
则为直角梯形的中位线，故．
又且E为中点，故．
又，从而平面，从而．
又且O为中点，故．
这样与平面内的两条相交直线，垂直
从而平面．又平面，故平面平面．

（2）在上取一点F，使得，则，，两两垂直，以O为原点，射线，，分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

设，求得，，，
从而：，，
设平面的法向量为，由可取．
，故直线与平面夹角的正弦值为．
17．（江西省赣州市赣县第三中学2019-2020学年高二6月份考试数学（理））如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接．

（1）求证：平面平面；
（2）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积．
【答案】（1）见证明；（2）2．
【解析】（1）连接，

∵菱形中，，∴为等边三角形，
又为中点，∴．又，则，
又，∴平面，
又，∴平面，
又平面，∴平面平面．
（2）∵平面 平面，且交线为，，平面，
∴， 以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，设，则，
则， 设平面的一个法向量为，
则，即，可取
又平面的法向量可取，由题意得，
解得，即，又菱形的面积，
∴四棱锥的体积为．
【点睛】空间向量的引入，为解决立体几何中的角度问题提供了工具，可将几何问题转化为数的运算的问题处理，但解题中需要注意向量的夹角与空间角的关系，在进行代数运算后还需要再转化为几何问题，属于中档题．
18．（江苏省苏州中学园区校2020-2021学年高三上学期8月期初调研）如图1，四边形ABCD为矩形，BC=2AB，E为AD的中点，将ABE、DCE分别沿BE、CE折起得图2，使得平面平面BCE，平面平面BCE．

（1）求证：平面平面DCE；
（2）若F为线段BC的中点，求直线FA与平面ADE所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：在图1中，BC=2AB，且E为AB的中点，
，同理．
所以，
又平面平面BCE，平面平面，
所以平面ABE，又平面，所以平面平面DCE．
（2）如图，以点E为坐标原点，EB，EC所在的直线分别为轴，轴建立空间直角坐标系，设，

则．
向量，设平面ADE的法向量为
由，得，令，得平面ADE的一个法向量为，
又， 设直线FA与平面ADE所成角为，
则，所以直线FA与平面ADE所成角的正弦值为．
19．（山东省滕州市第一中学2020-2021学年高二9月开学收心考试）如图所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，平面ABCD，，，BE与平面ABCD所成角为．
求证：平面BDE；
求二面角的余弦值；
设点是线段BD上的一个动点，试确定点的位置，使得平面BEF，并证明你的结论．

【答案】（1）见解析 （2）（3）M的坐标为(2，2，0)，见解析
【解析】（1）证明：∵平面，平面，
∴，又∵是正方形，∴，
∵，∴平面．
（2），，两两垂直，所以建立如图空间直角坐标系，

∵与平面所成角为，即，
而，由，可知：，∴．
则，，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则．因为平面，所以为平面的法向量，
∵，所以．
因为二面角为锐角，故二面角的余弦值为．
（3）依题意得，设，则，
∵平面，∴，即，解得：，
∴点的坐标为，此时，∴点是线段靠近点的三等分点．
【点睛】利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”．
20．（江苏省苏州市高新区第一中学2020-2021学年高二上学期期初）如图，在三棱锥中，平面平面，，，，分别是，的中点，．

（1）若，求异面直线与所成角的余弦值的大小；
（2）若二面角的余弦值的大小为，求的长．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）连接，
因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，又平面，所以；
因为，是的中点，
所以，且，则，，
如图，建立空间直角坐标系．
则，，，，．
从而，，
所以，
所以异面直线与所成角的余弦值的大小为．
（2）设，则．因为，，所以平面．
从而是平面的一个法向量．
不妨设平面的一个法向量为，
因为，，所以，即．
不妨令，则，，即．
由已知，得，化简得，
所以．

【点睛】本题主要考查由空间向量的方法求异面直线所成的角，考查由二面角求其它的量，灵活掌握空间向量的方法求解即可，属于常考题型．
21．（江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期8月开学测试）如图，在四棱锥中，PA⊥底面ABCD，BC∥AD，AB⊥BC，，，M是PD的中点．

（1）求证：CM∥平面PAB；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）如图，取的中点，连接．

分别为的中点，，
又且，，四边形为平行四边形，
，又平面，平面，平面．
（2）由题意知：两两垂直，以为坐标原点，所在的直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系：

则，，，，，
，，，
设平面的法向量，则，
令，则，，．
平面，为平面的一个法向量，
，
二面角为锐二面角，二面角的余弦值为．
22．（西藏山南市第二高级中学2020届高三第三次模拟考试数学（理））在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，点在底面上的射影恰是的中点，侧棱和底面成角．

（1）若为侧棱上一点，当为何值时，；
（2）求二面角的余弦值大小．
【答案】（1）；（2）
【解析】由题意可知底面，且，
以点为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系．
因为是边长为的正三角形，又与底面所成角为，
所以，所以．
所以，，，，．
（1）设，则，所以，
．若，则，
解得，而，所以，所以．
（2）因为，，设平面的法向量为，
则，令，则，，
所以．而平面的法向量为，
所以，又显然所求二面角的平面角为锐角，
故所求二面角的余弦值的大小为．
23．（辽宁省多校联盟2019-2020学年高一下学期数学期末试题）如图，直四棱柱的底面为直角梯形，，，，，，分别为棱，的中点．
（1）在图中作出平面与该棱柱的截面图形，并用阴影部分表示(不必写出作图过程)；
（2）为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值．

【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）取中点，连结､，则四边形是平面与该棱柱的截面图形．

（2）∵直四棱柱的底面为直角梯形，，，
，，，分别为棱，的中点，
∴以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，，，
设异面直线与所成角为，
则．∴异面直线与所成角的余弦值为．
24．（山东省泰安市2020届高三第四轮模拟复习质量）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB，E为线段PB的中点，F为线段BC上的动点．

（1）求证：AE⊥平面PBC；
（2）试确定点F的位置，使平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°．
【答案】（1）见解析（2）当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
【解析】（1）∵PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，∴PA⊥BC，
∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC ，又 PA∩AB=A，PA，AB平面PAB，∴BC⊥平面PAB，
∴AE平面PAB，∴AE⊥BC，∵PA=AB，E为线段PB的中点，∴AE⊥PB，
又 PB∩BC=B，PB，BC平面PBC，∴AE⊥平面PBC .
（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz，

设正方形ABCD的边长为2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0）P（0，0，2）E（1，0，1），∴，， ，
设F（2，λ，0）（0≤λ≤2），∴，设平面AEF的一个法向量为，
则，∴，令y1=2，则，∴ ，
设平面PCD的一个法向量为，则，∴，
令y2=1，则，∴，∵平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°，
∴，解得λ=1，
∴当点F为BC中点时，平面AEF与平面PCD所成的锐二面角为30°
【点睛】本题考查空间直线和直线、直线和平面、平面和平面的垂直的证明，二面角等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力和空间想象能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．
25．（广东省河源市2019-2020学年高二下学期期末数学（理））如图，在四棱锥中，平面，四边形为梯形，，，为侧棱上一点，且，，，．

（1）证明：平面．
（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）答案见解析；（2）．
【解析】（1）证明：如图所示，连接交于点，连接．
四边形为梯形，且，，即，
在中，，，//
又平面，平面，//平面．
（2）如图所示，以点为坐标原点，以分别以、、为轴、轴和轴建立空间直角坐标系，则，，，，．
所以，，，，，
设和分别是平面和平面的法向量，则
，得，令得，，即，
，得，令得，，即
所以，，
故平面和平面所成角锐二面角的余弦值为平面．

【点睛】本题考查空间线面平行的证明及二面夹角的计算问题，难度一般． 证明线面平行时要紧扣线面平行的判定定理，二面角的计算一般通过法向量的夹角处理，准确计算出平面的法向量是关键．
26．（广东省佛山市第四中学2021届高三上学期8月开学考试）如图，底面 是边长为1的正方形，平面，，与平面所成角为60°．
（1）求证： 平面；
（2）求二面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵平面，平面，∴所以，
又∵底面是正方形，∴．
∵，∴平面．
（2）解：∵两两垂直，∴以为原点，方向为x轴，方向为y轴，方向为z轴建立空间直角坐标系，由已知可得，∴，
由，可知．
则，
∴，．设平面的一个法向量为，
则，即令，则．
∵平面，则为平面的一个法向量，∴，，∵二面角为锐角，∴二面角的余弦值为．
27．（广东省广州市六区2021届高三上学期9月教学质量检测（一））如图，在圆柱中，为圆的直径，C，D是弧上的两个三等分点，是圆柱的母线．

（1）求证：平面；
（2）设，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】连接，根据C，D是半圆上的两个三等分点，利用平面几何知识，得到四边形是平行四边形，则，然后利用线面平行的判定定理证明．
（2）根据是圆柱的母线，得到平面，在中求得，在中，求得，然后在内，作于点H，连接，就是二面角的平面角，然后由求解．
【解析】（1）如图所示：

连接，因为C，D是半圆上的两个三等分点，
所以，又，
所以，，均为等边三角形．所以，
所以四边形是平行四边形．所以，
又因为平面，平面，所以平面．
（2）因为是圆柱的母线，所以平面，平面，
所以，因为为圆的直径，所以，
在中，，，所以，
所以在中，，如图所示：

以C为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，．
设平面的一个法向量为，则，即
令，则，所以平面的一个法向量为．
又因为平面的一个法向量．所以．
所以结合图形得，二面角的余弦值为．
28．（安徽省合肥市2020-2021学年高三上学期期初调研性检测理科）在三棱锥中，平面，平面平面．

（1）证明：平面；
（2）若为的中点，且，，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）过点作，垂足为点，

平面平面，平面平面，，平面，平面，平面，，
又平面，平面，，
又，、平面，平面；
（2），，为中点．
又为的中点，．由（1）知，平面，平面，
、平面，，，
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图．

设，则，，
则，，，，，．
设平面的法向量为，则，，
由，即．
令得，，则．
设平面的法向量为，，，
由，可得，令，可得，，则，
．由图象可知，二面角是钝角，
因此，二面角的余弦值为．
【点睛】本题考查线面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题．
29．（山东省2021届高三开学质量检测）如图，在几何体中，底面，，，，，，，，，设点在棱上，已知平面．

（1）求线段的长度；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】以为坐标原点，射线为轴的正半轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由，，，，，易知．
则，，，，，，
（1）设，因为平面，所以，
，，，解得，
所以线段的长度为1．
（2）设是平面的一个法向量，，，
则，可取，
同理，设是平面的一个法向量，
则，可取．
则，显然二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为．

30．（四川省成都市第七中学2020-2021学年高三入学考试理科）如图，在以P为顶点的圆锥中，母线长为，底面圆的直径AB长为2，O为圆心．C是圆O所在平面上一点，且AC与圆O相切．连接BC交圆于点D，连接PD，PC，E是PC的中点，连接OE，ED．

（1）求证：平面平面PAC；
（2）若二面角的大小为，求面PAC与面DOE所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】（1）证明：AB是底面圆的直径，AC与圆切于点A，所以，
又底面，则，，所以：面，
又因为，在三角形PAB中，，
，所以面PAC，面PBC，所以：平面平面PAC；
（2）因为，，为二面角的平面角，
，如图建立坐标系，易知，则，，，，，，

由（1）知为平面PAC的一个法向量，设平面ODE的法向量为，
，，
解得：，．
31．（江苏省无锡市梅村高级中学2020-2021学年高三上学期期初检测）如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD⊥底面ABCD．设平面PAD与平面PBC的交线为l．

（1）证明：l⊥平面PDC；
（2）已知PD=AD=1，Q为l上的点，求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明： 在正方形中，，
因为平面，平面，所以平面，
又因为平面，平面平面，所以，
因为在四棱锥中，底面是正方形，所以
且平面，所以
因为，所以平面；
（2）如图建立空间直角坐标系，

因为，则有，
设，则有，
设平面的法向量为，则，即，
令，则，所以平面的一个法向量为，则

根据直线的方向向量与平面法向量所成角的余弦值的绝对值即为直线与平面所成角的正弦值，所以直线与平面所成角的正弦值等于，当且仅当时取等号，所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．
32．（江苏省南京大学附属中学2020-2021学年高三上学期第一次阶段检测）如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，SD平面ABCD，，点E是上的点，且.

（1）求证：对任意的，都有
（2）设二面角C—AE—D的大小为，直线BE与平面ABCD所成的角为，若，求的值
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【分析】（1）以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出，证明即可；
（2）利用向量法表示出，即可建立方程求解．
【解析】（1）证法：以D为原点，的方向分别作为x，y，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，

则，

， 即；
（2）由（1）得．
设平面ACE的法向量为，则由得
，即，取，得·
易知平面ABCD与平面ADE的一个法向量分别为与．．
，即．
由于，解得，即为所求．
33．（广东省汕头市金山中学2019-2020学年高二下学期6月月考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面为正方形，，，且二面角与二面角都是．

（1）证明：平面平面；
（2）求钝二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）证明：∵为正方形，∴．∵，∴，
∵，平面，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面；
（2）由，，可得为二面角的平面角；
由为正方形，平面，∴，，∴平面，
∵平面，∴，可得为二面角的平面角．
可得．∵，平面，平面，
∴平面，∵平面平面，平面，
∴，∴，∴四边形为等腰梯形．
以E为原点，建立如图所示的坐标系，

设，则，，，，
∴，，
设平面的法向量为，则，
则，取．
设平面的法向量为，则，
则，取．
设二面角的大小为，则，
可知是钝角，则二面角的余弦值为．
【点睛】本题主要考查了证明面面垂直，考查用空间向量求二面角的平面角，属于中档题．
34．（山西省大同市2021届高三上学期学情调研数学（理））在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且、分别为、的中点．

（1）求证：平面；
（2）若直线与平面的交点为，且，求截面与底面所成锐二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）取的中点，连接、，

∵是的中点，∴且，
∵底面为直角梯形，，
，即，且，
∴且，∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，平面，∴平面．
（2）方法一：取的中点，连接、、、，，
连接并延长交于，已知．
∵平面，且平面平面，∴，
又，∴，建立如图所示直角坐标系，

，，，，，，则平面的法向量为，，，
设平面的法向量为，则有，即，
即，则，，即．
∴设两个法向量、的夹角为，则，
即两个法向量的夹角为．∴截面与底面所成锐二面角的大小为．
35．（2020届河北省衡水中学高三下学期第一次模拟数学（理））如图，四棱锥中，二面角为直二面角，为线段的中点，，，．

（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的大小．
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】（1）证明二面角为直二面角，所以平面平面，
因为，，平面平面，平面，
平面，又平面，，
，，又为的中点，，
又，平面，平面，平面平面．
（2）如图，连接，在平面内作的垂线，建立空间直角坐标系，

，，，，，，，，，设平面的法向量为，
即令，则，，
是平面的一个法向量，
平面，平面的一个法向量为，
，
由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的大小为．
36．（江苏省南通市如皋中学2020-2021学年高三上学期阶段检测）如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
求证：平面BDEF；
求直线AD与平面ABF所成角的正弦值．

【答案】(1)证明见解析．(2) ．
【解析】（1）设与相交于点，连接，
∵四边形为菱形，∴，且为中点，∵，∴，
又，∴平面．
（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，
∵为中点，∴，又，∴平面．
∵，，两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，
设，∵四边形为菱形，，∴，．
∵为等边三角形，∴．∴，，，，∴，，．
设平面的法向量为，则，
取，得．设直线与平面所成角为，
则．

37．（陕西省商洛市洛南中学2020-2021学年高三上学期第一次模拟数学（理））如图，在正方体中，E为的中点．

（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）如下图所示：
在正方体中，且，且，
且，所以，四边形为平行四边形，则，
平面，平面，平面；

（2）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，
设平面的法向量为，由，得，
令，则，，则．
．
因此，直线与平面所成角的正弦值为．
38．（安徽省阜阳市太和中学2019-2020学年高二下学期开学考试数学（理））如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，D，E分别是AB，AC的中点，B1E⊥平面ABC，△AB1C是等边三角形，AB=2A1B1，AC=2BC，∠ACB=90°．
（1）证明：B1C∥平面A1DE；
（2）求二面角A﹣BB1﹣C的正弦值．

【答案】（1）见解析； （2）．
【解析】（1）证明：因为A1B1∥AB，AB=2A1B1，D为棱AB的中点，所以A1B1∥BD，A1B1=BD，
所以四边形A1B1BD为平行四边形，从而BB1∥A1D．
又BB1⊄平面A1DE，A1D⊂平面A1DE，所以B1B∥平面A1DE，
因为DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC，同理可证，BC∥平面A1DE．
因为BB1∩BC=B，所以平面B1BC∥平面A1DE，又B1C⊂平面B1BC，所以B1C∥平面A1DE．
（2）以ED，EC，EB1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系E﹣xyz，设BC=a，则A（0，﹣a，0），B（a，a，0），C（0，a，0），=（0，0，），
则=（0，a，），=（a，2a，0）．设平面ABB1的一个法向量=（x1，y1，z1），
则，即，取z1=1，得=（，，1）．
同理，设平面BB1C的一个法向量=（x，y，z），又=（0，-a，），=（-a，0，0），由，得，取z=﹣1，得=（0，，-1），
所以==，故二面角A﹣BB1﹣C的余弦值为：．