专题1 空间向量及其线性运算（解析版）2020-2021学年高二数学培优对点题组专题突破（人教A版2019选择性必修第一册）

专题1 空间向量及其线性运算

考点1 空间向量的相关概念及其表示方法

1.下列命题中正确的有（    ）

(1)分别在两个平面内的两个向量不能转化为共面向量．

(2)空间中，首尾相接的若干个向量构成一个封闭图形，则它们的和为0．

(3)因为向量由长度和方向两个属性构成，一般地说，向量不能比较大小．

A．0个

B．1个

C．2个

D．3个

【答案】B

【解析】在空间任何两个向量都是共面的，所以(1)不正确．在(2)中它们的和应为0，而不是0，所以(2)不正确，(3)是正确的．

2.已知向量，，满足||＝||＋||，则（    ）

A．＝＋

B．＝－－

C．与同向

D．与同向

【答案】D

【解析】由条件可知，C在线段AB上，故D正确．

3.给出下列命题：

①零向量没有确定的方向；

②空间向量是不能平行移动的；

③有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大；

④如果两个向量不相同，那么它们的长度也不相等，其中正确的是（    ）

A．①②

B．②③

C．①③

D．①③④

【答案】C

【解析】①正确，零向量的方向是任意的，

②错误，空间向量可以平行移动，

③正确，向量的模可以比较大小，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大，

④错误，如果两个向量不相同，它们的长度可以相等.

4.下列命题正确的有（    ）

(1)若|a|＝|b|，则a＝b；

(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则＝是四边形ABCD是平行四边形的充要条件；

(3)若a＝b，b＝c，则a＝c；

(4)向量a，b相等的充要条件是

(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；

(6)＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】(1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同；

(2)正确．∵＝，∴||＝||且∥，又∵A，B，C，D不共线，

∴四边形ABCD是平行四边形．反之，在▱ABCD中，＝；

(3)正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，

∴b，c的长度相等且方向相同，故a＝c；

(4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反；

(5)正确．a＝b⇒|a|＝|b|，|a|＝|b|a＝b；

(6)不正确.＝，||＝||且与同向．

故选C.

5.下列命题是真命题的是（    ）

A．四边形ABCD是平行四边形的充要条件是＝

B．若非零向量a，b方向相反，则a与b是相反向量

C．若向量、满足||＞||，则与同向，且＞

D．若两个非零向量与满足＋＝0，则、为相反向量

【答案】D

【解析】A错，应为＝；B错，只有向量a、b方向相反，模相等时，a，b才是相反向量；C错，||＞||只能说明的长度大于的长度，但方向不定，且向量不能比较大小．只有D正确．

6.如下图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1，在下列选项中，与相等的向量是（    ）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由相等向量的定义可知.

7.如下图，在四棱柱的上底面ABCD中，＝，则下列向量相等的是（    ）

A．与

B．与

C．与

D．与

【答案】D

【解析】∵＝，∴||＝||，AB∥DC，即四边形ABCD为平行四边形，由平行四边形的性质知，＝.∴应选D.

8.如图在以长，宽，高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD－A1B1C1D1中的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，单位向量共有________个，模为的所有向量为________．

【答案】8，，，，，，，

【解析】由于长方体的高为1，所以长方体的4条高所对应的向量，，，，，，，，共8个单位向量．而其余向量模均不为1，故单位向量共8个，

长方体的左、右两侧面的对角线长均为，故模为的向量有，，，，，，，.

考点2 空间向量的加减运算

9.设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是（    ）

A．＋＝

B．＋＋＝0

C．－＝

D．＝－

【答案】B

【解析】注意向量的和应该是零向量，而不是数0.

10.空间四边形ABCD中，若E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA边上的中点，则下列各式中成立的是（    ）

A．＋＋＋＝0

B．＋＋＋＝0

C．＋＋＋＝0

D．－＋＋＝0

【答案】B

【解析】＋＝＋＝，＋＝，

易证四边形EFGH为平行四边形，故＋＝0，故选B.

11.如下图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的是（    ）

①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.

A．①③

B．②④

C．③④

D．①②③④

【答案】D

【解析】①(＋)＋＝＋＝；

②(＋)＋＝＋＝；

③(＋)＋＝＋＝；

④(＋)＋＝＋＝.

12.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，下列各式中运算的结果为向量的是（    ）

①(－)－；②(＋)－；③(－)－2；④(－)＋.

A．①②

B．②③

C．③④

D．①④

【答案】A

【解析】如下图，

①(－)－＝＋＋＝＋＝.

②(＋)－＝(＋)＋＝＋＝.

13.设P是△ABC所在的平面内的一点，＋＝2，则（    ）

A．＋＝0

B．＋＝0

C．＋＝0

D．＋＋＝0

【答案】C

【解析】∵＋＝2，∴－＋－＝0即＋＝0.

14.已知正方体ABCD－A′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有（    ）

①＋与＋是一对相反向量；

②－与－是一对相反向量；

③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；

④－与－是一对相反向量．

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

【答案】C

【解析】如下图所示，①＝－，＝－，

∴＋＝－(＋)，是一对相反向量；

②－＝＋＝，－＝＋＝D′A′，而＝，故不是相反向量；

③同①也是正确的；

④－＝＋＝，－＝＋＝＝－，是一对相反向量．

15.已知正方体ABCD－A′B′C′D′中，棱长为1，设＝a，＝b，＝c.

(1)用a，b，c表示向量；

(2)试求向量a＋b＋c的模．

【答案】(1)在三角形ACA′中，＝－.

在四边形ABCD中，＝＋.

故＝＋－＝a＋b－c.

(2)利用向量加法的平行四边形法则，结合正方体性质得

a＋b＋c＝＋＋＝＋＋＝＋＝，故|a＋b＋c|＝||＝.

16.在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．

【答案】－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图．

考点3 空间向量的数乘运算

17.设O－ABC为四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1.若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为（    ）

A．(，，)

B．(，，)

C．(，，)

D．(，，)

【答案】A

【解析】如下图，

∵＝，∴＝，

而＝＋＝＋(＋)＝＋

＝×(＋)＋＝(＋＋)，

∴＝＋＋.故选A.

18.已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足＝(＋＋2)，则点P一定为三角形ABC的（    ）

A．AB边中线的中点

B．AB边中线的三等分点(非重心)

C．重心

D．AB边的中点

【答案】B

【解析】取AB边的中点M，则＋＝2，由＝(＋＋2)可得3＝＋2，

∴＝，即点P为三角形中AB边上的中线的一个三等分点，且点P不过重心，故选B.

19.已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2＋＝0，则等于（    ）

A．2－

B．－＋2

C．－

D．－＋

【答案】A

【解析】由已知得2(－)＋(－)＝0，∴＝2－.

20.底面是平行四边形的四棱柱叫平行六面体．如下图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若＝a，＝b，＝c，则向量等于（    ）

A．－a＋b＋c

B．a＋b－c

C．a－b－c

D．－a－b＋c

【答案】C

【解析】＝＋＝＋

＝(－)－＝a－b－c.

21.已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　)

A．A，B，D

B．A，B，C

C．B，C，D

D．A，C，D

【答案】A

【解析】∵＝－＝＋＝＋＋＝(7a－2b)＋(a＋2b)＋(－5a＋6b)

＝3a＋6b＝3

∴A，B，D三点共线．

22.对空间任意一点O，若＝＋＋，则A、B、C、P四点(　　)

A．一定不共面

B．一定共面

C．不一定共面

D．与O点的位置有关

【答案】B

【解析】∵＋＋＝1，∴P、A、B、C共面．

23.如下图所示，已知在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1的对角线BC1上的点，且BN∶NC1＝3∶1，设＝αβ＋γ，则a，β，γ的值分别为________．

【答案】，，

【解析】＝＋＝＋

＝(＋)＋(＋)＝－＋＋＋

＝＋＋，

所以α＝，β＝，γ＝.

24.给出命题：①若a与b共线，则a与b所在的直线平行；②若a与b共线，则存在唯一的实数λ，使b＝λa；③若A，B，C三点不共线，O是平面ABC外一点，＝＋＋，则点M一定在平面ABC上，且在△ABC的内部，其中真命题是________．

【答案】③

【解析】①中a与b所在的直线也有可能重合，故①是假命题；②中当a＝0，b≠0时，找不到实数λ，使b＝λa，故②是假命题；可以证明③中A，B，C，M四点共面，因为

＋＋＝，等式两边同时加上，则(＋)＋(＋)＋(＋)＝0，即＋＋＝0，＝－－，则与，共面，又M是三个有向线段的公共点，故A，B，C，M四点共面，所以M是△ABC的重心，所以点M在平面ABC上，且在△ABC的内部，故③是真命题．

考点4 线线、线面平行的判断

25.在空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，则AC与平面DEF的位置关系是(　　)

A．平行

B．相交

C．在平面内

D．不能确定

【答案】A

【解析】如下图所示，易知EF∥AC，又AC⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，∴AC∥平面DEF.

26.有下列命题：

①若∥，则A，B，C，D四点共线；

②若∥，则A，B，C三点共线；

③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，b＝－e1＋e2，则a∥b；

④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.

其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．

【答案】②③④

【解析】根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．

27.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，M分别是棱AD，DD1，D1A1，A1A，AB的中点，点N在正方形EFGH的四边及其内部运动，则当N只需满足条件________时，就有MN⊥A1C1；当N只需满足条件________时，就有MN∥平面B1D1C.

【答案】点N在EG上；　点N在EH上

【解析】(1)∵EM∥BD∥B1D1，A1C1⊥B1D1，∴EM⊥A1C1，

∵EG∥AA1，A1C1⊥AA1，∴GE⊥A1C1.

∴A1C1⊥平面GEM.故当N在EG上时，MN⊥A1C1；

(2)∵EH∥A1D∥B1C，EM∥B1D1，EH∩EM＝E，

∴平面HEM∥平面B1D1C，

∴当N在EH上时，MN∥平面B1D1C.

28.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点.

(1)求证：E、F、G、H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．

【答案】证明如下图，

(1)连接BG，因为＝－＝－＝(－)＝，

则＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋，

由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面；

(2)由(1)可知EH∥BD，

又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH；

(3)连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG，

由(1)知＝，同理＝，所以＝，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形，所以EG，FH交于一点M且被M平分，

故＝(＋)＝＋＝[(＋)]＋[(＋)]

＝(＋＋＋)．