专题25 定积分（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题25  定积分

一、单选题

1．已知，则

A．1  B．2

C．3  D．4

【试题来源】甘肃省庆阳市镇原中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【答案】D

【解析】 ，选D．

2．如图，阴影部分的面积是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】甘肃省庆阳市镇原中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【答案】C

【分析】运用定积分的性质可以求出阴影部分的面积．

【解析】设阴影部分的面积为，则

．选C

3．如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为

A．0.28J  B．0.12J

C．0.26J  D．0.18J

【试题来源】云南省昆明市寻甸县民族中学2019-2020学年高二下学期第一次月考（理）

【答案】D

【分析】先根据已知条件求出弹性系数，再根据定积分可求得结果．

【解析】设弹力为，弹簧离开平衡位置的距离为，弹性系数为，

则，因为时，，

所以，所以，

所以在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功为

．故选D．

4．

A．3  B．2

C．1  D．

【试题来源】广西桂林市2019-2020学年高二下学期期末质量检测（理）

【答案】A

【解析】．故选．

5．

A．9  B．12

C．21  D．25

【试题来源】贵州省毕节市威宁县2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】C

【解析】，故选C．

6．曲线，与轴所围成的面积是

A．0  B．2

C．4  D．

【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（理）

【答案】C

【分析】根据积分的几何意义化为求可得结果．

【解析】曲线，与轴所围成的面积

．故选C

【名师点睛】由上下两条连续曲线与及两条直线与所围成的平面图形的面积为．

7．

A．  B．

C．0  D．

【试题来源】陕西省延安市吴起高级中学2019-2020学年高二下学期第四次质量检测（理）

【答案】D

【分析】定积分的几何意义是圆的个圆的面积，计算可得结果．

【解析】定积分的几何意义是圆的个圆的面积，

所以，故选D．

8．如图，在边长为1的正方形内任取一点，用表示事件“点恰好取自曲线与直线及轴所围成的曲边梯形内”，表示事件“点恰好取自阴影部分内”，则

A．  B．

C．  D．

【试题来源】吉林省白城市洮南市第一中学2019-2020学年高二期末考试数学（（理））试卷

【答案】A

【解析】根据题意，正方形的面积为1×1=1，

而与直线及轴所围成的曲边梯形的面积为

而阴影部分的面积为，

所以正方形中任取一点，点取自阴影部分的概率为，

 ．故选A．

9．函数的图象如图所示，则阴影部分的面积是

A． B．

C． D．

【试题来源】江西省上饶市2019-2020学年高二下学期期末教学质量测试（理）

【答案】C

【解析】所求面积为．

【名师点睛】本题考查定积分的几何意义，特别要注意，当时，，其积分值是负数，且该负数的绝对值或相反数才是对应阴影部分的面积．

10．求曲线与所围成的图形的面积，正确的是

A． B．

C． D．

【试题来源】西藏自治区山南市第二高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】A

【解析】如图所示 故选A．

11．由直线，，曲线及轴所围图形的面积是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】吉林省吉林市2019-2020学年高二（下）期末（理）

【答案】A

【解析】如图，由直线，，曲线及轴所围图形的面积：

．故选A．

12．

A．  B．

C．  D．

【试题来源】河南省南阳市2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】A

【分析】由题意结合定积分的几何意义和微积分基本定理整理计算即可求得最终结果．

【解析】曲线 表示单位圆位于第一象限的部分，

即 ，利用微积分基本定理可得，

据此可得．故选A．

13．

A．  B．

C．  D．

【试题来源】内蒙古北京八中乌兰察布分校2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】D

【分析】先根据定积分的几何意义，求出，再根据微积分基本定理，即可得出结果．

【解析】因为表示曲线与直线，所围成图形的面积，

又可化为，表示以原点为圆心的单位圆的一半，

所以，因此．

故选D

14．下列值等于1的积分是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】甘肃省古浪县第二中学2019-2020学年高二下学期期中考试（理）

【答案】C

【分析】分别求出被积函数的原函数，然后根据定积分的定义分别计算看其值是否为1即可．

【解析】选项A，xdxx2，不满足题意；

选项B，（x+1）dx＝（x2+x）1，不满足题意；

选项C，1dx＝x1﹣0＝1，满足题意；选项D，dxx0，不满足题意；故选C．

15．设，则

A．  B．

C．  D．不存在

【试题来源】安徽省马鞍山市含山中学2019-2020学年高二下学期5月月考（理）

【答案】C

【分析】分段函数计算定积分，可分段积分，即．

【解析】因为，所以

，故选．

16．定积分的值是

A．  B．

C．  D．

【试题来源】安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期第一次联考（理）

【答案】C

【解析】．故选C．

17．在上有两个连续型随机数，，记事件：，事件：，则

A．  B．

C．  D．

【试题来源】2020届山西省高三高考考前适应性测试（二）（理）

【答案】D

【分析】根据P（B|A）＝可得，其中S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．

【解析】设S（AB）表示A和B同时发生所构成区域的面积，S（A）表示事件A发生构成区域的面积．由或，如图所示，根据条件概率的计算公式P（B|A）＝．故选D．

18．已知函数，则

A．  B．

C．  D．

【试题来源】吉林省长春市第二中学2019-2020学年高二4月数学（理）月考复习试题

【答案】D

【解析】，，的几何意义是以原点为圆心，半径为的圆的面积的，故，故选D．

19．由曲线 ，围成的封闭图形的面积为

A．  B．

C．  D．

【试题来源】宁夏吴忠中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】C

【解析】围成的封闭图形的面积为，选C．

20．已知 ，则

A．  B．

C．  D．

【试题来源】贵州省思南中学2021届高三上学期第二次月考（理）

【答案】C

【分析】由，利用定积分的运算和几何意义求解．

【解析】，故选C．

21．函数，则的值为

A．  B．

C．  D．8

【试题来源】江西省丰城市第九中学2020届高三上学期期中考试（理）

【答案】A

【分析】先求出，再求出即得解．

【解析】由题得

，设，所以，

所以表示圆在第一象限的部分(包含与坐标轴的交点)，其面积为．所以．所以．故选A．

22．定积分

A．  B．

C．  D．

【试题来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2021届高三上学期第一次月考（开学考试）（理）

【答案】C

【分析】根据定积分的几何性质先求和，再根据定积分的运算求答案即可．

【解析】表示圆心在原点，半径为的圆的面积，为，

，所以定积分．故选C．

23．定积分

A．  B．

C．  D．

【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）

【答案】B

【解析】由定积分的运算法则，

可得，

又由，

又由，可得，表示以原点为圆心，半径为的半圆，

此半圆的面积为，根据定积分的几何意义，可得，

所以．故选B．

【名师点睛】本题主要考查了定积分的计算，以及定积分的几何意义的应用，其中解答中熟记定积分的运算法则，以及定积分的几何意义是解答的关键，着重考查推理与运算能力．

24．已知，则

A．  B．4

C．5  D．

【试题来源】四川省成都市蓉城名校联盟2021届高三第一次联考（理）

【答案】D

【解析】由，

则，则，由

故选D．

二、填空题

25．已知________．

【试题来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）

【答案】

【解析】，

表示单位圆的上半圆的面积：

，．

26．正弦函数在上的图象与轴所围成曲边梯形的面积为______．

【试题来源】宁夏银川一中2021届高三第二次月考（理）

【答案】

【分析】由题意可知，，再根据定积分的运算法则求解即可．

【解析】．

【名师点睛】本题考查定积分在求不规则图形面积上的应用，熟练掌握定积分的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．

27．__________．

【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三第一学期10月月考（理）

【答案】

【解析】，故答案为

28．已知函数则的值为____．

【试题来源】湖南省岳阳市汨罗市二中2020-2021学年高三上学期入学考试

【答案】

【分析】由函数的解析式，得到，即可求解．

【解析】由题意，根据函数，

可得．

【名师点睛】本题主要考查了微积分基本定理的应用，其中解答中根据函数的解析式，利用微积分基本定理，得到，然后利用定积分求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

29．如图，在边长为1的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为_______．

【试题来源】青海省西宁市2019-2020学年高二下学期期末联考（理）

【答案】

【分析】利用定积分求得阴影部分的面积，然后利用几何概型的概率计算公式，即可求解．

【解析】由题意，结合定积分可得阴影部分的面积为，

由几何概型的计算公式可得，黄豆在阴影部分的概率为．

【名师点睛】本题主要考查了定积分的几何意义求解阴影部分的面积，以及几何概型及其概率的计算问题，其中解答中利用定积分的几何意义求得阴影部分的面积是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题．

30．函数在区间上的定积分为______．

【试题来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理）

【答案】

【分析】由题意得，再根据定积分的运算法则求解即可．

【解析】因为，

所以．

31．定积分________．

【试题来源】吉林省吉林地区普通高中友好学校联合体第三十届基础年段2019-2020学年高二下学期期末联考（理）

【答案】．

【解析】，

令，得，点的轨迹表示半圆，

，表示以原点为圆心，以1为半径的圆的面积的，

故，所以．故答案为．

【名师点睛】本题考查定积分的计算，一般利用牛顿莱布尼兹公式来计算，也可以利用定积分的几何意义来计算，本题属于基础题．

32．若，则a的值是______

【试题来源】安徽省合肥市长丰县第一中学2020-2021学年高三上学期第一次月考（理）

【答案】2

【分析】根据题意找出的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出值．

【解析】，，

，．故答案为2．

33．__________．

【试题来源】甘肃省天水市甘谷县第四中学2020-2021学年高三上学期第二次检测（理）

【答案】

【分析】先由定积分的几何意义知表示圆的面积的四分之一，再将定积分分为两个积分的差，再利用微积分定理求，即可得出结果．

【解析】由定积分的几何意义知表示以原点为圆心，

以1为半径的圆的面积的四分之一，即，

又，利用微积分定理得，

所以．故答案为．

34．由直线，曲线以及轴所围成的图形的面积为_______．

【试题来源】宁夏石嘴山市第三中学2021届高三上学期第一次月考（理）

【答案】

【分析】先根据题意画出所围图形，求出直线，曲线的交点坐标，再由微积分基本定理，即可求出结果．

【解析】做出草图如下，

解方程组 ，得到交点为，直线与轴的交点为，

因此，由与，以及轴所求图形面积为

．故答案为．

35．设函数，若，则等于______．

【试题来源】海南华侨中学2020届高三上学期第五次数学月考试题

【答案】

【分析】先利用微积分基本定理求出，利用，代入求解即可．

【解析】因为，

所以，即，得．故答案为．

36．曲线与直线围成的封闭图形的面积为______．

【试题来源】山西省太原五中2021届高三上学期9月段考（理）

【答案】

【解析】由，可得或

则根据积分的几何意义可知所求的几何面积

，故答案为．

37．函数的图象与轴所围成的封闭图形的面积为__________．

【试题来源】河南省新乡市安阳市鹤壁市顶尖名校2020-2021学年高三10月联考（理）

【答案】12

【分析】分别在上、上求得函数与轴所围成封闭图形的面积，再把这两个值加起来，即得所求．

【解析】由题意可得围成的封闭图形的面积为

，

，故答案为12．

38．的值为______．

【试题来源】河南省信阳市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测（理）

【答案】2

【解析】．

故答案为2．

39．函数，，与坐标轴所围成的区域的面积为________．

【试题来源】贵州省凯里市第三中学2021届高三上学期第二次月考（理）

【答案】2

【解析】由题意：函数，与坐标轴所围成的区域的面积为．故答案为2．

40．__________．

【试题来源】甘肃省武威第六中学2021届高三上学期第二次过关考试（理）

【答案】

【解析】根据积分的几何意义，原积分的值即为单元圆在第一象限的面积，

则.

41．已知函数，则______．

【试题来源】河南省郑州市示范性高中2020-2021届高三阶段性考试（三）（理）

【答案】

【分析】根据定积分的计算，求得函数的解析式，代入即可求解．

【解析】因为，可得函数，

所以．故答案为．

【名师点睛】本题主要考查了定积分计算，以及分段函数求值，其中解答中熟记定积分的计算公式，求得函数的解析式是解答的关键，着重考查运算求解能力．

42．计算 =_____________．

【试题来源】甘肃省兰州一中2019-2020学年高二（下）期中（理）

【答案】

【分析】用求导公式求出的原函数，再利用微积分基本定理及定积分的几何意义即可得到答案．

【解析】的原函数是，.

【名师点睛】利用微积分基本定理求定积分的步骤

（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差．

（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分．

（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数．

（4）利用微积分基本定理求出各个定积分的值．

（5）计算原始定积分的值．

43．________．

【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（理）

【答案】

【分析】令，得到其表示以为圆心，半径为的圆，求得其面积，结合定积分的几何意义，即可求解．

【解析】令，整理得，

所以表示以为圆心，半径为的圆，

可得其面积为，根据定积分的几何意义，可得．

44．______________．

【试题来源】甘肃省平凉市庄浪县第一中学2019-2020学年高二第二学期期中考试（理）

【答案】

【分析】根据以及定积分的几何意义可得答案．

【解析】，

因为表示的是圆在x轴及其上方的面积，

所以，所以＝．