专题23 导数及其应用（填空题）（11月）（理）（解析版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题23 导数及其应用（填空题）
一、填空题
1．函数在处的导数值是__________．
【试题来源】天津市经济技术开发区第一中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】．
【解析】由已知，时，．
2．已知函数，则函数在点处的切线方程为__________．
【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考
【答案】
【解析】由题得，，，，
故切线方程为，即．
3．已知函数，则在处的导数__________．
【试题来源】天津市南开区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】，，．
4．设函数是R内的可导函数，且，则__________．
【试题来源】安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期10月第一次联考（文）
【答案】
【分析】先利用换元法求出的解析式，再对函数求导，从而可求出的值
【解析】令，，所以，，．
5．已知，则__________．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（文）
【答案】3
【解析】由题得，令可得，则，
所以，所以．
6．已知，若，则__________．
【试题来源】重庆市开州区铁桥中学2021届高三上学期第二次质量检测
【答案】
【解析】，，则，解得．
7．设函数的导函数是，若，则__________．
【试题来源】重庆市第八中学2021届高三上学期高考适应性月考（二）
【答案】0
【解析】因为，所以，
所以，所以．
8．已知曲线(为自然对数的底数)在处的切线斜率等于，则实数__________．
【试题来源】广西南宁市普通高中2021届高三10月摸底测试（文）
【答案】1
【解析】由函数解析式，知，依题意：，
所以，则．
9．曲线在点处的切线方程为__________．
【试题来源】广东省广州市华南师范大学附属中学2020届高三上学期9月月考（文）
【答案】
【解析】由得，
则曲线在点处的切线斜率为，
因此所求切线方程为，即．
10．已知函数的定义域为，它的导函数的图象如图所示，则函数的极值点有__________个．

【试题来源】北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】2
【解析】由导函数的图象可知，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为，所以为极大值点，为极小值点，所以函数的极值点有2个．
11．若函数有且只有一个零点，则实数的值为__________．
【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】1
【解析】由，（），则，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以在时取得极小值．所以函数有且只有一个零点，只需，即，解得．
12．在中，分别为角的对边，若函数有极值点，则的范围是__________．
【试题来源】湖北省部分重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】
【解析】由题意有两个不等实根，
所以，，
所以，所以．故答案为．
13．已知函数在处有极大值，则常数c的值为__________．
【试题来源】河南省名校联考2020-2021学年高三上学期第一次模拟考试（文）
【答案】
【解析】依题意，所以，依题意，解得或．
当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极小值，不符合题意．
当时，，所以在上递增，在上递减，所以在处取得极大值，符合题意．故常数的值为．
14．若是函数的极值点，则a的值为__________．
【试题来源】江西省吉安市吉水中学2021届高三10月数学（理）月考试题
【答案】
【解析】，，
由题意可得，解得．
，，
令，得或．列表如下：














极大值

极小值

所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数的极大值点为，极小值点为．故答案为
15．已知函数的导函数为，能说明“若对任意的都成立且，则在上必有零点”为假命题的一个函数是__________．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】(答案不唯一)
【解析】“若对任意的都成立且”，则在上递减，
且，再由“在上必有零点”为假命题，可得的图象在与轴无交点，这样的函数可以是，故答案为
【名师点睛】本题考查了函数的单调性，零点的概念的理解，考查了分析推理能力，是一个开放题，答案不唯一，属于基础题．
16．，若，则a的值等于__________．
【试题来源】西藏山南第二高级中学2021届高三上学期第二次月考（文）
【答案】1
【解析】由题意，所以，解得．
17．设是函数的一个极值点，则__________．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月）数学（理）
【答案】
【解析】因为函数，所以，
因为是函数的一个极值点，
所以，，
所以，故答案为．
【名师点睛】本题考查三角恒等变换以及函数的极值的相关性质，函数的极值点所对应的导函数值为，考查的公式有以及，考查化归与转化思想，是简单题．
18．函数在[－1，1]上的最大、小值分别为和，则________．
【试题来源】吉林省长春市长春外国语学校2020-2021学年高三上学期期中考试
【答案】4
【解析】由，则，
令，解得，令，解得或，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，
，，所以，
所以．
19．若函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是_________．
【试题来源】吉林省通榆县第一中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（文）
【答案】
【解析】由题意得，令解得；令解得或，所以函数在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，
故函数在处取到极大值2，所以极大值必是区间上的最大值，
所以，解得．检验满足题意，故答案为．
20．若函数，对于任意的，（其中）不等式恒成立，则的取值范围为__________．
【试题来源】贵州省凯里市第三中学2021届高三上学期第二次月考（理）
【答案】．
【解析】由题意，函数在上是单调递增函数，所以即在上恒成立，因为当时，，所以，所以的取值范围为．
21．函数的极小值点为__________．
【试题来源】湖南省三湘名校教育联盟2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】
【分析】求出的导数，令 ，根据单调区间，可得所求极值点；
【解析】由可得，令得，所以当时，单调递减，当时，单调递增，
所以函数的极小值点为．
22．函数在上的最大值是__________．
【试题来源】江苏省徐州市大许中学2020-2021学年高二上学期第三次月考
【答案】
【解析】在上，有，
知在上单调递减，在和上单调递增，故最大值在极大值点或端点值处取得，极大值为，最大的端点值为，
明显地，，所以，在上的最大值是．
23．函数的最大值为__________．
【试题来源】陕西省安康市2020-2021学年高三上学期10月联考（理）
【答案】
【解析】，所以当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增，因为，所以的最大值为．
24．已知函数在内为增函数，则的取值范围是__________．
【试题来源】宁夏固原市五原中学补习部2021届高三上学期期中考试（文）
【答案】
【解析】由，则，因为函数在内为增函数，
则在恒成立，即在恒成立，所以．
25．如果两个函数存在零点，分别为，，若满足，则称两个函数互为“度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数的取值范围为__________．
【试题来源】云南省曲靖市第一中学2021届高三上学期高考复习质量监测（理）（三）
【答案】
【解析】函数有唯一的零点2，由题意知函数的零点满足，即．因为，所以，设，则，，
当时，，是增函数；当时，，是减函数，
所以，又，，所以实数的取值范围为．
26．已知函数的导函数为，且满足，则__________．
【试题来源】江西省赣州市2019-2020学年高二下学期期末（文）
【答案】
【分析】将看作常数利用导数的运算法则求出，然后将代入即可．
【解析】因为，所以，
将代入得，解得，故答案为．
27．设函数，则曲线在点处切线的斜率为__________．
【试题来源】江西省上高二中2021届高三上学期第三次月考（文）
【答案】
【分析】求出在处的导数值，即切线斜率．
【解析】，，
，故切线斜率为．
28．已知，则的值为__________．
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】
【解析】由，得，
所以，①，②，
由①②得，，则．故答案为．
29．给出下列三个结论：①若，则；②若，则；③若，则．其中正确结论的序号是__________．
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测
【答案】①③
【分析】根据题意，由导数的计算公式依次分析3个结论，综合即可得答案．
【解析】根据题意，依次分析3个结论：①若，则，①正确；
②若，则，②错误；③若，则，③正确；
即正确的为①③，故答案为①③．
30．已知函数的导函数为，且满足关系式，则的值等于__________．
【试题来源】云南省昆明市第一中学2021届高中新课标高三第二次双基检测（理）
【答案】
【分析】先对求导，再将代入即可求解．
【解析】由题意可得，令得，
即．故答案为．
31．已知是函数的导函数，且对任意实数都有，．是自然对数的底数，则在处切线方程为__________．
【试题来源】湖南省长郡中学、雅礼中学、河南省南阳一中、信阳高中等湘豫名校2020届高三（5月）数学（理）
【答案】
【分析】本题首先可以根据得出，然后根据以及直线的点斜式方程即可得出结果．
【解析】因为，所以，
因为，所以在处切线方程为，即．
32．曲线在处的切线方程是__________．
【试题来源】江西省鹰潭市2021届高三（上）模拟命题大赛（文）
【答案】
【解析】由函数知，把代入得到切线的斜率，
则切线方程为，即．故答案为
33．曲线在点处的切线方程是__________．
【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期六校第一次联考
【答案】
【解析】，．又，所以切点坐标为．所以曲线在点处的切线方程为，即．故答案为．
34．函数在处的切线方程是__________．
【试题来源】宁夏银川二十四中2021届高三年级上学期第二次月考（理）
【答案】
【解析】，，在处切线的斜率为，
由点斜式可得，在处切线方程为，即．
【名师点晴】利用导数求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程．
35．设曲线在点处的切线方程为，则__________．
【试题来源】甘肃省兰州一中2020-2021学年高三年级第一学期10月月考（文）
【答案】
【解析】，．
由题意可知，当时，，解得．
【名师点睛】本题考查利用切线方程求参数，一般要结合以下两点来考虑：
（1）切点为切线与函数图象的公共点；（2）切线的斜率是函数在切点处的导数值．
36．已知函数的上的奇函数，当时，，且曲线在点处的切线斜率为，则__________．
【试题来源】天一大联考2021届高三（文）阶段性测试试题（二）
【答案】
【分析】利用奇函数的定义求得函数在上的解析式，利用导数的几何意义可求得实数的值．
【解析】当时，则，，
此时，，
所以，当时，，则，解得．
37．曲线在点处的切线与坐标轴所围成的三角形面积为__________．
【试题来源】北京市房山区2019-2020学年高二下学期期末考试
【答案】
【解析】由题意，，
当时，，所以曲线在点处的切线斜率为2，
所以该切线方程为即，
易得该切线与坐标轴的交点分别为，，
所以该切线与坐标轴围成的三角形面积．
38．已知指数函数在（0，1）处的切线为y=x+1，若恒成立，则的取值范围为__________．
【试题来源】辽宁省营口第五中学2020-2021学年高三上学期第二次月考（理）
【答案】
【解析】设指数函数，则，因为函数在（0，1）处的切线为y=x+1，
所以，解得，所以，因为恒成立，所以恒成立，当时，成立，当时，令，则，当时，，递减；当时，，递增；当时，恒成立，所以，
当时，恒成立，而，所以.
综上：，所以的取值范围为.
【名师点睛】恒（能）成立问题的解法：
若在区间D上有最值，则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；．
若能分离常数，即将问题转化为（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
39．已知函数恰有3个不同的零点，则的取值范围是__________．
【试题来源】安徽省合肥一六八中学2020-2021学年高三上学期第二次段考（文）
【答案】
【分析】求出函数的导数，利用导数求出函数的极大值和极小值，根据函数恰有3个不同的零点，可得其极大值大于0且极小值小于0，求出关系即可得出结论．
【解析】，，
由得或，函数单调递增，由得，函数单调递减， 
即当时，函数取得极大值， 
即当时，函数取得极小值， 
若函数恰有3个不同的零点， 
则且， 则， 
则， 即的取值范围是．
40．若函数在上单调递减，则实数的取值范围为__________．
【试题来源】安徽省合肥市第七中学2020-2021学年高三上学期10月月考（理）
【答案】
【解析】将函数在上单调递减，
转化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
设，，，则在恒成立，由二次函数的性质得，解得，故答案为.
41．已知函数，则不等式的解集是__________．
【试题来源】安徽省皖南八校2020-2021学年高三上学期10月第一次联考（文）
【答案】
【解析】由于，所以函数为偶函数，
当时， ，，
所以在上为减函数，在是增函数，
要，则需，解得．故答案为．
42．若函数在区间(-2，-1)内存在单调减区间，则实数a的取值范围为__________．
【试题来源】北京市第二中学2021届高三10月考
【答案】
【解析】，因为在上存在单调区间，故在有部分图象在轴下方．
若即时，则即，故．
若即时，则即，无解．
若，则即，，故．
【名师点睛】本题考查函数的单调性，注意函数在某个区间上存在单调减区间，不是在给定的区间上有解，而是在给定的区间上有部分图象在轴下方，本题属于基础题．
43．函数的极大值为__________．
【试题来源】陕西省汉中市汉台二中2020-2021学年高三上学期10月月考（文）
【答案】
【解析】，定义域为，
，令，可得或．
当或时，；当时，．
所以，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，
所以，函数的极大值为．故答案为．
44．已知函数有两个极值点，则实数a的取值范围是__________．
【试题来源】江苏省南京师大附中2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【分析】对函数进行求导得，则方程在时有两个根，利用导数研究函数的值域，即可得答案.
【解析】，．在时有两个根，令，，
当时，，当时，，
在单调递增，在单调递减，且，
当时，，当时，，
与要有两个交点，，故答案为．
45．已知函数，若函数在区间上为单调函数，则实数a的取值范围为__________．
【试题来源】江西省吉安市吉水中学2021届高三10月数学（理）月考试题
【答案】
【分析】对函数进行求导，或在区间上恒成立，然后求解即可．
【解析】，
由题意可知或在区间上恒成立．
当在区间上恒成立时，，
当时，，因此有；
当在区间上恒成立时，，
当时，，因此有，
综上所述：实数的取值范围是．故答案为．
46．已知三个函数，，．若，，都有成立，求实数b的取值范围__________．
【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】由题知，．
．
在上单调递增；在上单调递减，
易知在区间上的最大值为，
，，都有成立，
即在上的最大值大于等于在上的最大值，
即，即，解得，故答案为．
47．设定义在R上的连续函数的导函数为，已知函数的图象（如图）与x轴的交点分别为，，．给出下列四个命题：

①函数的单调递增区间是，；
②函数的单调递增区间是，；
③是函数的极小值点；
④是函数的极小值点．
其中，正确命题的序号是__________．
【试题来源】北京市朝阳区2019-2020学年度高二下学期期末质量检测
【答案】②④
【解析】由函数和图象可得，
当时，，得，所以函数单调递增，
当时，，得，所以函数单调递减，
当时，，得，所以函数单调递减，
当时，，得，所以函数单调递增，
所以①错误；②正确；③是函数的极大值点，错误；④正确．故答案为②④．
48．已知函数，给出下列命题：①，都有成立；②存在常数，恒有成立；③的最大值为；④在上是增函数．以上命题中正确的为__________．
【试题来源】河南省信阳市普通高中2021届高三上学期第一次教学质量检测（文）
【答案】①②④
【分析】利用奇偶性的定义判断①；利用周期性的定义判断②；利用导数求解函数的最值；利用正弦函数的图象和性质判断④．
【解析】①，为奇函数，正确；
②，为周期函数，正确；
③，令，则，令，得，且为最大值，错误；④当时，，所以在上为增函数，正确．故答案为①②④
49．已知函数有三个极值点，则的取值范围是__________．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（理）
【答案】
【解析】由函数，求导，
因为函数有三个极值点，所以有三个不同的实根，即有三个不同的实根，
由，则有两个不等于-1的根，即有两个不等于-1的根，
设，则，
当得，当得且，
所以当时，，当时，，作出图象，如图所示：

要使有两个不同的根，则满足，所以．
50．已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为__________．
【试题来源】四川省成都市第七中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】由，所以，
令，（），则，（，），
显然，在单调递减，所以（）
令，（），，
因为，所以，则，
所以令在单调递减，
所以，所以实数的最大值为．
51．关于函数有如下四个命题：①的图象关于原点对称；②在，上单调递增；③函数共有6个极值点；④方程共有6个实根．其中所有真命题的序号是__________．
【试题来源】吉林省梅河口五中、辽源五中、四平四中2021届高三（上）第一次联考（文）
【答案】①②④
【分析】①由定义判断函数是奇函数即可；②利用导数可判断单调性；③判断函数的单调性，结合对称性即可判断极值点；④根据函数图象和极值可判断．
【解析】对于①，的定义域为，，故是奇函数，
的图象关于原点对称，故①正确；
对于②，，故当时，，
在，上单调递增，故②正确；
对于③，令可得，故在和，上单调递增，在，上单调递减，令可得或，
作出的函数图象，由图象可知只有5个极值点，故③错误；

对于④，是奇函数，故是偶函数，
的极大值为，有6个根，故④正确．
故答案为①②④．
52．若存在两个正实数，使等式成立，（其中）则实数的取值范围是__________．
【试题来源】湖北省六校2020-2021学年高三上学期10月联考
【答案】
【分析】由条件转化为，换元，令，由导数确定函数的值域即可求解．
【解析】，
设且，设，那么，
恒成立，所以是单调递减函数，
当时，，当时，，函数单调递增，
当，，函数单调递减，所以在时，取得最大值，，即，解得，故答案为．
53．已知函数，下列结论中，
①函数的图象关于原点对称；
②当时，；
③若，则；
④若对于恒成立，则a的最大值为，b的最小值为1．
所有正确结论的序号为__________．
【试题来源】湖北省随州市2019-2020学年高二下学期期末
【答案】①②④
【解析】因为，
所以，
所以为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，所以①正确；
因为，因为，所以，
所以在上单调递减，所以，
所以，所以②正确；
令，，由②可知，在上单调递减，所以，所以在上单调递减，若，所以，
即，所以③错误；
若对于恒成立，相当于在上落在直线的上方，落在直线的下方，结合图形，可知的最大值为连接的直线的斜率，即，的最小值为曲线在处的切线的斜率，即，
所以④正确；故正确答案为①②④．
【名师点睛】该题属于选择性填空题，解决此类问题的方法：（1）利用函数的奇偶性判断函数图象的对称性；（2）利用导数研究函数的单调性，从而求得其值域；（3）转化不等式，构造新函数，求导解决问题；（4）数形结合，找出范围．
54．设是函数的导函数，若对任意实数，都有，且，则不等式的解集为__________．
【试题来源】吉林省榆树市第一高级中学2020-2021学年高三10月月考（文）
【答案】
【解析】设，，
因为，所以，
即在上为增函数，且．
所以不等式，
解得．故答案为．
55．已知函数有两个极值点，则的取值范围是__________．
【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考
【答案】
【分析】求导，令有两根，即有两解，令函数，然后分析函数的单调性及最值，确定的取值范围．
【解析】因为，则，若函数有两个极值点，则有两根，则只需满足有两解，令，则，
当时，，则在上递减；
当时，，则在上递增；
所以，故只需．故答案为．
【名师点睛】本题考查根据函数极值点的个数求参数的取值范围，难度一般，解答的一般方法如下：
第一步：求函数的导函数；
第二步：令，将问题转化为根据方程根的个数确定参数的取值范围问题，或利用参变分离法将问题转化为的模型，
第三步：讨论函数的单调性及极值最值，确定的取值范围．
56．已知是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是__________．
【试题来源】甘肃省兰州一中2020-2021学年高三年级第一学期10月月考（文）
【答案】
【分析】构造函数，，求导，结合已知可判断其单调性及奇偶性，结合函数的性质即可求解．
【解析】令，，因为当时，，
则当时，，即在上单调递减，
因为为奇函数，即，则，
故为偶函数且在上单调递增，因为，故，
由可得，所以或，所以或．
解可得，或．故答案为．
【名师点睛】本题主要考查了利用函数的单调性及奇偶性求解不等式，解题的关键是构造函数并判断出其单调性及奇偶性．
57．已知函数，，若成立，则的最小值为__________．
【试题来源】北京市东城区2019-2020学年高二下学期期末统一检测
【答案】
【分析】根据得到m，n的关系，利用消元法转化为关于t的函数，构造函数，求函数的导数，利用导数研究函数的最值即可得到结论．
【解析】不妨设，所以，()
所以，即，，故()，
令()，，
所以在上是增函数，且，
当时，，当时，，
即当时，取得极小值同时也是最小值，
此时，即的最小值为．
58．已知均为正实数．．则的最小值为__________．
【试题来源】天津市和平区2020-2021学年高三上学期期中
【答案】
【解析】因为，所以，所以，
令，则
令，即，解得 ，此时单调递增，
令，即，解得 ，此时单调递减，
所以时，，所以时的最小值为3．
59．已知在内有且仅有一个零点，当时，函数的值域是，则__________．
【试题来源】重庆市巴蜀中学2021届高三上学期高考适应性月考（三）
【答案】2
【分析】先对函数求导，求出极值点，根据函数在内有且仅有一个零点可得，将极小值点代入函数即可求出，再根据函数的单调性可知求函数在的值域，即可求出，最后求出的值．
【解析】，，令，可得，
在内有且仅有一个零点，则必有，
且极小，则，
此时在，，，
又，，，，
故的值域是，即，，所以．
60．已知函数，直线分别交函数和的图象于点A和点B．若对任意都有成立，则实数m的取值范围是__________．
【试题来源】江西省南昌县莲塘第一中学2021届高三11月质量检测（文）
【答案】．
【分析】把对任意都有成立，转化为在区间内，结合导数求得函数的单调性与最小值，再根据二次函数的性质，求得的最大值，即可求解．
【解析】由题意，函数，
则直线分别交函数和的图象于点A和点B，故，
设，
因为对任意都有成立，转化为在区间内，
因为，所以在上单调递增，故，
因为，其对称轴，所以在区间上， ，
即，所以，即，
所以实数的取值范围是．故答案为．
61．设函数的图象在轴上截得的线段长为，记数列的前项和为，若存在正整数，使得成立，则实数的最小值为__________．
【试题来源】江苏省盐城市响水中学2020-2021学年高三上学期第三次学情分析考试
【答案】
【解析】得，或，故，
，则数列是以1为首项2为公比的等比数列，
，若存在正整数，使得成立，
即存在正整数，使得成立，
即存在正整数，使得成立，令，则，
由时，，时，时，又由时，，时，
，故的最小值为13，若存在正整数，使得，
则实数的最小值为13．故答案为13．
62．已知，，，则的最小值是__________．
【试题来源】浙江省绍兴市诸暨中学2020-2021学年高一上学期10月阶段性考试
【答案】
【解析】由题意，，即有且，
将代入化简得，令，
所以，则有，
当，有，单调递减；当，有，单调递增；所以，故答案为．
63．已知对任意，都有，则实数的取值范围为__________．
【试题来源】福建省漳州市2020届高三高中毕业班第二次教学质量检测（理）
【答案】
【解析】因为，所以①，
令，则，所以，
当时，，当时，，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以在单调递增，
因为①式可化为，所以，所以，令，
所以可求得在单调递增，在单调递减，
所以，所以，故答案为．
64．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】海南省海口市第四中学2021届高三上学期第一次月考
【答案】
【分析】求得函数的导数，根据函数恰有两个极值点，得到方程恰有两个正根，进而得到方程有唯一正根，转化为于函数与函数在上只有一个交点，利用导数求得函数单调性与极值，结合图象，即可求解．
【解析】由题意，函数，，可得，
因为函数恰有两个极值点，
所以方程恰有两个正根，显然时方程的一个正根，
所以方程 有唯一正根，即方程有唯一正根，
等价于函数与函数在上只有一个交点，且交点横坐标不等于1，
因为，所以函数在上单调递增，
又由，，函数的图象如图所示，可得且．

65．已知函数，下列命题中：
①在其定义域内有且仅有1个零点；
②在其定义域内有且仅有1个极值点；
③，使得；
④，，使得；
⑤当时，函数的图象总在函数的图象的下方．
其中真命题有__________．（写出所有真命题的序号）
【试题来源】北京市人大附中 2019~2020 学年度高二年级下学期数学期末练习试题
【答案】①②③⑤
【解析】，令，有，
时，，时，，
，又时，而，故有且只有一个零点，①正确；
导数为0的点附近的导数值符号不同，故为极值点，从而②正确；
令，由上面分析知，在上必有一个零点，，
，故必有一个零点，所以，，，即，所以，③正确；
取，为极大值也为最大值，不存在使得，④错误；
令，，所以，，所以，⑤正确；故答案为①②③⑤.
66．已知函数的导函数为，任意均有，且，若函数在上有两个零点，则实数的取值范围是__________．
【试题来源】百师联盟2021届高三一轮复习联考（一） （文）全国卷II试题
【答案】
【分析】要使函数有两个零点，等价于曲线与有两个交点，所以，先求出，并利用导数研究的单调性和极值，进而，讨论可以求出的范围，即可求解.
【解析】设函数，则，因为，则，设，则，所以，即，，，则在单调递减，在单调递增，，，要使函数有两个零点，等价于曲线与有两个交点，所以实数的取值范围为．
67．函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，则的取值范围是__________．
【试题来源】江苏省南通市2020-2021学年高三上学期期中模拟
【答案】
【解析】因为，所以，由题意可得，，因为，所以，故，令，则，因为，所以，应填答案．
【名师点睛】解答本题的关键是如何理解“曲线在点之间的“平方弯曲度””这一新概念的新信息，然后依据此概念建立了目标函数，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解．旨在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创新意识与分析问题解决问题的创新能力．
68．已知，直线与函数的图象在处相切，设，若在区间上，不等式恒成立，则实数的最大值是__________．
【试题来源】安徽省皖江名校联盟2021届高三第二次联考（文）
【答案】
【分析】由已知求得， ，得函数，求导，分析导函数的正负，得出函数在上单调性和最值，由恒等式的思想建立不等式组，解之可求得的最大值．
【解析】因为，所以，所以，又点在直线上，所以，
所以，，设，则，
当时，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，
，解得或，
所以的最大值为．故答案为．

二、双空题
69．设函数，若为奇函数，则曲线在点处的切线方程为__________；函数的极大值点为__________．
【试题来源】浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期期中联考
【答案】
【解析】因为函数是奇函数，
所以，从而得到，即，所以，
因为，所以，所以所求切线方程为，即；
，则 ，所以函数在上是减函数，在是增函数，所以函数的极大值点是，故答案为；．
70．已知函数，若关于的方程恰有两个不同的实数根和，则的取值范围是__________，的最大值为__________．
【试题来源】重庆市部分区2019-2020学年高二下学期期末联考
【答案】
【解析】作出函数的图象如下图所示，要使关于的方程恰有两个不同的实数根和，则需，解得，
不妨设，则，令，则，所以，令，则，
所以当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以当时，取得最大值，
所以的最大值为，故答案为；．

【名师点睛】本题考查方程的根，运用数型结合的思想，根据图象观察，构造合适的函数，利用导函数研究函数的单调性和最值，是常用的方法，属于较难题．
71．已知函数有两个不同的极值点，，则a的取值范围__________；且不等式恒成立，则实数的取值范围__________．
【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考
【答案】
【解析】，
因为函数有两个不同的极值点，
所以方程有两个不相等的正实数根，于是有：，
解得，
，
设，，故在上单调递增，
故，所以．因此的取值范围是．
故答案为；．
72．已知，曲线在点处切线的斜率为__________；若恒成立，则a的取值范围为__________．
【试题来源】福建省泉州市2021届高三毕业班质量检测
【答案】0
【解析】，，由得，得．
在单减，单增，恒成立，，．故答案为0；．
73．已知在点处的切线过点，则的单调递增区间为__________和的值为__________．
【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考
【答案】 1
【解析】由，得，
，又，
曲线在点处的切线方程为，
代入，得，解得．所以，
由得，所以的单调递增区间为，
故答案为； ．
74．已知函数．
（1）函数的最大值等于__________；
（2）若对任意，都有成立，则实数a的最小值是__________．
【试题来源】北京市第十三中学2021届高三上学期开学考试
【答案】 1
【解析】（1）函数定义域是，，
时，，递增，时，，递减，
所以时，取得极大值也是最大值；
（2）若对任意，都有成立，
等价于当时，，
由（1）当时，，且，满足题意；
当，在上递增，，在递减，，
只要即可，所以，综上，的最小值是1．故答案为；1．
75．已知函数有两个不同的极值点，，则的取值范围是__________；若不等式有解，则的取值范围是__________．
【试题来源】山东省济南市历城区历城第二中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】由题可得（），因为函数有两个不同的极值点，，所以方程有两个不相等的正实数根，
于是有解得．
若不等式有解，所以
因为
．
设，，
故在上单调递增，故，
所以，所以的取值范围是．
76．若函数的导函数存在导数，记的导数为．如果对x(a，b)，都有，则有如下性质：，其中n，，，…，(a，b)．若，则＝__________；在锐角△ABC中，根据上述性质推断：sinA＋sinB＋sinC的最大值为__________．
【试题来源】山东省潍坊市五县市2020-2021学年高三上学期阶段性监测
【答案】
【解析】设，，则，则，，
有如下性质：．
则，
的最大值为，故答案为，．
77．已知，，记，则M的最小值为__________；当M最小时，__________．
【试题来源】江苏省南通市如东高级中学2020-2021学年高三上学期10月月考
【答案】
【解析】因为的最小值可转化为函数图象上的点与直线上的点的距离的最小值的平方，由，可得，
而与直线平行的直线的斜率为，所以令得，
因此切点到直线的距离为，
即M的最小值为．过切点与直线垂直的直线为，由得．故答案为；．