专题16 圆锥曲线与方程（解答题）（11月）（理）（原卷版）-2020-2021学年高二《新题速递•数学（理）

专题16  圆锥曲线与方程（解答题）

1．求适合下列条件的曲线的标准方程．

（1），焦点在轴上的椭圆的标准方程；

（2），焦点在轴上的双曲线的标准方程．

2．已知点，点P到点F的距离比点P到y轴的距离多1，且点P的横坐标非负，点()；

（1）求点P的轨迹C的方程；．

（2）过点M作C的两条切线，切点为A，B，设的中点为N，求直线的斜率．

3．（1）已知椭圆的焦距为，准线方程为，求椭圆的方程；

（2）已知双曲线的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，求双曲线的方程．

4．已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）若，过的直线交轨迹于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．

5．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为与双曲线交于两点，求的面积．

6．（1）求焦点在坐标轴上，长轴长为6，焦距为4的椭圆标准方程；

（2）求与双曲线=1有共同的渐近线，且过点的双曲线标准方程．

7．（1）已知椭圆的焦点在轴上，长轴长为，焦距为，求椭圆的标准方程；

（2）已知双曲线的渐近线方程为，准线方程为，求该双曲线的标准方程．

8．抛物线的顶点在原点，它的焦点与椭圆的一个焦点重合，若抛物线与椭圆的一个交点是，求抛物线与椭圆的标准方程．

9．已知椭圆的左右焦点分别是，，点为椭圆短轴的端点，且的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上的一点，是椭圆上的两动点，且直线关于直线对称，试证明：直线的斜率为定值．

10．已知双曲线：的离心率为，点是双曲线的一个顶点．

（1）求双曲线的方程；

（2）经过双曲线右焦点作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点，，求．

11．已知抛物线：上一点到其焦点的距离为2．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设抛物线的准线与轴交于点，直线过点且与抛物线交于，两点（点在点，之间），点满足，求与的面积之和取得最小值时直线的方程．

12．已知点F为椭圆E：的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆E有且仅有一个交点M．

（1）求椭圆E的方程；

（2）设直线与y轴交于点P，过点P的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，若，求实数的取值范围．

13．设抛物线的焦点为，点到抛物线准线的距离为，若椭圆的右焦点也为，离心率为．

（1）求抛物线方程和椭圆方程；

（2）若不经过的直线与抛物线交于两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于两点，求面积的最大值．

14．已知椭圆的短轴长为，且经过点．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线与椭圆交于两个不同点，直线与轴交于点，直线与轴交于点，设为原点，若，求证：直线经过定点．

15．已知椭圆的中点在原点，焦点在轴上，离心率等于，它的一个顶点恰好是抛物线的焦点．

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点，在椭圆上，点、是椭圆上不同的两个动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由．

16．已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴的一个端点与短轴两个端点组成等边三角形的三个顶点，直线l经过点，倾斜角为45°，与椭圆交于A、B两点．

（1）若，求椭圆方程；

（2）对（1）中椭圆，求的面积；

（3）M是椭圆上任意一点，若存在实数，，使得，试确定，满足的等式关系．

17．已知椭圆：的离心率为，焦距为．

（1）求的方程；

（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点（点，均在第一象限），为坐标原点，证明：直线，，的斜率依次成等比数列．

18．已知椭圆的左，右焦点分别为，，离心率为，且．

（1）求椭圆的方程；

（2）设椭圆的下顶点为，过右焦点作与直线关于轴对称的直线，且直线与椭圆分别交于点，，为坐标原点，求的面积．

19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，为椭圆上一动点（异于左右顶点），面积的最大值为．

（1）求椭圆的方程；

（2）设过点的直线(的斜率存在且不为0）与椭圆相交于两点，线段的垂直平分线交x轴于点P，试判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

20．已知曲线表示焦点在轴上的椭圆．

（1）求的取值范围；

（2）设，过点的直线交椭圆于不同的两点，（在，之间），且满足，求的取值范围．

21．已知椭圆的标准方程为（），且经过点和．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设经过定点的直线与交于、两点，为坐标原点，若，求直线的方程．

22．在平面中，已知椭圆过点，且离心率．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线方程为，直线与椭圆交于，两点，求面积的最大值．

23．已知，是椭圆的左右焦点，

（1）若是椭圆上一点，求的最小值；

（2）直线与椭圆交于，两点，是坐标原点．椭圆上存在点满足，求的值．

24．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，短轴长为，，在椭圆上，且．的周长为 8．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）过椭圆上的动点作的切线，过原点作于点，求的面积的最大值．

25．过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于两点，其中是的中点；

（1）求双曲线的渐近线方程；

（2）当坐标为时，求直线的方程；

26．已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于和两点．

（1）当时，求直线的方程；

（2）若过点且垂直于直线的直线与抛物线交于两点，记与的面积分别为，求的最小值．

27．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．

（1）求双曲线的方程；

（2）已知双曲线的左右焦点分别为，直线经过，倾斜角为，与双曲线交于两点，求的面积．

28．已知双曲线：（，）的离心率为，虚轴长为4．

（1）求双曲线的标准方程；

（2）直线：与双曲线相交于，两点，为坐标原点，的面积是，求直线的方程．

29．已知抛物线的焦点为，点满足．

（1）求抛物线的方程；

（2）过点的直线交抛物线于两点，当时，求直线的方程．

30．已知动点到直线的距离比它到点的距离大1．

（1）求动点M的轨迹E的方程；

（2）若直线与轨迹E交于A，B两点，且以为直径的圆经过坐标原点，求k的值．

31．已知抛物线（）的焦点，为坐标原点，，是抛物线上异于的两点．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线，的斜率之积为，求证：直线过轴上一定点．

32．河道上有一抛物线型拱桥，在正常水位时，拱圈最高点距水面 8m，拱圈内水面宽 24m，一条船在水面以上部分高 6.5m，船顶部宽6m．

（1）试建立适当的直角坐标系，求拱桥所在的抛物线的标准方程；

（2）近日水位暴涨了1.54m，为此，必须加重船载，降低船身，才能通过桥洞，试问：船身至少应该降低多少? （精确到0.1m）

33．在平面直角坐标系中，已知，，动点满足．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点作直线交于，两点，若的面积是的面积的2倍，求．

34．已知直线与抛物线交于两点，

（1）若，求的值；

（2）以为边作矩形，若矩形的外接圆圆心为，求矩形的面积．

35．已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，抛物线上一点到其准线的距离为5，过点的直线依次与抛物线及圆交于、、、四点．

（1）求抛物线的方程；

（2）探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由；

36．光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8．

（1）求抛物线的方程；

（2）若直线与抛物线交于，两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度．

37．已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足，记的轨迹为．

（1）求的方程；

（2）若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．

38．已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是x轴，并且经过点，抛物线C的焦点为F，准线为l．

（1）求抛物线C的方程；

（2）过F且斜率为的直线h与抛物线C相交于两点A、B，过A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，求四边形的面积．

39．定义椭圆()的“蒙日圆”方程为．已知抛物线的焦点是椭圆的一个短轴端点，且椭圆的离心率为．

（1）求椭圆的标准方程和它的“蒙日圆”的方程；

（2）若斜率为的直线与“蒙日圆”相交于两点，且与椭圆C相切，为坐标原点，求的面积．

40．已知直线与圆相切，动点到与两点的距离之和等于、两点到直线的距离之和．

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）过点的直线交轨迹于不同两点、，交轴于点，已知，，试问是否等于定值，并说明理由．

41．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，离心率为，过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点，当点到直线的距离取最大值时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若，求的面积．

42．已知椭圆的右焦点为，是椭圆上一点，轴，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线与椭圆交于、两点，线段的中点为，为坐标原点，且，求面积的最大值．

43．已知双曲线的焦点在轴上，虚轴长为4，且与双曲线有相同渐近线．

（1）求双曲线的方程．

（2）过点的直线与双曲线的异支相交于两点，若，求直线的方程．

44．已知抛物线的焦点为，点到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）点为坐标原点，直线、经过点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，斜率为的直线与抛物线交于、两点，记，若，求的最小值．

45．已知曲线上的动点到轴的距离比到点(1，0)的距离小1，

（1）求曲线的方程；

（2）过作弦，设的中点分别为，若，求最小时，弦所在直线的方程；

（3）在（2）条件下，是否存在一定点，使得？若存在，求出的坐标，若不存在，试说明理由．

46．已知分别为椭圆：的上．下焦点，是抛物线：的焦点，点是与在第二象限的交点，且

（1）求椭圆的标准方程；

（2）与圆相切的直线：（其中）交椭圆于点，若椭圆上一点满足，求实数的取值范围．