人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案

这是一份人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试学案，共10页。










解决匀变速直线运动问题的常用方法


1．匀变速直线运动规律公式间的关系





2．常用解题方法


物体以一定的初速度冲上固定的光滑斜面，斜面总长度为l，到达斜面最高点C时速度恰好为零，如图．已知物体运动到距斜面底端eq \f(3,4)l处的B点时，所用时间为t，求物体从B滑到C所用的时间．


[解析] 法一：逆向思维法


物体向上匀减速冲上斜面


相当于向下匀加速滑下斜面


故xBC＝eq \f(ateq \\al(2,BC),2)，xAC＝eq \f(a（t＋tBC）2,2)，又xBC＝eq \f(xAC,4)


由以上三式解得tBC＝t.


法二：基本公式法


因为物体沿斜面向上做匀减速运动，设物体从B滑到C所用的时间为tBC，由匀变速直线运动的规律可得


veq \\al(2,0)＝2axAC①


veq \\al(2,B)＝veq \\al(2,0)－2axAB②


xAB＝eq \f(3,4)xAC③


由①②③式解得vB＝eq \f(v0,2)④


又vB＝v0－at⑤


vB＝atBC⑥


由④⑤⑥式解得tBC＝t.


法三：比例法


对于初速度为零的匀加速直线运动，在连续相等的时间里通过的位移之比为


x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)


因为xCB∶xBA＝eq \f(xAC,4)∶eq \f(3xAC,4)＝1∶3，而通过xBA的时间为t，所以通过xBC的时间tBC＝t.


法四：中间时刻速度法


利用推论：中间时刻的瞬时速度等于这段位移的平均速度，eq \(v,\s\up6(－))AC＝eq \f(v0＋v,2)＝eq \f(v0,2)，又veq \\al(2,0)＝2axAC，veq \\al(2,B)＝2axBC，xBC＝eq \f(xAC,4).由以上三式解得vB＝eq \f(v0,2).可以看成vB正好等于AC段的平均速度，因此B点是这段位移的中间时刻，因此有tBC＝t.


法五：图象法


根据匀变速直线运动的规律，作出v－t图象，如图所示．利用相似三角形的规律，面积之比等于对应边平方比，得eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(CO2,CD2)，且eq \f(S△AOC,S△BDC)＝eq \f(4,1)，OD＝t，OC＝t＋tBC.


所以eq \f(4,1)＝eq \f(（t＋tBC）2,teq \\al(2,BC))，解得tBC＝t.


法六：时间比例法


对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的各段位移所用的时间之比为t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))．


现将整个斜面分成相等的四段，如图所示，设通过BC段的时间为tx，那么通过 BD、DE、EA的时间分别为tBD＝(eq \r(2)－1)tx，tDE＝(eq \r(3)－eq \r(2))tx，tEA＝(2－eq \r(3))tx，又tBD＋tDE＋tEA＝t，解得tx＝t.


[答案] t


eq \a\vs4\al()


匀变速直线运动问题的解题步骤


(1)分析题意，确定研究对象，判断物体的运动情况，分析加速度的方向和位移方向．


(2)选取正方向，并根据题意画出运动示意图．


(3)由已知条件及待求量，选定公式列出方程．


(4)统一单位，解方程求未知量．


(5)验证结果，并注意对结果进行必要的讨论．


要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内通过一段直轨道，然后驶入一段半圆形的弯轨道，但在弯轨道上行驶时车速不能太快，以免因离心作用而偏离轨道，求摩托车在直轨道上行驶所用的最短时间．有关数据见下表：


某同学是这样解的：要使摩托车所用时间最短，应先由静止加速到最大速度v1＝40 m/s，然后再减速到v2＝ 20 m/s，t1＝eq \f(v1,a1)，t2＝eq \f(v1－v2,a2)，tmin＝t1＋t2.你认为这位同学的解法是否合理？若合理，请完成计算；若不合理，请说明理由，并用你自己的方法计算．


解析：不合理．理由如下．


首先对运动过程进行分析讨论，假设摩托车在直轨道上先加速至最大速度40 m/s，然后再减速至弯轨道允许的速度，则加速过程的位移为


x1＝eq \f(veq \\al(2,1)－veq \\al(2,0),2a1)＝eq \f(402,2×4) m＝200 m


再减速至弯轨道允许的速度时通过的位移为


x2＝eq \f(veq \\al(2,2)－veq \\al(2,1),－2a2)＝eq \f(202－402,－2×8) m＝75 m


因为x1＋x2＝275 m＞x＝218 m，因此，如果按这种方式运动，摩托车在弯轨道上行驶的速度将大于20 m/s，不符合题目要求，故摩托车在直轨道上运行时的最大速度应小于40 m/s，才能在进入弯轨道前通过减速使速度减小为20 m/s.因而，该同学的解法不合理．


综上所述，摩托车在直轨道上的运动过程应为：从静止开始加速，当速度达到某一值(小于直轨道允许的最大速度)时开始减速，恰好在运动到直轨道末端时速度减至20 m/s.此运动过程的总位移为218 m.


法一：基本公式法(利用运动学基本公式求解)


摩托车匀加速运动的位移x1＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,1)①


匀减速运动的位移x2＝v2(tmin－t1)＋eq \f(1,2)a2(tmin－t1)2②


x1＋x2＝x③


又a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)，整理得t1＝eq \f(a2tmin＋v2,a1＋a2)④


联立①②③④式，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


法二：推论法(利用运动学推论公式求解)


设行驶的最大速度为v，则匀加速运动的位移x1＝eq \f(v2,2a1)


匀减速运动的位移x2＝eq \f(veq \\al(2,2)－v2,－2a2)


且x1＋x2＝x，即eq \f(v2,2a1)＋eq \f(v2－veq \\al(2,2),2a2)＝218 m


代入数据，整理得eq \f(3,16)v2＝243 m2/s2，故v＝36 m/s


故t1＝eq \f(v,a1)＝eq \f(36,4) s＝9 s，t2＝eq \f(v－v2,a2)＝eq \f(36－20,8) s＝2 s


故最短时间tmin＝t1＋t2＝11 s.


法三：图象法(利用v－t图象求解)


(1)如图甲所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.


x＝eq \f(v,2)t1＋eq \f(v＋v2,2)(tmin－t1)①


又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)②


由②得t1＝eq \f(a2tmin＋v2,a1＋a2)③


v＝a1t1＝eq \f(a1（a2tmin＋v2）,a1＋a2)④


联立①③④式，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


(2)如图乙所示，阴影部分面积即摩托车在直轨道上运动的位移x＝218 m.


x＝S△OCD－S△ABD


即x＝eq \f(1,2)a1teq \\al(2,min)－eq \f(1,2)BD(tmin－t1)①


BD＝(v－20) m/s＋eq \f(（v－20 m/s）a1,a2)②


又v＝a1t1＝v2＋a2(tmin－t1)


得v＝eq \f(a1（a2tmin＋v2）,a1＋a2)③


①②③式联立，代入数据，整理得数学表达式


teq \\al(2,min)＋5tmin－176＝0


解得tmin＝11 s或t′min＝－16 s(舍去)．


答案：不合理，理由见解析，正确结果为11 s


运动图象与追及相遇问题的综合问题


1．应用运动图象的三点注意


(1)无论是x－t图象还是v－t图象都只能描述直线运动．


(2)x－t图象和v－t图象都不表示物体运动的轨迹．


(3)x－t图象和v－t图象的形状由x与t、v与t的函数关系决定．


2．应用运动图象解题“六看”


(多选)(2018·高考全国卷 Ⅱ )甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度－时间图象分别如图中甲、乙两条曲线所示．已知两车在t2时刻并排行驶．下列说法正确的是( )


A．两车在t1时刻也并排行驶


B．在t1时刻甲车在后，乙车在前


C．甲车的加速度大小先增大后减小


D．乙车的加速度大小先减小后增大


[解析] 本题可巧用逆向思维分析，两车在t2时刻并排行驶，根据题图分析可知在t1～t2时间内甲车运动的位移大于乙车运动的位移，所以在t1时刻甲车在后，乙车在前，B正确，A错误；依据v－t图象斜率表示加速度分析出C错误，D正确．


[答案] BD


eq \a\vs4\al()


运用运动图象解题的技巧





【达标练习】


1．(2019·武侯校级模拟)A、B两物体从同一位置向同一方向同时运动，甲图是A物体的位移时间图象，乙图是B物体的速度时间图象，根据图象，下列说法正确的是( )





A．运动过程中，A、B两物体相遇一次


B．运动过程中，A、B两物体相遇两次


C．A、B两物体最远距离是20 m


D．6 s内，A物体的平均速度是B物体的平均速度的两倍


解析：选A.在0～2 s内，A的位移为：xA1＝40 m，B的位移为：xB1＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，知B没有追上A.在2～4 s内，A静止，B继续沿原方向运动，通过的位移为：xB2＝10×2 m＝20 m，t＝4 s末B还没有追上A.在4～6 s内，A返回，位移为：xA2＝－40 m，t＝6 s返回原出发点．B的位移为：xB3＝eq \f(10×2,2) m＝10 m，则在0～6 s内B的总位移为：xB＝40 m，可知，A、B两物体在4～6 s内相遇一次，故A正确，B错误；t＝2 s时，A、B两物体相距最远，最远距离为：s＝xA1－xB1＝30 m，故C错误；6 s内，A物体的位移为0，平均速度为0，B物体的平均速度为：eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)＝eq \f(40,6) m/s＝eq \f(20,3) m/s，故D错误．


2.(多选)甲、乙两车在一平直道路上同向运动，其v－t图象如图所示，图中△OPQ和△OQT的面积分别为S1和S2(S2>S1)．初始时，甲车在乙车前方S0处( )


A．若S0＝S1＋S2，两车不会相遇


B．若S0

C．若S0＝S1，两车相遇1次


D．若S0＝S2，两车相遇1次


解析：选ABC.由题图可知甲的加速度a1比乙的加速度a2大，在达到速度相等的时间T内两车相对位移为S1，若S1S1)，两车速度相等时还没有追上，并且之后甲车快，更追不上，选项D错误．


“纸带法”测速度和加速度


常用“位移差”法判断物体的运动情况，即确定纸带上的任意相邻计数点间的位移是否满足关系式xn＋1－xn＝aT2.由纸带求物体运动加速度的方法


1．利用“逐差法”求加速度：若为偶数段，假设为6段，则a1＝eq \f(x4－x1,3T2)，a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，a3＝eq \f(x6－x3,3T2)，然后取平均值，即a＝eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2＋a3,3)；或由a＝eq \f(（x4＋x5＋x6）－（x1＋x2＋x3）,9T2)直接求得．若为奇数段，则中间段往往不用，如5段，则不用第三段，即a1＝eq \f(x4－x1,3T2)a2＝eq \f(x5－x2,3T2)，然后取平均值，即eq \(a,\s\up6(－))＝eq \f(a1＋a2,2)；或由a＝eq \f(（x4＋x5）－（x1＋x2）,6T2)直接求得，这样所给的数据利用率高，提高了精确度．


2．图象法：先根据匀变速直线运动中某段时间中点的瞬时速度等于这段时间内的平均速度，vn＝eq \f(xn＋xn＋1,2T)，求出打第n个点时纸带的瞬时速度，然后作出v－t图象，图线的斜率表示物体运动的加速度，即a＝eq \f(Δv,Δt).


(2019·信宜市校级期末)某同学用如图1所示的装置来研究自由落体运动是什么性质的运动．图2是实验中利用打点计时器记录自由落体运动的轨迹时，得到的一条纸带，纸带上的点是从放手开始打下的连续的计数点．两点之间的距离，s1＝9.6 mm，s2＝13.4 mm，s3＝17.3 mm，s4＝21.1 mm，相邻两计数点的时间间隔为T.电源频率为50 Hz.





(1)下列说法中正确的是________．


A．电火花打点计时器用的是220 V交流电源


B．实验中使用秒表测量时间


C．实验时应先由静止释放纸带，然后赶紧接通电源


D．求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力


(2)通过对纸带的分析，你认为自由落体运动是做______(填“匀速”或“变速”)运动．你的判断依据是：______________________．


(3)根据纸带上的数据，用逐差法求加速度的表达式为a＝____________(用已知物理量符号表示)，加速度大小a＝________ m/s2(保留两位有效数字)．


(4)打点计时器打下F点，求物体在F点的速度公式vF＝__________(用已知物理量符号表示)，大小为vF＝________m/s(保留两位有效数字)．


[思路点拨] (1)电火花计时器使用的是220 V的交流电源，打点计时器每隔0.02 s打一个点，可以直接读出两点的时间．做实验时，应先接通电源，后释放纸带．


(2)通过相等时间内的位移判断自由落体运动的性质．


(3)根据Δx＝aT2求加速度，a1＝eq \f(s3－s1,2T2)，a2＝eq \f(s4－s2,2T2)，然后求出加速度的平均值．


(4)某段时间内平均速度等于其中间时刻的瞬时速度，根据这一推论求出F点的速度．


[解析] (1)电火花打点计时器用的是220 V交流电源，故A正确；打点计时器可以直接记录时间，不需秒表，故B错误；实验时应先接通电源，后释放纸带，故C错误；求出的加速度一般比9.8 m/s2小，是因为纸带和重锤受到阻力，使得加速度小于g，故D正确．


(2)在相等时间内，纸带的位移越来越大．所以纸带做变速运动．


(3)由Δx＝aT2得，a1＝eq \f(s3－s1,2T2)，a2＝eq \f(s4－s2,2T2)，则a＝eq \f(a1＋a2,2)＝eq \f(（s3＋s4）－（s1＋s2）,4T2).代入数据得，a≈9.6 m/s2.


(4)F点的瞬时速度等于EG间的平均速度，所以vF＝eq \f(s3＋s4,2T)，代入数据得，vF＝0.96 m/s.


[答案] (1)AD (2)变速 相同时间内物体下落的位移越来越大 (3)eq \f(（s3＋s4）－（s1＋s2）,4T2) 9.6 (4)eq \f(s3＋s4,2T) 0.96


在“探究小车速度随时间变化的规律”实验中：


(1)实验提供了以下器材：打点计时器、一端附有滑轮的长木板、小车、纸带、细绳、钩码、刻度尺、导线、交流电源、复写纸、弹簧测力计．其中在本实验中不需要的器材是____________．


(2)如图甲所示是某同学由打点计时器得到的表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点间还有四个点没有画出，打点计时器打点的时间间隔T＝0.02 s，则相邻两个计数点间的时间间隔为________s．其中x1＝7.05 cm、x2＝7.68 cm、x3＝8.33 cm、x4＝8.95 cm、x5＝9.61 cm、x6＝10.26 cm.


如下表列出了打点计时器打下B、C、E、F时小车的瞬时速度，请在表中填入打点计时器打下D点时小车的瞬时速度．


(3)以A点为计时起点，在图乙所示坐标系中作出小车的速度－时间关系的图线．


(4)计算出的小车的加速度a＝________m/s2.








解析：(1)本实验中不需要测量力的大小，因此不需要的器材是弹簧测力计．


(2)相邻两个计数点间的时间间隔为0.10 s．根据某点的瞬时速度可用该点前后一段时间内的平均速度来代替知：


vD＝eq \f(x3＋x4,2×5T)＝eq \f(0.083 3＋0.089 5,2×0.1) m/s＝0.864 m/s.


(3)小车的速度－时间关系图线如图所示．


(4)在v－t图象中，图线的斜率表示加速度，


则a＝eq \f(Δv,Δt)＝(0.64±0.01)m/s2.


答案：(1)弹簧测力计


(2)0.10 0.864


(3)见解析图 (4)0.64±0.01











常用方法
规律特点
一般公式法
v＝v0＋at，x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，v2－veq \\al(2,0)＝2ax


使用时应注意它们都是矢量，一般以v0方向为正方向，其余物理量与正方向相同者为正，与正方向相反者为负
平均速度法
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(x,t)，对任何性质的运动都适用；


eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(v0＋v)，只适用于匀变速直线运动
中间时刻速度法
veq \s\d9(\f(t,2))＝eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(1,2)(v0＋v)，适用于匀变速直线运动
比例法
对于初速度为0的匀加速直线运动或末速度为0的匀减速直线运动，可利用比例法求解
逆向思维法
把运动过程的“末态”作为“初态”的方法．例如，末速度为0的匀减速直线运动可以看做反向的初速度为0的匀加速直线运动
图象法
应用v－t图象，可把复杂的物理问题转化为较为简单的数学问题解决，尤其是用图象定性分析，可避免繁杂的计算，快速求解
启动加速度a1
4 m/s2
制动加速度a2
8 m/s2
直轨道允许的最大速度v1
40 m/s
弯轨道允许的最大速度v2
20 m/s
直轨道长度x
218 m
x－t图象
v－t图象
轴
横轴为时间t，纵轴为位移x
横轴为时间t，纵轴为速度v
线
倾斜直线表示匀速直线运动
倾斜直线表示匀变速直线运动
斜率
表示速度
表示加速度
面积
无实际意义
图线和时间轴围成的面积表示位移
纵截距
表示初位置
表示初速度
特殊点
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示相遇
拐点表示从一种运动变为另一种运动，交点表示速度相等
位置
B
C
D
E
F
速度/(m·s－1)
0.737
0.801
0.928
0.994