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人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试导学案
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这是一份人教版 (2019)必修 第一册第二章 匀变速直线运动的研究综合与测试导学案，共9页。
初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
(多选)(2019·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
[思路点拨] 子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动来解决此题．
[解析] 设水球的直径为d，子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动；因为通过最后1个、最后2个、后3个、全部4个的位移分别为d，2d，3d和4d，根据x＝eq \f(1,2)at2知，时间之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，所以子弹在每个水球中运动的时间不同．由以上的分析可知，子弹依次穿过4个水球的时间之比为(2－eq \r(3))∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故A错误，B正确；子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，则受力是相同的，所以加速度相同，由Δv＝at可知，运动的时间不同，则速度的变化量不同，故C错误；由A的分析可知，子弹穿过前3个水球的时间与穿过第4个水球的时间是相等的，由匀变速直线运动的特点可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确．
[答案] BD
(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
解析：选BC.初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，物体到达各点的速率之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．
对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
2.解答追及与相遇问题的常用方法
(2019·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
[思路点拨] 在反应时间内汽车做匀速直线运动，两车速度相等时恰好追尾是最小距离的临界条件，据此分析求解最小距离即可．
[解析] 反应时间里SUV的行驶距离：x1＝v1t0；若恰好发生追尾，则两车速度相等，有：
v＝v1＋a1(t－0.5 s)，v＝v2＋a2t
代入数据，得两车发生追尾所用时间：t＝4 s
此段时间内，两车行驶距离：s1＝x1＋v1t＋eq \f(1,2)a1t2，
s2＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2
则有两车之间不发生追尾的最小距离：Δs＝s1－s2；两车刹车时的加速度分别是：a1＝－8 m/s2，a2＝－4 m/s2，代入数据得：Δs＝32 m.
[答案] 32 m
eq \a\vs4\al()
常见的追及、相遇问题
【达标练习】
1．(2019·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
解析：(1)由公式v2－veq \\al(2,0)＝2ax得客车刹车的加速度大小为
a＝eq \f(veq \\al(2,2),2x)＝eq \f(202,2×2 000) m/s2＝0.1 m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120 s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120 m＝960 m
客车在该时间内的位移
x2＝eq \f(v1＋v2,2)t＝1 680 m
位移大小关系：x2＝1 680 m>600 m＋x1＝1 560 m，故已相撞．
答案：(1)0.1 m/s2 (2)见解析
2．(2019·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
解析：法一 物理分析法
(1)当两车的速度相等时，两车之间的距离Δx最大．
由v汽＝at＝v自得t＝eq \f(v自,a)＝2 s
则Δx＝v自t－eq \f(1,2)at2＝6 m.
(2)从自行车超过汽车，到汽车追上自行车时，两车位移相等，则v自t′＝eq \f(1,2)at′2，解得t′＝4 s
此时汽车的速度v′汽＝at′＝12 m/s.
法二 数学分析法
(1)设经时间t，汽车与自行车相距为Δx，则
Δx＝x自－x汽＝v自t－eq \f(1,2)at2＝－eq \f(3,2)(t－2)2＋6
显然，当t＝2 s时，Δxmax＝6 m.
(2)当Δx＝0时，汽车追上自行车，
则有t′1＝0(舍去)或t′2＝4 s
此时汽车的速度v汽＝at′2＝12 m/s.
法三 v－t图象法
作出v－t图象，如图所示．
(1)可以看出，t＝2 s时两车速度相等，且此时两车相距最远，两车的位移差Δx＝eq \f(1,2)×6×2 m＝6 m.
(2)由图知，t＝2 s后，若两车位移相等，即v－t图线与时间轴所围面积相等，则汽车追上自行车．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，
此时v汽＝2v自＝12 m/s.
答案：(1)2 s 6 m (2)4 s末 12 m/s
一、选择题
1．(2019·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
解析：选B.从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶eq \r(2)，故选项B正确．
2．(2019·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(eq \r(2)－1)t0
C．2(eq \r(2)＋1)t0 D．(2eq \r(2)＋1)t0
解析：选C.由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(eq \r(2)－1)；即t∶t0＝1∶(eq \r(2)－1)，得t＝(eq \r(2)＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(eq \r(2)＋1)t0，故C正确．
3．(多选)(2019·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1
B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1
D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
解析：选ACD.采用逆向思维，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝eq \f(1,2)at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确．
4．(2019·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．eq \r(2)t D．(eq \r(2)－1)t
解析：选A.冰壶做匀减速运动至速度为零，采用逆向思维，把冰壶看做从E到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移时间关系可知，冰壶从开始通过连续相等时间内的位移比为1∶3，可知，从E到D的时间和从D到A的时间相等，则可知冰壶通过第四个矩形区域的时间为t，故A正确．
5．(多选)(2019·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
解析：选AC.全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置时的速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，通过CBAO的速度之比为：1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C正确；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由x＝eq \f(1,2)at2可知，反向通过各木块用时之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))；子弹从进入木块到到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝(2－eq \r(3))∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故D错误．
6．(2019·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
解析：选C.由x－t图象转化为v－t图象，5 s末相遇，由“面积”相等知道2.5 s两车共速．两车共速时相距最远．所以最大距离是阴影面积，即为25 m，故C正确．
7．(2019·内江模拟)P、Q两车在平行的平直公路上行驶，其v－t图象如图所示．在t1到t2这段时间内( )
A．Q车加速度始终大于P车加速度
B．t2时刻，Q车一定在P车前面
C．若t1时刻P车在Q车前，则两车距离一定减小
D．若t1时刻P车在Q车前，则Q车可能会超过P车
解析：选D. v－t图象曲线上某点切线斜率大小表示加速度大小，根据斜率变化可知，在t1到t2这段时间内Q车加速度先大于P车加速度，后小于P车加速度，故A错误；虽然t1到t2这段时间Q车位移大于P车位移，但P、Q两车在t1时刻的位置关系未知，因此无法判断t2时刻P、Q两车的位置关系，故B错误；在t1到t2这段时间内，P车速度始终小于Q车速度，若t1时刻P车在Q车前，则两车间距离可能一直减小，也可能先减小后增大，故C错误，D正确．
二、非选择题
8．一列火车共有n节车厢，每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计，该火车进站时做匀减速直线运动直到停下，该过程中，站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用时间为t，且火车正好停止运动，则该列车第1节车厢经过他所用的时间是________．
解析：由于火车做匀减速直线运动直到停下，可将此运动反演成从终点开始沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动，由 “初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移所用时间之比的推论”可得
t1∶t2∶…∶tn＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))∶(eq \r(n－1)－eq \r(n－2))∶…∶1，即t1∶tn＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))∶1
求得第1节车厢经过他所用时间
t1＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))·t.
答案：(eq \r(n)－eq \r(n－1))·t
9．(2019·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
解析：若a1≥a2
A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离
Δs＝s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)
若a1≤a2，
那么两车应该是速度相等时距离最近
当v1－a1t＝v2－a2t
t＝eq \f(v2－v1,a2－a1)
在时间t内，A的位移x1＝v1t－eq \f(1,2)a1t2
B的位移x2＝v2t－eq \f(1,2)a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）).
答案：s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)或s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）)
10．(2019·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
解析：(1)设经过t1汽车追上自行车，则有：
v2t1＝v1t1＋x，解得t1＝10 s
故经过10 s两车第1次相遇．
(2)已知汽车加速度a＝－2 m/s2
设汽车从开始刹车到停下用时为t3，则t3＝eq \f(－v2,a)＝9 s，
从开始刹车到停下汽车的位移x汽＝eq \f(v2,2)t3＝81 m，所以自行车实际追上汽车的时间为t2＝eq \f(x汽,v1)＝13.5 s>9 s，说明自行车在追上汽车前，汽车已停下．故再经过13.5 s两车第二次相遇．
答案：(1)10 s (2)13.5 s
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2
v2－veq \\al(2,0)＝2ax，当v0＝0时，v2＝2ax
推论
平均速度公式
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)＝veq \s\d9(\f(t,2))
位移中点的
瞬时速度
veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,0)＋v2,2))
逐差相等公式
Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
类型
图象
说明
匀加速追匀速
(1)t＝t0以前，后面物体与前面物体间距逐渐增大
(2)t＝t0时，v1＝v2，两物体间距最大，为x0＋Δx
(3)t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小
(4)能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
匀减速追匀速
开始时，后面物体与前面物体间的距离在逐渐减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
(1)若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
(2)若Δx
(3)若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则必有t2时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
注意：(1)x0为开始时两物体之间的距离
(2)Δx为从开始追赶到两者速度相等时，后面的物体多发生的位移
(3)时间关系t2－t0＝t0－t1
(4)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度
初速度为零的匀加速直线运动的几个比例式的应用
(1)按时间等分(设相等的时间间隔为T)
(2)按位移等分(设相等的位移为x)
(多选)(2019·西湖校级模拟)几个水球可以挡住子弹？《国家地理频道》实验证实：四个水球就足够！四个完全相同的水球紧挨在一起水平排列，子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动．恰好能穿出第四个水球，则可以判定( )
A．子弹在每个水球中运动的时间相同
B．由题干信息可以确定子弹穿过每个水球的时间比
C．子弹在每个水球中速度变化相同
D．子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等
[思路点拨] 子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动来解决此题．
[解析] 设水球的直径为d，子弹运动的过程为匀减速直线运动，直到末速度为零，我们可以应用逆过程，相当于子弹初速度为零做匀加速直线运动；因为通过最后1个、最后2个、后3个、全部4个的位移分别为d，2d，3d和4d，根据x＝eq \f(1,2)at2知，时间之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，所以子弹在每个水球中运动的时间不同．由以上的分析可知，子弹依次穿过4个水球的时间之比为(2－eq \r(3))∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故A错误，B正确；子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线运动，则受力是相同的，所以加速度相同，由Δv＝at可知，运动的时间不同，则速度的变化量不同，故C错误；由A的分析可知，子弹穿过前3个水球的时间与穿过第4个水球的时间是相等的，由匀变速直线运动的特点可知，子弹穿出第三个水球的瞬时速度与全程的平均速度相等，故D正确．
[答案] BD
(多选)如图所示，光滑斜面AE被分成四个长度相等的部分，即AB＝BC＝CD＝DE，一物体从A点由静止释放，下列结论中正确的是( )
A．物体到达B、C、D、E点的速度之比为1∶2∶3∶4
B．物体到达各点经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD
C．物体从A运动到E全过程的平均速度等于vB
D．物体通过每一部分时，其速度增量vB－vA＝vC－vB＝vD－vC＝vE－vD
解析：选BC.初速度为零的匀加速运动的推论：tB∶tC∶tD∶tE＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，物体到达各点的速率之比为1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，又因为v＝at，故物体到达各点所经历的时间tE＝2tB＝eq \r(2)tC＝eq \f(2,\r(3)) tD，故A错误，B正确；物体从A运动到E的全过程平均速度等于中间时刻的瞬时速度，AB与BE的位移之比为1∶3，可知B点为AE段的中间时刻，则物体从A运动到E全过程的平均速度v＝vB，故C正确；物体通过每一部分时，所用时间不同，故其速度增量不同，故D错误．
对追及、相遇问题的计算
1．讨论追及和相遇问题要抓住一个条件、两个关系
2.解答追及与相遇问题的常用方法
(2019·茂名月考)高速公路上，一辆大货车以20 m/s的速度违规行驶在快速道上，另有一辆SUV小客车以32 m/s的速度随其后并逐渐接近．大货车的制动性能较差，刹车时的加速度保持在4 m/s2，而SUV小客车配备有ABS防抱死刹车系统，刹车时能使汽车的加速度保持在8 m/s2.若前方大货车突然紧急刹车，SUV小客车司机的反应时间是0.50 s，为了避免发生追尾事故，轿车和卡车之间至少应保留多大的距离？
[思路点拨] 在反应时间内汽车做匀速直线运动，两车速度相等时恰好追尾是最小距离的临界条件，据此分析求解最小距离即可．
[解析] 反应时间里SUV的行驶距离：x1＝v1t0；若恰好发生追尾，则两车速度相等，有：
v＝v1＋a1(t－0.5 s)，v＝v2＋a2t
代入数据，得两车发生追尾所用时间：t＝4 s
此段时间内，两车行驶距离：s1＝x1＋v1t＋eq \f(1,2)a1t2，
s2＝v2t＋eq \f(1,2)a2t2
则有两车之间不发生追尾的最小距离：Δs＝s1－s2；两车刹车时的加速度分别是：a1＝－8 m/s2，a2＝－4 m/s2，代入数据得：Δs＝32 m.
[答案] 32 m
eq \a\vs4\al()
常见的追及、相遇问题
【达标练习】
1．(2019·西安高一检测)一辆货车以8 m/s的速度在平直铁路上匀速运行，由于调度失误，在后面600 m处有一辆客车以72 km/h的速度向它靠近．客车司机发觉后立即合上制动器，但客车要滑行2 000 m才能停止．求：
(1)客车滑行的加速度是多少？
(2)计算后判断两车是否会相撞．
解析：(1)由公式v2－veq \\al(2,0)＝2ax得客车刹车的加速度大小为
a＝eq \f(veq \\al(2,2),2x)＝eq \f(202,2×2 000) m/s2＝0.1 m/s2.
(2)假设不相撞，设两车达到共同速度用时为t，则
v2－at＝v1，t＝120 s
货车在该时间内的位移
x1＝v1t＝8×120 m＝960 m
客车在该时间内的位移
x2＝eq \f(v1＋v2,2)t＝1 680 m
位移大小关系：x2＝1 680 m>600 m＋x1＝1 560 m，故已相撞．
答案：(1)0.1 m/s2 (2)见解析
2．(2019·成都测试)一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3 m/s2的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6 m/s的速度匀速驶来，从后面超过汽车．
(1)汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？
(2)什么时候汽车追上自行车，此时汽车的速度是多少？
解析：法一 物理分析法
(1)当两车的速度相等时，两车之间的距离Δx最大．
由v汽＝at＝v自得t＝eq \f(v自,a)＝2 s
则Δx＝v自t－eq \f(1,2)at2＝6 m.
(2)从自行车超过汽车，到汽车追上自行车时，两车位移相等，则v自t′＝eq \f(1,2)at′2，解得t′＝4 s
此时汽车的速度v′汽＝at′＝12 m/s.
法二 数学分析法
(1)设经时间t，汽车与自行车相距为Δx，则
Δx＝x自－x汽＝v自t－eq \f(1,2)at2＝－eq \f(3,2)(t－2)2＋6
显然，当t＝2 s时，Δxmax＝6 m.
(2)当Δx＝0时，汽车追上自行车，
则有t′1＝0(舍去)或t′2＝4 s
此时汽车的速度v汽＝at′2＝12 m/s.
法三 v－t图象法
作出v－t图象，如图所示．
(1)可以看出，t＝2 s时两车速度相等，且此时两车相距最远，两车的位移差Δx＝eq \f(1,2)×6×2 m＝6 m.
(2)由图知，t＝2 s后，若两车位移相等，即v－t图线与时间轴所围面积相等，则汽车追上自行车．
由几何关系知，相遇时间为t′＝4 s，
此时v汽＝2v自＝12 m/s.
答案：(1)2 s 6 m (2)4 s末 12 m/s
一、选择题
1．(2019·芜湖高一检测)一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第1 s内与在第2 s内位移之比为x1∶x2，在走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比为v1∶v2，以下说法正确的是( )
A．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶2
B．x1∶x2＝1∶3，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
C．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶2
D．x1∶x2＝1∶4，v1∶v2＝1∶eq \r(2)
解析：选B.从静止开始的匀加速直线运动第1 s内、第2 s内位移之比为1∶3.根据v2＝2ax，走完第1 m时与走完第2 m时的速度之比v1∶v2＝1∶eq \r(2)，故选项B正确．
2．(2019·黄冈高一质检)一小物体以一定的初速度自光滑斜面的底端a点上滑，最远可达b点，e为ab的中点．已知物体由a到e的时间为t0，则它从e经b再返回e所需时间为( )
A．t0 B．(eq \r(2)－1)t0
C．2(eq \r(2)＋1)t0 D．(2eq \r(2)＋1)t0
解析：选C.由逆向思维可知物体从b到e和从e到a的时间比为1∶(eq \r(2)－1)；即t∶t0＝1∶(eq \r(2)－1)，得t＝(eq \r(2)＋1)t0，由运动的对称性可得从e到b和从b到e的时间相等，所以从e经b再返回e所需时间为2t，即2(eq \r(2)＋1)t0，故C正确．
3．(多选)(2019·湛江校级月考)汽车刹车后做匀减速直线运动，经3 s后停止，对这一运动过程，下列正确的有( )
A．这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1
B．这连续三个1 s的平均速度之比为3∶2∶1
C．这连续三个1 s发生的位移之比为5∶3∶1
D．这连续三个1 s的速度改变量之比为1∶1∶1
解析：选ACD.采用逆向思维，汽车做初速度为零的匀加速直线运动，根据v＝at知，1 s末、2 s末、3 s末的速度之比为1∶2∶3，则这连续三个1 s的初速度之比为3∶2∶1，故A正确；采用逆向思维，根据x＝eq \f(1,2)at2知，1 s内、2 s内、3 s内的位移之比为1∶4∶9，则第1 s内、第2 s内、第3 s内的位移之比为1∶3∶5，所以连续三个1 s内的位移之比为5∶3∶1，连续三个1 s内的平均速度之比为5∶3∶1，故B错误，C正确；根据Δv＝at知，在连续三个1 s内的速度变化量之比为1∶1∶1，故D正确．
4．(2019·新罗校级月考)如图所示，在冰壶比赛中，一冰壶以速度v垂直进入四个矩形区域沿虚线做匀减速直线运动，且刚要离开第四个矩形区域边缘的E点时速度恰好为零，冰壶通过前三个矩形的时间为t，则冰壶通过第四个矩形区域所需要的时间为( )
A．t B．2t
C．eq \r(2)t D．(eq \r(2)－1)t
解析：选A.冰壶做匀减速运动至速度为零，采用逆向思维，把冰壶看做从E到A的初速度为零的匀加速直线运动，根据位移时间关系可知，冰壶从开始通过连续相等时间内的位移比为1∶3，可知，从E到D的时间和从D到A的时间相等，则可知冰壶通过第四个矩形区域的时间为t，故A正确．
5．(多选)(2019·定远期末)如图所示，在水平面上固定着四个完全相同的木块，一粒子弹以水平速度v射入．若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第四个木块(即D位置)时速度恰好为零，下列说法正确的是( )
A．子弹从O运动到D全过程的平均速度小于B点的瞬时速度
B．子弹通过每一部分时，其速度变化量 vA－vO＝vB－vA＝vC－vB＝vD－vC相同
C．子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶eq \r(3)∶eq \r(2)∶1
D．子弹从进入木块到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2
解析：选AC.全程的平均速度等于中间时刻的瞬时速度，根据匀变速运动的结论可知，中间时刻的瞬时速度一定小于中间位置时的速度，故A正确；由于子弹的速度越来越小，故穿过每一块木块的时间不相等，故速度的差值不相等，故B错误；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由v2＝2ax可知，通过CBAO的速度之比为：1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶2，子弹到达各点的速率v∶vA∶vB∶vC＝2∶eq \r(3)∶eq \r(2)∶1，故C正确；将子弹的速度反向视为初速度为零的匀加速直线运动，则由x＝eq \f(1,2)at2可知，反向通过各木块用时之比为1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(2－eq \r(3))；子弹从进入木块到到达各点经历的时间tA∶tB∶tC∶tD＝(2－eq \r(3))∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶(eq \r(2)－1)∶1，故D错误．
6．(2019·青浦区二模)甲、乙两车同时同地出发，在同一平直公路上行驶．其中甲车做匀速直线运动，乙车由静止开始做匀加速直线运动，其运动的x－t图象如图所示．则乙车追上甲车前两车间的最大距离是( )
A．15 m B．20 m
C．25 m D．50 m
解析：选C.由x－t图象转化为v－t图象，5 s末相遇，由“面积”相等知道2.5 s两车共速．两车共速时相距最远．所以最大距离是阴影面积，即为25 m，故C正确．
7．(2019·内江模拟)P、Q两车在平行的平直公路上行驶，其v－t图象如图所示．在t1到t2这段时间内( )
A．Q车加速度始终大于P车加速度
B．t2时刻，Q车一定在P车前面
C．若t1时刻P车在Q车前，则两车距离一定减小
D．若t1时刻P车在Q车前，则Q车可能会超过P车
解析：选D. v－t图象曲线上某点切线斜率大小表示加速度大小，根据斜率变化可知，在t1到t2这段时间内Q车加速度先大于P车加速度，后小于P车加速度，故A错误；虽然t1到t2这段时间Q车位移大于P车位移，但P、Q两车在t1时刻的位置关系未知，因此无法判断t2时刻P、Q两车的位置关系，故B错误；在t1到t2这段时间内，P车速度始终小于Q车速度，若t1时刻P车在Q车前，则两车间距离可能一直减小，也可能先减小后增大，故C错误，D正确．
二、非选择题
8．一列火车共有n节车厢，每节车厢的长度都相同且车厢间的间隙不计，该火车进站时做匀减速直线运动直到停下，该过程中，站在车站站台的一个旅客测得最后一节车厢经过他所用时间为t，且火车正好停止运动，则该列车第1节车厢经过他所用的时间是________．
解析：由于火车做匀减速直线运动直到停下，可将此运动反演成从终点开始沿反方向做初速度为零的匀加速直线运动，由 “初速度为零的匀加速直线运动中通过连续相等位移所用时间之比的推论”可得
t1∶t2∶…∶tn＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))∶(eq \r(n－1)－eq \r(n－2))∶…∶1，即t1∶tn＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))∶1
求得第1节车厢经过他所用时间
t1＝(eq \r(n)－eq \r(n－1))·t.
答案：(eq \r(n)－eq \r(n－1))·t
9．(2019·山西高一期中)国产自主品牌哈弗汽车近年来技术进步明显，深受用户喜爱．汽车出厂前要经过各种严格的测试和研究，在一次汽车性能测试中，A、B两辆汽车相距s，在同一直线上同方向匀减速行驶，汽车速度减为零后保持静止不动．A车在前，初速度为v1，加速度大小为a1，B车在后，初速度为v2，加速度大小为a2且已知v1＜v2，但两车一直没有相遇，问A、B辆车在运动过程中相距的最小距离为多少？
解析：若a1≥a2
A车先停下来，B车后停，只有B车停下来时才是最近距离
Δs＝s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)
若a1≤a2，
那么两车应该是速度相等时距离最近
当v1－a1t＝v2－a2t
t＝eq \f(v2－v1,a2－a1)
在时间t内，A的位移x1＝v1t－eq \f(1,2)a1t2
B的位移x2＝v2t－eq \f(1,2)a2t2
最近距离为Δs＝s＋x1－x2＝s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）).
答案：s＋eq \f(veq \\al(2,1),2a1)－eq \f(veq \\al(2,2),2a2)或s－eq \f(（v2－v1）2,2（a2－a1）)
10．(2019·广东广州三校联考)汽车前方120 m处有一自行车正以6 m/s的速度匀速前进，汽车以18 m/s的速度追赶自行车，若两车在同一条公路的不同车道上做同方向的直线运动，求：
(1)经多长时间，两车第一次相遇？
(2)若汽车追上自行车后立即刹车，汽车刹车过程中的加速度大小为2 m/s2，则再经过多长时间两车第二次相遇？
解析：(1)设经过t1汽车追上自行车，则有：
v2t1＝v1t1＋x，解得t1＝10 s
故经过10 s两车第1次相遇．
(2)已知汽车加速度a＝－2 m/s2
设汽车从开始刹车到停下用时为t3，则t3＝eq \f(－v2,a)＝9 s，
从开始刹车到停下汽车的位移x汽＝eq \f(v2,2)t3＝81 m，所以自行车实际追上汽车的时间为t2＝eq \f(x汽,v1)＝13.5 s>9 s，说明自行车在追上汽车前，汽车已停下．故再经过13.5 s两车第二次相遇．
答案：(1)10 s (2)13.5 s
速度公式
v＝v0＋at，当v0＝0时，v＝at
位移公式
x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，当v0＝0时，x＝eq \f(1,2)at2
v2－veq \\al(2,0)＝2ax，当v0＝0时，v2＝2ax
推论
平均速度公式
eq \(v,\s\up6(－))＝eq \f(v0＋v,2)＝veq \s\d9(\f(t,2))
位移中点的
瞬时速度
veq \s\d9(\f(x,2))＝ eq \r(\f(veq \\al(2,0)＋v2,2))
逐差相等公式
Δx＝xⅡ－xⅠ＝aT2
1T末、2T末、3T末、…、nT末瞬时速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶2∶3∶…∶n
1T内、2T内、3T内、…、nT内的位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝12∶22∶32∶…∶n2
第一个T内，第二个T内，第三个T内，…，第n个T内位移之比
x1∶x2∶x3∶…∶xn＝1∶3∶5∶…∶(2n－1)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx时的末速度之比
v1∶v2∶v3∶…∶vn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过前x、前2x、前3x、…、前nx的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶eq \r(2)∶eq \r(3)∶…∶eq \r(n)
通过连续相等的位移所用时间之比
t1∶t2∶t3∶…∶tn＝1∶(eq \r(2)－1)∶(eq \r(3)－eq \r(2))∶…∶(eq \r(n)－eq \r(n－1))
一个条件：速度相等
是两物体是否追上(或相撞)、距离最大、距离最小的临界点，这是解题的切入点
两个关系：时间关系和位移关系
其中通过画示意图找出两物体位移之间的数量关系，是解题的突破口
若同时出发，则两物体时间相等，则需要列速度相等方程和位移关系方程
物理分析法
抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键，认真审题，挖掘题中的隐含条件，在头脑中建立起一幅物体运动关系的情景，并画出运动情况示意图，找出位移关系
图象法
将两者的速度－时间图象在同一坐标系中画出，然后利用图象求解
数学分析法
设从开始至相遇时间为t，根据条件列方程，得到关于t的一元二次方程，用判别式进行讨论，若Δ>0，即有两个解，说明可以相遇两次；若Δ＝0，说明刚好追上或相遇；若Δ<0，说明追不上或不能相遇
类型
图象
说明
匀加速追匀速
(1)t＝t0以前，后面物体与前面物体间距逐渐增大
(2)t＝t0时，v1＝v2，两物体间距最大，为x0＋Δx
(3)t＝t0以后，后面物体与前面物体间距逐渐减小
(4)能追上且只能相遇一次
匀速追匀减速
匀加速追匀减速
匀减速追匀速
开始时，后面物体与前面物体间的距离在逐渐减小，当两物体速度相等时，即t＝t0时刻：
(1)若Δx＝x0，则恰能追上，两物体只能相遇一次，这也是避免相撞的临界条件
(2)若Δx
(3)若Δx>x0，则相遇两次，设t1时刻Δx1＝x0，两物体第一次相遇，则必有t2时刻两物体第二次相遇
匀速追匀加速
匀减速追匀加速
注意：(1)x0为开始时两物体之间的距离
(2)Δx为从开始追赶到两者速度相等时，后面的物体多发生的位移
(3)时间关系t2－t0＝t0－t1
(4)v1是前面物体的速度，v2是后面物体的速度
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