广东省深圳市部分学校2020-2021学年高一上数学期中试题
展开2020-2021学年第一学期深圳市第七高级中学
高一数学期中考试
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集，，则B（ ）
A． B． C． D．
2．下列函数中是奇函数，又在定义域内为减函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．若，且，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，将水注入下面四种容器中，注满为止．如果注水量V与水深h的函数关系的图象如图所示，那么容器的形状是（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在R上的奇函数是单调函数，且是单调函数，，则（ ）
A． B． C． D．
6．设函数，若，则实数a的值为（ ）
A． B．-1 C．-2或-1 D．或-2
7．已知关于x的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（ ）
A．6 B． C． D．3
8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A．（，） B．（，）
C．（，） D．（，）
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分）
9．下列各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．有以下说法，其中正确的为（ ）
A．“x，y为无理数”是“xy为无理数”的充分条件
B．“”是“”的必要条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的充分不必要条件
11．集合，，之间的关系表述正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．设，，且，那么（ ）
A．有最小值 B．有最大值
C．ab有最大值 D．ab有最小值
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．若函数，则的定义域是________．
14．已知是奇函数，当时，，则的值是________．
15．定义在R上的偶函数在上是增函数，又，则不等式的解集为________．
16．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是________．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（10分）已知集合，．
（1）若，求；
（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数a的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）
18．（12分）已知幂函数的图象经过点．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明在区间上是减函数．
19．（12分）已知二次函数满足，．
（1）求的解析式；
（2）设，若在区间上是增两数，求实数的取值范围．
20．已知命题：“，使得”为假命题．
（1）求实数m的取值集合A；
（2）设不等式的解集为集合B，若是的充分不必要条件．求实数a的取值范围．
21．某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似地表示为：且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．
（1）当时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润：如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（2）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
22．已知是定义在上的奇函数，且若对任意的m，，，都有．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若不等式对任意和都恒成立，求实数t的取值范围.
高一数学参考答案、提示及评分细则
1．D 2．B 3．D
4．A 根据题意考虑当向高为H的容器中注水为高为H一半时，注水量V与水深h的函数关系．
如图所示，此时注水量V与容器容积关系是V<容器的容积的一半．A选项符合题意．
5．B 是R上的奇函数，且是单调函数，，
，，
在上单调递减，．
6．B 由题意知，；
当时，有，解得，（不满足条件，舍去）；
当时，有，解得（不满足条件，舍去）或．
所以实数a的值是：．
7．C 由是不等式的解集，
所以a，b是方程的两个实数根，
所以，，且；
所以，且，；
即；
所以
，
当且仅当时“=”成立；
所以的最小值为．
8．D 由图形可知：，．
在中，由勾股定理可得：
,
,（）．
9．BD 对于A：与的对应关系不同，因此不是同一函数；
对于B：与，因此是同一函数；
对于C：与，（），
定义域不同，因此不是同一函数；
对于D：与，
定义域和对应关系都相同，因此是同一函数．
10．CD A．是有理数为有理数，不正确．
B．反之不成立，
因此“”是”的充分不必要条件，不正确．
C．由，反之不成立，
因此：“”是“”的必要条件，正确．
D．“”或，因此正确．
11．ABC 表示被3整除余1的数的集合；
表示被3整除余1的数的集合；
，表示被6整除余1的集合；
故，，．
12．AD
，，，当时取等号
，解得，
ab有最小值；
，当时取等号，
，
，
，解得，
即，有最小值．
13．
，定义域是．
14．-4
是奇函数，当时，，
则．
15．
在R上的偶函数在上是增函数在递减，
又，不等式讨论如下：
当时，，显然不成立；
当时，，所以，
综上，．或者图象法：可得．
16．
对一切恒成立，
在恒成立，
令，，即，
而在单调递增，
故在时取得最小值3．
17．（1）当时，，，
；
（2）选择①作为已知条件．
，或，
解得或．
选择②作为已知条件．
，．
，解得．
选择③作为已知条件．
，，
，解得
18．（1）的图象经过点，
，即，解得．
（2）任取，且，
则
；
，，且，
，即；
在区间内是减函数．
19．（1）设，
则，，，
，，
；
（2），
由在区间上是增函数得，
在上为增函数且恒大于等于0，
故，且，则．
20．（1）由题可知：命题“，使方程”是真命题，
则，于是可得：．
（2），得或；
若是的必要不充分条件，则集合A是集合B的真子集．
当时，，不合题意；
当时，，，
所以：；
当时，，，
所以：；
所以实数a的取值范围为．
另解：对一切恒成立，
则，则．
21．（1）当时，该项目获利为S，
则，
当时，，因此，该项目不会获利．
（2）由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：
，
当时，，
所以当时，取得最小值240；
当时，
，
当且仅当，
即时，取得最小值200．
因为，
所以当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
22．（1）设任意，，满足，
由题意可得，
即，
在定义域上是增函数．
则可化为，
解得，a的取值范为．
（2）由（1）知不等式对任意和都恒成立，
对任意的都恒成立，
恒成立，
即对任意的都恒成立，
令，，
则只需，
解得，的取值范围．
