数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程优秀学案

这是一份数学选择性必修 第一册第二章　平面解析几何2.7 抛物线及其方程2.7.1 抛物线的标准方程优秀学案，共9页。




1.掌握抛物线的简单几何性质.


2.了解抛物线几何性质的简单应用.


3.归纳、对比四种方程所表示的抛物线的几何性质的异同.





重点：抛物线的简单几何性质


难点：抛物线几何性质的简单应用





知识梳理


1.抛物线 y2=2px(p>0) ① 的几何性质











2.抛物线四种形式的标准方程及其性质














1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析,


其共同点:(1)顶点都为原点;


(2)对称轴为坐标轴;


(3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的 14;


(4)焦点到准线的距离均为p.


其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2;(2)开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号.


2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.


1. 判断


(1)抛物线关于顶点对称.( )


(2)抛物线只有一个焦点,一条对称轴,无对称中心.( )


(3)抛物线的标准方程虽然各不相同,但是其离心率都相同.( )





2.思考：怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向?





3. 以x轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8,若抛物线的顶点在坐标原点,则其方程为( )


A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y





问题思考


(1)掌握抛物线的性质,重点应抓住“两点”“两线”“一率”“一方向”,它们分别指的是什么?





(2)抛物线的性质与椭圆和双曲线性质的主要区别有哪些?








创设问题情境


前面我们由椭圆和双曲线的方程，讨论了它们的几何性质，下面我们继续通过抛物线的方程来研究抛物线具有的几何性质。





问题1. 已知抛物线C的方程为y2=2x,根据这个方程完成下列任务：


（1）已观察方程中x与y是否有取值范围，由此指出抛物线C在平面


直角坐标系中的位置特征；


（2）指出抛物线C是否具有对称；


（3）指出抛物线C与坐标轴是否有交点，如果有，求出交点坐标；





问题2. 如果抛物线的标准方程是


y2=-2px(p>0), ②


x2=2py(p>0), ③


x2=-2py(p>0), ④


那么抛物线的范围（开口方向）、对称性、顶点、离心率中，哪些与①所表示的抛物线是相同的？哪些是有区别的？





二、典例解析


例1. 已知抛物线的对称轴为x 轴，顶点是坐标原点且开口向左，又抛物线经过点M -4,23,求这个抛物线的标准方程。





跟踪训练1 .设抛物线y=mx2(m≠0)的准线与直线y=1的距离为3,求抛物线的标准方程.





例2 抛物线y2=4x上的点P(x,y)到(0,3)的距离与到准线距离之和的最小值是 .





例3 求抛物线y=-x2上的点到直线4x+3y-8=0的最小距离.








1.求抛物线上一点到定直线的距离的最值,最常见的解题思路:


一是利用抛物线的标准方程进行消元代换,得到有关距离的含变量的代数式,以计算函数最值来解决.


二是转化两平行线间距离,代入两平行线间距离公式可求得.


2.建立形与数的联系,提升数形结合的能力,有利于优化解题的方式与方法.


跟踪训练2 已知P为抛物线y=14x2上的动点,P在x轴上的射影为H,点A的坐标为(12,6),则|PA|+|PH|的最小值是( )


A.13B.12C.11D.10








1.若抛物线x=-my2的焦点到准线的距离为2,则m=( )


A.-4B.14C.-14D.±14


2.已知抛物线y=4x2上一点P到焦点的距离为1,则点P的纵坐标为( )


A.34B.78C.1516D.1716


3.若点P在抛物线y2=x上,点Q在圆M:(x-3)2+y2=1上,则|PQ|的最小值是( )


A.3-1B.102-1 C.2D.112-1


4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若QP=3QF,则|QF|=.


5. 已知抛物线y2=8x.


(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围;


(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.


6.正三角形的一个顶点位于坐标原点,另外两个顶点在抛物线y2=2px(p>0)上,


求这个正三角形的边长.

















参考答案：


知识梳理


1. 判断


答案:(1)× (2)√ (3)√


2.解析:一次项的变量若为x(或y),则x轴(或y轴)是抛物线的对称轴,一次项系数的


符号决定开口方向.


如果y是一次项,负时向下,正时向上.


如果x是一次项,负时向左,正时向右.


3. 解析:设抛物线方程为y2=2px(p>0)或y2=-2px(p>0),依题意得x=p2,代入y2=2px或y2=-2px得|y|=p,∴2|y|=2p=8,p=4.∴抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.


答案:C


问题思考


(1)提示:“两点”是指抛物线的焦点和顶点;“两线”是指抛物线的准线和对称轴;“一率”是指离心率1;“一方向”是指抛物线的开口方向.


(2)提示:抛物线的离心率等于1,它只有一个焦点、一个顶点、一条对称轴和一条准线.它没有中心,通常称抛物线为无心圆锥曲线,而称椭圆和双曲线为有心圆锥曲线.





学习过程


例1. 解：根据已知条件可设抛物线的标准方程为


y2=-2px(p>0),


因为点M -4,23在抛物线上，所以 （23）2=-2p×（-4）


因此2p= 3 ，从而可知所求方程为 y2=-3x


跟踪训练1 .错解:由y=mx2(m≠0)可知其准线方程为y=-m4.


由题意知-m4=-2,解得m=8,


故所求抛物线的标准方程为y=8x2.


错因分析本题在解答过程中容易出现两个错误:一是不能正确理解抛物线标准方程的形式,错误地将所给方程看成是抛物线的标准方程,得到准线方程为y=- m4;


二是得到准线方程后,只分析其中的一种情况,而忽略了另一种情况,只得到了一个解.


正解:y=mx2(m≠0)可化为x2=1my,其准线方程为y=-14m.由题意知-14m=-2或-14m=4,


解得m=18或m=-116,


故所求抛物线的标准方程为x2=8y或x2=-16y.


例2 解析:如图所示,





设此抛物线的焦点为F(1,0),准线l:x=-1.


过点P作PM⊥l,垂足为M.


则|PM|=|PF|.


设Q(0,3),因此当F,P,Q三点共线时,|PF|+|PQ|取得最小值


∴(|PF|+|PQ|)min=|QF|=32+12=10.


即|PM|+|PQ|的最小值为10.


答案:10


例3 解:方法一:设A(t,-t2)为抛物线上的点,


则点A到直线4x+3y-8=0的距离


d=|4t-3t2-8|5=|3t2-4t+8|5=153t-232-43+8=153t-232+203=35t-232+43.


所以当t=23时,d有最小值43.


方法二:如图,设与直线4x+3y-8=0平行的抛物线的切线方程为4x+3y+m=0,


由y=-x2,4x+3y+m=0,


消去y得3x2-4x-m=0,


∴Δ=16+12m=0,∴m=-43.


故最小距离为-8+435=2035=43.








跟踪训练2 解析:化抛物线y=14x2为标准形式x2=4y,


得它的焦点为F(0,1),准线为l:y=-1,


延长PH交准线于G,连接PF,根据抛物线的定义,得





|PA|+|PH|=|PA|+|PG|-1=|PA|+|PF|-1,


∵|PA|+|PF|≥|AF|,


∴当且仅当P,A,F三点共线时,|PA|+|PF|=|AF|为最小值.


∵|AF|=122+(6-1)2=13,


∴|PA|+|PH|的最小值为13-1=12.


答案:B


达标检测


1. 解析:抛物线x=-my2的标准方程为y2=-1mx,焦点到准线的距离为12m,由已知得12m=2,解得m=±14.


答案:D


2.解析:根据抛物线方程可求得焦点坐标为0,116,准线方程为y=-116,根据抛物线定义,∴yP+116=1,解得yP=1516.


答案:C


3.解析:将本题转化为求抛物线上的点到圆心的最小距离.设P(y02,y0),由(x-3)2+y2=1可知圆心坐标为M(3,0),半径r=1,则|PM|=(y02-3)2+y02=(y02)2-5y02+9=y02-522+114.因此|PM|的最小值为112,从而|PQ|的最小值为112-1.故选D.


答案:D


4.解析:设Q到l的距离为d,则由抛物线的定义可得|QF|=d,


∵QP=3QF,∴|QP|=3d,∴直线PF的斜率为±22.


∵F(1,0),准线l:x=-1,


∴直线PF的方程为y=±22(x-1),


与y2=4x联立可得x=12(舍)或x=2,


∴|QF|=2+1=3.


答案:3





5. 解:(1)抛物线y2=8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0),(2,0),


x=-2,x轴,x≥0.


(2)如图所示,由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M,又焦点F是△OAB的重心,





则|OF|=23|OM|. 因为F(2,0),


所以|OM|=32|OF|=3,所以M(3,0).故设A(3,m),


代入y2=8x得m2=24,


所以m=26或m=-26,


所以A(3,26),B(3,-26),


所以|OA|=|OB|=33,


所以△OAB的周长为233+46.


6.解:


如图,设正三角形OAB的顶点A,B在抛物线y2=2px(p>0)上,且坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y12=2px1,y22=2px2.


又因为|OA|=|OB|,


所以x12+y12=x22+y22,即x12-x22+2px1-2px2=0.


所以(x1-x2)(x1+x2+2p)=0.


因为x1>0,x2>0,2p>0,所以x1+x2+2p≠0,x1=x2,


即A,B两点关于x轴对称,则∠AOx=30°.


所以AB⊥x轴,所以y1=x1tan 30°=33x1.


又因为x1=y122p,所以y1=23p.


所以|AB|=2y1=43p,即为所求正三角形的边长.


标准方程
y2=2px


(p>0)
y2=-2px


(p>0)
x2=2py


(p>0)
x2=-2py


(p>0)
图形
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
y≥0,x∈R
y≤0,x∈R
对称轴
x轴
x轴
y轴
y轴
标准方程
y2=2px


(p>0)
y2=-2px


(p>0)
x2=2py


(p>0)
x2=-2py


(p>0)
焦点坐标
准线方程
顶点坐标
O(0,0)
离心率
e=1