高中2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案

这是一份高中2.6.2 双曲线的几何性质优秀导学案，共9页。




1.掌握双曲线的简单几何性质


2.理解双曲线离心率的意义及算法.





重点：双曲线离心率的意义及算法.


难点：双曲线离心率的意义及算法.





知识梳理


双曲线的几何性质











课前小测


1.若双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的离心率为eq \r(3)，则其渐近线方程为( )


A．y＝±2x B．y＝±eq \r(2)x


C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±eq \f(\r(2),2)x


2.若双曲线 eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的


离心率为( )


A．eq \f(\r(7),3) B．eq \f(5,4) C．eq \f(4,3) D．eq \f(5,3)


3.已知A，B为双曲线E的左、右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为( )


A．3 B．2 C．3 D．2


二、典例解析


例 1双曲线方程为x2a2-y2=1,其中a>0,双曲线的渐近线与圆(x-2)2+y2=1相切,则双曲线的离心率为 ( )


A.233B.3C.2D.32


例 2 已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与双曲线的左、右两支分别交于点B,A,若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为( )





A.7B.4C.233D.3


例3. 已知F1,F2是双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)的两个焦点,PQ是经过F1且垂直于x轴的


双曲线的弦,如果∠PF2Q=90°,求双曲线的离心率.


求双曲线的离心率


(1)求双曲线的离心率或其范围的方法


①求a,b,c的值,由c2a2=a2+b2a2=1+b2a2直接求e.


②列出含有a,b,c的齐次方程或不等式,借助于b2=c2-a2消去b,然后转化成关于e的方程或不等式求解.


(2)求解时,若用到特殊几何图形,可运用几何性质使问题简化.


跟踪训练1 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是( )


A.22B.1C.2D.2


跟踪训练2 已知点F(1,0).若l:x=-1与双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B,且|AB|=4|OF|(O为原点),则双曲线的离心率为 ( )


A.2B.3C.2D.5





1．已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,3)＝1(a>0)的离心率为2，则a＝( )


A．2 B．eq \f(\r(6),2) C．eq \f(\r(5),2) D．1


2．若一双曲线与椭圆4x2＋y2＝64有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程为( )


A．y2－3x2＝36 B．x2－3y2＝36


C．3y2－x2＝36 D．3x2－y2＝36


3.已知a>b>0，椭圆C1的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1，双曲线C2的方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，C1与C2的离心率之积为eq \f(\r(3),2)，则C2的渐近线方程为( )


A．x±eq \r(2)y＝0 B．eq \r(2)x±y＝0


C．x±2y＝0 D．2x±y＝0


4．设F1，F2分别为双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，则该双曲线的离心率为( )


A．eq \f(4,3) B．eq \f(5,3) C．eq \f(9,4) D．3


5.过双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．


6.设F为双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的右焦点,O为坐标原点,以OF为直径的圆与圆x2+y2=a2交于P,Q两点.若|PQ|=|OF|,则C的离心率为( )


A.2B.3 C.2 D. 5























参考答案：


知识梳理


学习过程


课前小测


1.B [在双曲线中，离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))＝eq \r(3)，可得eq \f(b,a)＝eq \r(2)，故所求的双曲线的


渐近线方程是y＝±eq \r(2)x.]


2. [思路探究] 渐近线经过点(3，－4)⇒渐近线的斜率⇒离心率．


[解析] (1)由题意知eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)，则e2＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(25,9)，所以e＝eq \f(5,3).


3.解析：设双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，


不妨设点M在双曲线的右支上，如图，AB＝BM＝2a，∠MBA＝120°，


作MH⊥x轴于H，则∠MBH＝60°，BH＝a，MH＝eq \r(3)a，


所以M(2a，eq \r(3)a)．将点M的坐标代入双曲线方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，得a＝b，所以e＝eq \r(2).故选D．








例 1解析:根据题意,可以求得双曲线的渐近线的方程为x±ay=0,而圆(x-2)2+y2=1的圆心为(2,0),半径为1,结合题意有|2±0|1+a2=1,结合a>0的条件,求得a=3,所以c=3+1=2,所以有e=23=233,故选A.


答案:A


例 2 解析:因为△ABF2为等边三角形,所以|AB|=|BF2|=|AF2|


,因为A为双曲线右支上一点,


所以|F1A|-|F2A|=|F1A|-|AB|=|F1B|=2a,


因为B为双曲线左支上一点,


所以|BF2|-|BF1|=2a,所以|BF2|=4a,


由∠ABF2=60°,得∠F1BF2=120°,在△F1BF2中,由余弦定理得4c2=4a2+16a2-2·2a·4a·cs 120°,得c2=7a2,则e2=7,又e>1,所以e=7.故选A.


答案:A


例3. 解:设F1(-c,0)(c>0),将x=-c代入双曲线的方程得c2a2-y2b2=1,


那么y=±b2a.由|PF2|=|QF2|,∠PF2Q=90°,知|PF1|=|F1F2|,


所以b2a=2c,所以b2=2ac,


所以c2-2ac-a2=0,所以ca2-2×ca-1=0,


即e2-2e-1=0,


所以e=1+2或e=1-2(舍去),


所以双曲线的离心率为1+2.


跟踪训练1 解析:因为双曲线的渐近线方程为x±y=0,所以a=b=1.


所以c=a2+b2=2,双曲线的率心率e=ca=2.


答案:C


跟踪训练2 解析:由y=bax,x=-1,得y1=-ba.，由y=-bax,x=-1,得y2=ba.∴|AB|=2ba.


由|AB|=4|OF|得2ba=4,故ba=2.(ca)2=a2+b2a2=5a2a2.∴e=5,故选D.


答案:D





达标检测


1．【答案】D [由题意得e＝eq \f(\r(a2＋3),a)＝2，∴eq \r(a2＋3)＝2a，


∴a2＋3＝4a2，∴a2＝1，∴a＝1.]


2．【答案】A [椭圆4x2＋y2＝64，即eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,64)＝1，焦点为(0，±4eq \r(3))，离心率为eq \f(\r(3),2)，则双曲线的焦点在y轴上，c＝4eq \r(3)，e＝eq \f(2,\r(3))，从而a＝6，b2＝12，故所求双曲线的方程为y2－3x2＝36.]


3. 【答案】A


[解] 椭圆C1的离心率e1＝eq \f(\r(a2－b2),a)，双曲线C2的离心率e2＝eq \f(\r(a2＋b2),a).


由e1e2＝eq \f(\r(a2－b2),a)·eq \f(\r(a2＋b2),a)＝eq \r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))·eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))＝eq \f(\r(3),2)，


解得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1,2)，所以eq \f(b,a)＝eq \f(\r(2),2)，


所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±eq \f(\r(2),2)x，即x±eq \r(2)y＝0.


4．【答案】B [考虑双曲线的对称性，不妨设P在右支上，则|PF1|－|PF2|＝2a，而|PF1|＋|PF2|＝3b，两式等号左右两边平方后相减，得|PF1|·|PF2|＝eq \f(9b2－4a2,4).又已知|PF1|·|PF2|＝eq \f(9,4)ab，∴eq \f(9,4)ab＝eq \f(9b2－4a2,4)，得eq \f(b,a)＝eq \f(4,3)(负值舍去)．


∴该双曲线的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))eq \s\up12(2))＝eq \r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,3)))eq \s\up12(2))＝eq \f(5,3).]


5. 【答案】2＋eq \r(3) [如图，F1，F2为双曲线C的左，右焦点，将点P的横坐标2a


代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1中，得y2＝3b2，不妨令点P的坐标为(2a，－eq \r(3)b)，


此时kPF2＝eq \f(\r(3)b,c－2a)＝eq \f(b,a)，得到c＝(2＋eq \r(3))a，


即双曲线C的离心率e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).








6. 【答案】A解析:如图,设PQ与x轴交于点A,由对称性可知PQ⊥x轴.


∵|PQ|=|OF|=c,∴|PA|=c2.


∴PA为以OF为直径的圆的半径,A为圆心,


∴|OA|=c2.∴Pc2,c2.


又点P在圆x2+y2=a2上,∴c24+c24=a2,即c22=a2,∴e2=c2a2=2,


∴e=2,故选A.








标准方程
图形
性


质
范围
x≤-a或x≥a y∈R
y≤-a或y≥a x∈R
对称性
对称轴:x轴、y轴;对称中心:坐标原点
顶点坐标
A1(-a,0),A2(a,0)
A1(0,-a),A2(0,a)
轴
实轴:线段A1A2,长:2a;


虚轴:线段B1B2,长:2b;


半实轴长:a,半虚轴长:b
渐近线
y=±ba x
y=±ba x
离心率
a,b,c间的关系
c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)