高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程优质学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册2.7.1 抛物线的标准方程优质学案设计，共13页。学案主要包含了典例解析等内容，欢迎下载使用。




1.知道抛物线的定义,能推出抛物线的标准方程.


2.能根据条件,求出抛物线的标准方程.


3.能利用抛物线方程解决一些相关实际问题.





重点：抛物线的定义及其标准方程


难点：根据条件求出抛物线的方程





知识梳理


1.抛物线的定义





2.抛物线的标准方程








1.判断


(1)抛物线的焦点到准线的距离是p.( )


(2)抛物线的开口方向由一次项确定.( )


2.抛物线的准线为x=-4,则抛物线的方程为( )


A.x2=16y B.x2=8y C.y2=16xD.y2=8x


3. 抛物线y2=4x上的点M(4,y0)到其焦点F的距离为( )


A.3 B.4 C.5 D.6





创设问题情境


抛物线这个几何对象，我们并不陌生.


例如,从物理学中我们知道,一个向上斜抛的乒乓球,其运动轨迹是抛物线的一部分，如图所示，二次函数的图像是一条抛物线；等等.





到底什么是抛物线呢？抛物线有没有一个类似于圆、椭圆或双曲线的定义呢？








概念形成





怎样从数学上证明满足抛物线定义的点一定是存在的？这样的点有多少个？你能想到什么办法来解决这两个问题？


同椭圆双曲线的情形一样，下面我们用坐标法来探讨尝试与发现中的问题，并求出抛物线的标准方程。











如果建立的平面直角坐标系分别如图（1）（2）（3）所示，其他条件不变，则抛物线的焦点坐标和准线方程有变化吗？此时能否通过①得到抛物线的标准方程具有的形式呢？








尝试与发现








二、典例解析


例1分别求符合下列条件的抛物线的标准方程.


(1)经过点(-3,-1);


(2)焦点为直线3x-4y-12=0与坐标轴的交点.











反思感悟 1.用待定系数法求抛物线标准方程的步骤





2.注意事项:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.





跟踪训练1 根据下列条件求抛物线的标准方程:


(1)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2);


(2)焦点在x轴负半轴上,焦点到准线的距离是5.








例2. 平面上动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.











求解曲线的轨迹方程的方法


(1)代数法:建立坐标系——设点——找限制条件——代入等量关系——化简整理;


(2)几何法:利用曲线的定义确定曲线类型并求出待定系数.


（3）抛物线的轨迹问题,既可以用轨迹法直接求解,也可以先将条件转化,再利用抛物线的定义求解.后者的关键是找到满足动点到定点的距离等于到定直线的距离且定点不在定直线上的条件,有时需要依据已知条件进行转化才能得到满足抛物线定义的条件.





跟踪训练2 已知动圆M经过点A(3,0),且与直线l:x=-3相切,求动圆圆心M的轨迹方程.








例3. 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又有点A(3,2),求|PA|+|PF|的最小值,并求此时P点坐标.








变式训练 若将例2(1)中的点A(3,2)改为点(0,2),求点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值.








1.(多选)若动点P到定点F(-4,0)的距离与到直线x=4的距离相等,则P点的轨迹不可能是( )


A.抛物线 B.线段 C.直线 D.射线


2.一动圆过点(0,1)且与定直线l相切,圆心在抛物线x2=4y上,则l的方程为( )


A.x=1B.x=116C.y=-1D.y=-116


3.一抛物线型拱桥,当水面离拱顶2 m时,水面宽2 m,若水面下降4 m,则水面宽度为( )


A.3 mB.23 mC.4 mD.6 m


4.与圆(x-2)2+y2=1外切,且与直线x+1=0相切的动圆圆心的轨迹方程是 .


5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 .


6.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程.


(1)准线方程为y=23;


(2)焦点在y轴上,焦点到准线的距离为5.

















参考答案：


知识梳理


1.答案:(1)√ (2)√


2.解析:由抛物线y2=4x,得p2=1,如图,





|FM|=4+p2=4+1=5.


答案:C


3. 答案:C


学习过程


抛物线的方程：如图所示，以直线 KF为x 轴，线段KF的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，此时，抛物线的焦点为Fp2,0,准线为x=-p2


设M x,y是抛物线上一点，则M到F的距离为


MF=(x-p2)2+y2,


则M到直线l的距离为x+p2,


所以(x-p2)2+y2=x+p2


上式两边平方，整理可得y2=2 p x ①





例1解:(1)因为点(-3,-1)在第三象限,


所以设所求抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)或x2=-2py(p>0).


若抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0),


则由(-1)2=-2p×(-3),解得p=16;


若抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),


则由(-3)2=-2p×(-1),解得p=92.


故所求抛物线的标准方程为y2=-13x或x2=-9y.


(2)对于直线方程3x-4y-12=0,


令x=0,得y=-3;令y=0,得x=4,


所以抛物线的焦点为(0,-3)或(4,0).


当焦点为(0,-3)时,p2=3,所以p=6,


此时抛物线的标准方程为x2=-12y;


当焦点为(4,0)时,p2=4,所以p=8,


此时抛物线的标准方程为y2=16x.


故所求抛物线的标准方程为x2=-12y或y2=16x.


跟踪训练1 解:(1)因为抛物线的焦点在y轴的负半轴上,且p2=2,所以p=4,


所以,所求抛物线的标准方程是x2=-8y.


(2)由焦点到准线的距离为5,知p=5,又焦点在x轴负半轴上,


所以,所求抛物线的标准方程是y2=-10x.


例2. 分析一设点P的坐标为(x,y),则有(x-1)2+y2=|x|+1,化简即得动点P的轨迹方程,此解法用了求谁设谁的思路,即直接法.


分析二结合题意动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,因此分情况讨论:


当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;


当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).


解:(方法一)设点P的坐标为(x,y),则有(x-1)2+y2=|x|+1.两边平方并化简,


得y2=2x+2|x|,所以y2=4x, x≥0,0, x<0,


即点P的轨迹方程为y2=4x, x≥0,0, x<0.


(方法二)由题意,动点P到定点F(1,0)的距离比到y轴的距离大1,由于点F(1,0)到y轴的距离为1,则当x<0时,直线y=0(x<0)上的点适合条件;当x≥0时,可以看作是点P到点F(1,0)与到直线x=-1的距离相等,故点P在以点F为焦点,x=-1为准线的抛物线上,其轨迹方程为y2=4x(x≥0).


综上所述,点P的轨迹方程为y2=4x, x≥0,0, x<0.


跟踪训练2 解:设动点M(x,y),☉M与直线l:x=-3的切点为N,则|MA|=|MN|,


即动点M到定点A和定直线l:x=-3的距离相等,


∴点M的轨迹是抛物线,且以A(3,0)为焦点,以直线l:x=-3为准线,


∴ p2 =3,∴p=6,


故动圆圆心M的轨迹方程是y2=12x.


例3. 解:将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±6.


∵6>2,∴A在抛物线内部.


设抛物线上点P到准线l:x=-12的距离为d,


由定义知|PA|+|PF|=|PA|+d.由图可知,


当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为72.


即|PA|+|PF|的最小值为72,


此时P点纵坐标为2,代入y2=2x,得x=2.


∴点P坐标为(2,2).








变式训练解:由图可知,点P、点(0,2)和抛物线的焦点F12,0三点共线时距离之和最小,所以最小距离d=0-122+(2-0)2=172.








达标检测


1. 解析:动点P的条件满足抛物线的定义.


答案:BCD


2.解析:因为动圆过点(0,1)且与定直线l相切,所以动圆圆心到点(0,1)的距离与到定直线l的距离相等,又因为动圆圆心在抛物线x2=4y上,且(0,1)为抛物线的焦点,所以l为抛物线的准线,所以l:y=-1.


答案:C


3.解析:如图所示,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0).∵当水面离拱顶2 m时,水面宽2 m,则B(1,-2).代入抛物线方程可得12=-2p×(-2),解得p=14.∴抛物线的标准方程为x2=-12y.设D(x,-6),代入抛物线方程可得x2=-12×(-6),解得x=±3.∴|CD|=23.





答案:B





4.解析:由圆(x-2)2+y2=1可得,圆心F(2,0),半径r=1.


设所求动圆圆心为P(x,y),过点P作PM⊥直线l:x+1=0,M为垂足.则|PF|-r=|PM|,可得|PF|=|PM|+1.因此可得,点P的轨迹是到定点F(2,0)的距离和到直线l:x=-2的距离相等的点的集合.由抛物线的定义可知,点P的轨迹是抛物线,定点F(2,0)为焦点,定直线l:x=-2是准线.


∴抛物线的方程为y2=8x.


答案:y2=8x


5.解析:如图所示,动点P到l2:x=-1的距离可转化为到点F的距离,由图可知,距离和的最小值,即F到直线l1的距离d=|4+6|(-3)2+42=2.


答案:2





6.解:(1)易知抛物线的准线交y轴于正半轴,且p2=23,则p=43,


故所求抛物线的标准方程为x2=-83y.


(2)已知抛物线的焦点在y轴上,可设方程为x2=2my(m≠0),由焦点到准线的距离为5,知|m|=5,m=±5,所以满足条件的抛物线有两条,它们的标准方程分别为x2=10y和x2=-10y.