高中2.7.2 抛物线的几何性质优秀课时练习

2.7.2 抛物线的几何性质(2)    -A基础练

一、选择题

1．（2020·全国高二课时练）已知抛物线的焦点在直线上,则此抛物线的标准方程是（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【解析】当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；当抛物线焦点在轴上时：直线与轴的交点为，此时抛物线为；综上所述：抛物线的标准方程是或，故选：

2．（2020·全国课时练习）设为抛物线的焦点，曲线与交于点，轴，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由抛物线的性质可得，故选D.

3．（2020·北京大兴区高二期末）已知直线y=kx-k及抛物线y2=2px(p>0),则 (　　)

A.直线与抛物线有一个公共点                    B.直线与抛物线有两个公共点

C.直线与抛物线有一个或两个公共点              D.直线与抛物线可能没有公共点

【答案】C

【解析】∵直线y=kx-k=k(x-1),∴直线过点(1,0),又点(1,0)在抛物线y2=2px的内部,

∴当k=0时,直线与抛物线有一个公共点;当k≠0时,直线与抛物线有两个公共点.

4. （2020·全国高二课时练）P为抛物线y2=2px的焦点弦AB的中点,A,B,P三点到抛物线准线的距离分别是|AA1|,|BB1|,|PP1|,则有 (　)

A.|PP1|=|AA1|+|BB1|                     B.|PP1|=|AB|

C.|PP1|>|AB|                           D.|PP1|<|AB|

【答案】B

【解析】如图所示,根据题意,PP1是梯形AA1B1B的中位线,

故|PP1|=(|AA1|+|BB1|)=(|AF|+|BF|)=|AB|.

5．（多选题）（2020·全国高二课时练）已知是抛物线的焦点，是上一点，的延长线交轴于点.若为的中点，则（    ）

A．的准线方程为 B．点的坐标为

C． D．三角形的面积为（为坐标原点）

【答案】ACD

【解析】如图，不妨设点位于第一象限，设抛物线的准线与轴交于点，作于点，于点.由抛物线的解析式可得准线方程为，点的坐标为，则，，在直角梯形中，中位线，由抛物线的定义有，结合题意，有，故，，.故选：ACD.

6．（多选题）（2020·山东黄岛高二月考）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B．为中点 C． D．

【答案】ABC

【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.

直线的斜率为，故，，，故，.

，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.

二、填空题

7．（2020·广东汕头高二期末）抛物线过圆的圆心，为抛物线上一点，则A到抛物线焦点F的距离为__________.

【答案】5

【解析】圆的圆心为，即，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为，其准线方程为，则A到抛物线焦点F的距离等于到抛物线准线的距离，即距离为.

8．（2020·广东汕尾高二期末）已知抛物线C:y2=4x的焦点F和准线l,过点F的直线交l于点A,与抛物线的一个交点为B,且=3,则|AB|=__________.

【答案】

【解析】抛物线C:y2=4x的焦点F(1,0)和准线l:x=-1,设A(-1,a),B(m,n),∵=3,∴,

∴m+1=,AB=.

9.（2020·运城市景胜中学高二月考）已知双曲线C1：＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为________．

【答案】x2＝16y

【解析】∵双曲线C1：＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴＝2，∴b＝a，∴双曲线的渐近线方程为x±y＝0，∴抛物线C2：x2＝2py(p＞0)的焦点到双曲线的渐近线的距离为＝2，∴p＝8.∴所求的抛物线方程为x2＝16y.

10.（2020·全国高二单元测）已知抛物线的焦点为F，点P在抛物线上，点．若，且的面积为，则______．

【答案】2

【解析】由条件知，所以，所以，由抛物线的准线为，及抛物线的定义可知，P点的横坐标为，不妨设点P在x轴上方，则P的纵坐标为，

所以，解得．

三、解答题

11.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1.

(1)求p的值;

(2)直线l:y=x-1交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.

【解析】 (1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,得-=-1,所以p=2.

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y,得x2-6x+1=0,则x1+x2=6,x1x2=1,

所以|AB|=

===8.

12．（2020·甘肃兰州一中月考）已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）不过原点的直线与抛物线交于不同两点，若，求的值．

【解析】（1）已知抛物线过点，且

则，∴，

故抛物线的方程为；

（2）设，，

联立，得，

，得，

，，

又，则，

，

或，

经检验，当时，直线过坐标原点，不合题意，

又，

综上：的值为-8．