高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角精品同步测试题

这是一份高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第一册1.2.3 直线与平面的夹角精品同步测试题，共13页。试卷主要包含了又AD⊥DC，故BC⊥DC，等内容，欢迎下载使用。

一、选择题


1．（2020·陕西新城西安中学高二月考（理））在正方体中，棱，的中点分别为，，则直线EF与平面所成角的余弦值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，


设正方体的棱长为2，





则， ， ，平面的法向量， 设直线与平面所成角为，，则．所以直线与平面所成角的余弦值为．故选：．


2．（2020甘肃会宁高二期中）已知直四棱柱的所有棱长相等，，则直线与平面所成角的正切值等于（ ）


A．B．C．D．


【答案】D


【解析】如图所示的直四棱柱，，取中点，以为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系．





设，则，


．


设平面的法向量为，则取，得．


设直线与平面所成角为，则，，∴直线与平面所成角的正切值等于，故选：D


3．（2020·山东新泰市一中学高二期中）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，，分别为和的中点，当和所成角的余弦值为时，与平面所成角的正弦值为（ ）


A．B．C．D．


【答案】B


【解析】设，以为原点，过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，


，，，，，，和所成角的余弦值为，


，解得．，，，


平面的法向量，


与平面所成角的正弦值为：．故选：B．





4．（2020·广东广州高二月考（理））在棱长为1的正方体中，已知点P是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是（ ）


A．B．C．D．


【答案】C


【解析】如图，以为坐标原点，，，所在直线为轴建立空间直角坐标系，


可设P（0，y，z），由A（0，1，0），（1，0，1），，，


，设直线与平面所成角为θ，异面直线与所成角为，由平面的一个法向量为，可得，，


由，可得，则，


当时，线段DP长度的最小值为.故选：C.





5.（多选题）（2020江苏海安高级中学高二期中）如图，为正方体，下列结论中正确的是 （ ）





A．平面；


B．平面；


C．与底面所成角的正切值是；


D．过点与异面直线与成角的直线有2条.


【答案】ABD


【解析】对A，，平面，故A正确；对B，，，，平面，故B正确；


对C，与底面所成角的正切值是，故C错误；对D，异面直线与成，过点与异面直线与成角的直线有2条，故D正确；故选：ABD．


6．（多选题）（2020山东泰安一中高二月考）a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论正确的是（ ）


A.当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；


B.当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；


C.直线AB与a所成角的最小值为45°；


D.直线AB与a所成角的最大值为60°.


【答案】BC


【解析】由题意知，a、b、AC三条直线两两相互垂直，画出图形如图，不妨设图中所示正方体边长为1，故|AC|＝1，|AB|，斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量（0，1，0），||＝1，


直线b的方向单位向量（1，0，0），||＝1，设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（csθ，sinθ，0），其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），∴AB′在运动过程中的向量，（csθ，sinθ，﹣1），||，设与所成夹角为α∈[0，]，


则csα|sinθ|∈[0，]，∴α∈[，]，∴C正确，D错误．


设与所成夹角为β∈[0，]，csβ|csθ|，


当与夹角为60°时，即α，|sinθ|，


∵cs2θ+sin2θ＝1，∴csβ|csθ|，∵β∈[0，]，∴β，此时与的夹角为60°，∴B正确，A错误．故答案为BC．





二、填空题


7．（2018·全国高考真题（理））已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．


【答案】


【解析】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为因此圆锥的侧面积为


8．（2020浙江高二期中）如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为_________．





【答案】


【解析】





以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，设，则，，


,


，


，的最大值为.


9．（2020·福建省福州第一中学高二期末）正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．


【答案】；


【解析】取中点，中点，中点，连结、、、、、，





∵，，，，


∴平面平面，


∴过且与平行的平面截正方体所得截面为，


∵，，四边形是矩形，


∴过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为：；


以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，


，，，，，，，


设平面的法向量，则，取，得，


设和该截面所成角为，


则，∴和该截面所成角的正弦值为．


10．（2020贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是_______．





【答案】


【解析】设正方体边长为，建立如图所示空间直角.则，设，则，由于使，，所以是平面的法向量，所以，由于，所以，，，所以，，由于，所以





三、解答题


11.（2017·天津高考真题）如图，在四棱锥中，平面，，，，，，.


（I）求异面直线与所成角的余弦值；


（II）求证：平面；


（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值.





【解析】（Ⅰ）如图，由已知AD//BC，故或其补角即为异面直线AP与BC所成的角.


因为AD⊥平面PDC，所以AD⊥PD.


在Rt△PDA中，由已知，得，


故.所以，异面直线AP与BC所成角的余弦值为.





（Ⅱ）证明：因为AD⊥平面PDC，直线PD平面PDC，所以AD⊥PD.


又因为BC//AD，所以PD⊥BC，


又PD⊥PB，，所以PD⊥平面PBC.


（Ⅲ）过点D作AB的平行线交BC于点F，连结PF，


则DF与平面PBC所成的角等于AB与平面PBC所成的角.


因为PD⊥平面PBC，故PF为DF在平面PBC上的射影，


所以为直线DF和平面PBC所成的角.


由于AD//BC，DF//AB，故BF=AD=1，由已知，得CF=BC–BF=2.又AD⊥DC，故BC⊥DC，


在Rt△DCF中，可得,


在Rt△DPF中，可得.


所以，直线AB与平面PBC所成角的正弦值为.


12.(2020山东菏泽三中高二月考)如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为等边三角形，且AA1⊥平面ABC，AB=AA1=2，且D为棱AA1的中点.





（1）求四棱锥C1-BB1A1D的体积；


（2）在棱AA1上是否存在一点M，使得BM与平面BCC1B1所成角的余弦值为105，若存在，试确定点M的位置，否则说明理由.


【解析】（1）取A1B1中点P.连结C1P.因为ΔA1B1C1为等边三角形，所以C1P⊥A1B1.


因为AA1⊥平面A1B1C1，C1P⊂平面A1B1C1，所以AA1⊥C1P.


因为AA1∩A1B1=A1，


所以C1P⊥平面ABB1A1，


所以点C1到平面BB1A1D的距离即是点C1到A1B1的距离3，


又四边形BB1A1D的面积是1+22×2=3，


所以多面体C1-BB1A1D的体积为13×3×3=3；


（2）假设在棱AA1上存在一点M，使得BM与平面BCC1B1所成角的余弦值为105.


分别取AC，A1C1的中点O，O1，以OA，OB，OO1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，





设AM=λ(0⩽λ⩽2)，则A(1,0,0)，M(1,0,λ)，


B(0,3,0)，C(-1,0,0)，C1(-1,0,2)，则B=(1,-3,λ)，B=(-1,-3,0)，B=(-1,-3,2).


设m=(a,b,c)是平面BCC1B1的一个法向量，


则B⋅m=-a-3b=0B⋅m=-a-3b+2c=0，


令b=1，则m=(-3,1,0)，


因为BM与平面BCC1B1所成角的余弦值为105，故其正弦值为155，


则有|B⋅m||B|⋅|m|=155.解得λ=1或-1（舍去）.


故在棱AA1上存在一点M为AA1中点，使得BM与平面BCC1B1所成角的余弦值为105.