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选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀精练
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这是一份选择性必修 第一册第二章 平面解析几何2.8 直线与圆锥曲线的位置关系优秀精练，共10页。
一、选择题
1．（2020·云南昆明一中月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设过点的直线交抛物线于、两点.若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，由于点、在抛物线上，可得，两式作差得，所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.故选：A.
2．（2020·江西上高二中高二月考（文））已知椭圆 的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，设，则，其中，所以 ，又因为直线斜率的取值范围是，所以直线斜率的取值范围是．
3．（2020·武威第六中学高二月考）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，设椭圆与弦的交点为，，
则将代入椭圆方程，整理得：，
∴，而，故，
∴，又在上，则，故选：C
4．（2020·福建省罗源第一中学月考）过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则 ，的中点，所以，又，所以，
即，而，，
所以，又，所以，所以
椭圆方程为：.故选：A.
5．（多选题）已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为 D．的面积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错；
由得或，由对称性知点横坐标是，C正确；
，D正确．故选：ACD．
6．（多选题）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
所以A项不正确；对于B项，根据，所以，所以直线方程为，
即，所以B项正确；对于C项，若直线方程为，点，则，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，
解得，所以，所以D正确；故选：BD.
二、填空题
7.（2019·洋县中学高二期中）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为______．
【答案】2
【解析】设，，两式相减得，
即，当时，，
因为点是的中点，所以，，解得： 。
8．已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，
方法一：设、，则，
，即，∴．
方法二：利用参数方程，设、，
则．
9．（2020·江西南昌二中高二期中）已知椭圆的焦点为，，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为__．
【答案】或
【解析】当时，点在圆上，
联立椭圆，，当时，，解得，
所以当时，.若使得的点的概率为，可得，解得，．当时，解得，由，得到，又因为，解得．故答案为：2或
10.（2020·湖南高三其他（理））已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】联立，得，，故直线与的交点为，线段的中点为，设与的交点分别为、，则，，直线的斜率，
分别把、代入椭圆方程，得，
两式相减整理，得，即，，，，，故答案为：.
三、解答题
11. （2020·北京大兴高二月考）已知椭圆离心率为，椭圆M与y轴交于A，B两点（A在下方），且过点直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
【解析】（Ⅰ）解：由题意得，解得.
∴椭圆M的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l的斜率存在，
当时，直线l的方程为，代入椭圆方程有，
则，，
，，
，，
∴，
当时，则直线l的方程为.
由，得.
设，，
则，，
又，
，
，
即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
12.（2020·贵州省思南中学期中）已知椭圆：的离心率为，且经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）有题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为，由，
联立得，，
设，定点，由题意得，
所以，
因为直线，恰好关于x轴对称，
所以直线，的斜率互为相反数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.
综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.
一、选择题
1．（2020·云南昆明一中月考）已知抛物线，以为中点作的弦，则这条弦所在直线的方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【解析】设过点的直线交抛物线于、两点.若直线垂直于轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，由于点为线段的中点，则，由于点、在抛物线上，可得，两式作差得，所以，直线的斜率为，
因此，直线的方程为，即.故选：A.
2．（2020·江西上高二中高二月考（文））已知椭圆 的左、右顶点分别为，点为椭圆上不同于两点的动点，若直线斜率的取值范围是，则直线斜率的取值范围是( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由题意得，设，则，其中，所以 ，又因为直线斜率的取值范围是，所以直线斜率的取值范围是．
3．（2020·武威第六中学高二月考）已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点M，则M的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由题意，设椭圆与弦的交点为，，
则将代入椭圆方程，整理得：，
∴，而，故，
∴，又在上，则，故选：C
4．（2020·福建省罗源第一中学月考）过椭圆的右焦点的直线与交于，两点，若线段的中点的坐标为，则的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设，则 ，的中点，所以，又，所以，
即，而，，
所以，又，所以，所以
椭圆方程为：.故选：A.
5．（多选题）已知、是双曲线的上、下焦点，点是该双曲线的一条渐近线上的一点，并且以线段为直径的圆经过点，则下列说法正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．点的横坐标为 D．的面积为
【答案】ACD
【解析】由双曲线方程知，焦点在轴，渐近线方程为，A正确；，以为直径的圆的方程是，B错；
由得或，由对称性知点横坐标是，C正确；
，D正确．故选：ACD．
6．（多选题）设椭圆的方程为，斜率为的直线不经过原点，而且与椭圆相交于两点，为线段的中点.下列结论正确的是（ ）
A．直线与垂直；
B．若点坐标为，则直线方程为；
C．若直线方程为，则点坐标为
D．若直线方程为，则.
【答案】BD
【解析】对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质，
所以A项不正确；对于B项，根据，所以，所以直线方程为，
即，所以B项正确；对于C项，若直线方程为，点，则，所以C项不正确；对于D项，若直线方程为，与椭圆方程联立，得到，整理得：，
解得，所以，所以D正确；故选：BD.
二、填空题
7.（2019·洋县中学高二期中）直线过点与抛物线交于两点，若恰为线段的中点，则直线的斜率为______．
【答案】2
【解析】设，，两式相减得，
即，当时，，
因为点是的中点，所以，，解得： 。
8．已知直线与椭圆交于、两点，若，则的取值范围是_____．
【答案】
【解析】直线过原点，结合椭圆图形的对称性可知、两点关于原点对称，
方法一：设、，则，
，即，∴．
方法二：利用参数方程，设、，
则．
9．（2020·江西南昌二中高二期中）已知椭圆的焦点为，，若在长轴上任取一点，过点作垂直于的直线交椭圆于点，若使得的点的概率为，则的值为__．
【答案】或
【解析】当时，点在圆上，
联立椭圆，，当时，，解得，
所以当时，.若使得的点的概率为，可得，解得，．当时，解得，由，得到，又因为，解得．故答案为：2或
10.（2020·湖南高三其他（理））已知直线与椭圆相交于，两点，且线段的中点在直线上，则此椭圆的离心率为______．
【答案】
【解析】联立，得，，故直线与的交点为，线段的中点为，设与的交点分别为、，则，，直线的斜率，
分别把、代入椭圆方程，得，
两式相减整理，得，即，，，，，故答案为：.
三、解答题
11. （2020·北京大兴高二月考）已知椭圆离心率为，椭圆M与y轴交于A，B两点（A在下方），且过点直线l与椭圆M交于C，D两点（不与A重合）.
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）证明：直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
【解析】（Ⅰ）解：由题意得，解得.
∴椭圆M的方程为；
（Ⅱ）证明：由题意，直线l的斜率存在，
当时，直线l的方程为，代入椭圆方程有，
则，，
，，
，，
∴，
当时，则直线l的方程为.
由，得.
设，，
则，，
又，
，
，
即直线的斜率与直线的斜率乘积为定值.
12.（2020·贵州省思南中学期中）已知椭圆：的离心率为，且经过点，
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线与椭圆相较于，两点，试问在轴上是否存在定点，使得两条不同直线，恰好关于轴对称，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【解析】（1）有题意可得，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）存在定点，满足直线，恰好关于x轴对称，
设直线l的方程为，由，
联立得，，
设，定点，由题意得，
所以，
因为直线，恰好关于x轴对称，
所以直线，的斜率互为相反数，
所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以当时，直线，恰好关于x轴对称，即.
综上，在轴上存在定点，使直线，恰好关于x轴对称.
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