数学选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程优秀教学设计

这是一份数学选择性必修 第一册2.5.1 椭圆的标准方程优秀教学设计，共16页。




本节课选自《2019人教B版高中数学选择性必修第一册》第二章《平面解析几何》，本节课主要学习椭圆的标准方程


从知识上讲，椭圆的标准方程是解析法的进一步运用，同时它也是进一步研究椭圆几何性质的基础；从方法上讲，它为我们研究双曲线、抛物线这两种圆锥曲线提供了基本模式和理论基础；从教材编排上讲，现行教材中把三种圆锥曲线独编一章，更突出了椭圆的重要地位.因此本节课有承前启后的作用，是本章和本节的重点内容.是几何的研究实现了代数化。数与形的有机结合，在本章中得到了充分体现。








重点： 椭圆的定义及其标准方程


难点： 椭圆标准方程的推导过程





多媒体























“椭圆及其标准方程”是在学生已学过坐标平面上圆的方程的基础上，运用“曲线和方程”理论解决具体的二次曲线的又一实例.学生在学习上还是有一定的基础的。教学按照有有生活中的实例，出发，类比圆的定义，从而获得椭圆的定义，进而运用解析法，求出椭圆的标准方程，并能简单运用。











课程目标
学科素养
A.掌握椭圆的定义.(数学抽象)


B.掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程.(逻辑推理)


C.能根据条件确定椭圆的标准方程,掌握待定系数法求椭圆的标准方程.(数学运算)
1.数学抽象：曲线与方程的关系


2.逻辑推理：曲线的方程与方程的曲线的关系


3.数学运算： 根据条件求曲线的方程


4.数学建模：运用方程研究曲线的性质
教学过程
教学设计意图


核心素养目标
创设问题情境，探究新知


在日常生活与学习中，可以见到很多有关椭圆的形象，如图，





我们还知道圆是平面内到圆心的距离等于半径的点的集合，圆上的点的特征是任意一点到圆心的距离都等于半径，那么你能说说到底什么是椭圆吗？椭圆上任意一点的特征是什么？


问题1. 从集合或轨迹的角度,类比圆的定义,如何定义椭圆 ?


平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)


的点的轨迹叫做椭圆.


1.椭圆的定义





概念解析


1.椭圆的定义中去掉限制条件后,动点P的轨迹还是椭圆吗?


提示:不是.当2a<|F1F2|时,动点P的轨迹不存在. 当2a=|F1F2|时,动点P的轨迹为线段F1F2.


2.到两个定点F1(-7,0)和F2(7,0)的距离之和为14的点P的轨迹是( )


A.椭圆 B.线段


C.圆D.以上都不对


解析:∵点P到两定点的距离之和为14等于|F1F2|,∴轨迹是一条线段.


答案:B


你能利用日常生活中的物品做出一个椭圆吗？





这种做椭圆的方法，实际上验证了椭圆定义中的P点一定存在，而且有无数多个，那么从数学上能不能证明这一点呢？


设F1,F2是平面的两个定点，F1F2=8，证明平面上满足


PF1+PF2=10, 的动点P有无数多个，并求P的轨迹方程。








以F1,F2所在直线为x 轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系xOy，


设椭圆的焦点分别为F1（-4,0）,F2 （4,0）


设P的坐标为x,y,因为PF1+PF2=10,


而且PF1=(x+4)2+y2, PF2=(x-4)2+y2,


所以(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=10. ①


当x≠0时, (x+4)2+y2≠x-42+y2,此时，


由①得(x+4)2+y2-(x-4)2+y2(x+4)2+y2+(x-4)2+y2=10


整理得(x+4)2+y2-x-42+y2=85x. ②


①+ ②整理得


(x+4)2+y2 =5+45x. ③


将③式平方再整理得x225+y29=1 ④


当x=0时，由①可知242+y2=10，即y2=9，此时④也成立


可以验证，如果P的坐标满足 ④式，可得PF1+PF2=10,


不难看出方程④有无数多组实数解，这说明坐标满足PF1+PF2=10,


的点有无数个，而且P的轨迹方程为 ④式


一般地，如果椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c，而且椭圆上的动点P满足，PF1+PF2=2a,其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为x轴，线段的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图所示，


此时,椭圆的焦点分别为F1（-c,0）和F2（ c,0）


(x+c)2+y2+(x-c)2+y2=2a.


化简得；x2a2+y2b2=1 (a>b>0),称焦点在x轴上的椭圆方程.








椭圆的标准方程


设椭圆的焦点为F1和F2，焦距为2c ，而且椭圆上的动点P满足PF1+PF2=2a,


其中a>c>0. 以F1F2 所在直线为y轴，线段的垂直平分线为x轴，建立平面直角坐标系，如图所示，此时：


（1）椭圆焦点的坐标分别是什么？


（2）能否通过x2a2+y2b2=1 (a>b>0) 来得到此时椭圆方程的形式？





y2a2+x2b2=1 (a>b>0),称焦点在y轴上的椭圆方程.


2.椭圆的标准方程



焦点在x轴上
焦点在y轴上

标准


方程
x2a2+y2b2=1 (a>b>0)
y2a2+x2b2=1 (a>b>0)

图形



焦点


坐标
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)

a,b,c的关系
b2=a2-c2




思考: 能否根据椭圆的标准方程,判定焦点位置?


提示:能.根据x2与y2的分母的大小来判定,哪个的分母大,


焦点就在哪个轴上.


1. a=6,c=1的椭圆的标准方程是( )


A.x236+y235=1 B.y236+x235=1


C.x236+y21=1D.x236+y235=1或y236+x235=1


2. 椭圆x225+y2=1上一点P到一个焦点的距离为2,则点P到另一个焦点的距离为( )


A.5B.6 C.7D.8


3. 椭圆4x2+9y2=1的焦点坐标是( )


A.(±5,0) B.(0,±5) C.±56,0D.±536,0


解析: (1) 易得为D选项.


(2)设椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,若|PF1|=2,


结合椭圆定义|PF2|+|PF1|=10,可得|PF2|=8.


(3)∵椭圆的标准方程为x214+y219=1,


∴a2=14,b2=19,∴c2=a2-b2=14-19=536,且焦点在x轴上,


∴焦点坐标为±56,0.


答案:(1)D (2)D (3)C


二、典例解析


例1求适合下列条件的椭圆的标准方程.


(1)过点A(-1,-2)且与椭圆x26+y29=1的两个焦点相同;


(2)过点P(3,-2),Q(-23,1).


分析(1)先根据椭圆x26+y29=1得到它的焦点为(0,±3),再设所求的椭圆方程为y2m+x2m-3=1,代入点A的坐标即可解出m的值,得到椭圆的标准方程;


(2)设椭圆的方程为x2p+y2q=1,p,q为不相等的正数,将P,Q的坐标代入,得到关于p,q的方程组并求解,即得椭圆的标准方程.


解:(1)∵椭圆x26+y29=1中,a2=9,b2=6,∴c2=a2-b2=3,得焦点坐标为(0,±3),故设所求的椭圆方程为y2m+x2m-3=1(m>3).


∵椭圆过点A(-1,-2),∴(-2)2m+(-1)2m-3=1,解得m=6(m=2不合题意,舍去).


所以椭圆的标准方程为y26+x23=1.


(2)设椭圆的方程为x2p+y2q=1,p,q均为正数且不相等.


∵椭圆经过点P(3,-2),Q(-23,1),


∴(3)2p+(-2)2q=1,(-23)2p+12q=1,解得p=15,q=5.


所以椭圆的标准方程为x215+y25=1.


1.利用待定系数法求椭圆的标准方程,有下面几种情况:


如果明确椭圆的焦点在x轴上,


那么设所求的椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0);


如果明确椭圆的焦点在y轴上,


那么设所求的椭圆方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0);


如果中心在原点,但焦点的位置不能明确是在x轴上,还是在y轴上,那么方程可以设为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),进而求解.


2.待定系数法求圆锥曲线方程能有力地明晰数学运算的目标性和方向性,能较好地体现运用解析法进行数学运算的核心素养.





跟踪训练1 求适合下列条件的椭圆的标准方程.


(1)焦点在y轴上,且经过两个点(0,2)和(1,0);


(2)两个焦点的坐标分别是(0,-2),(0,2),并且经过点-32,52.


解:(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).又椭圆经过点(0,2)和(1,0),根据椭圆定义可知,a2=4,b2=1,所以所求的椭圆的标准方程为y24+x2=1.


(2)因为椭圆的焦点在y轴上,


所以设它的标准方程为y2a2+x2b2=1(a>b>0).


由椭圆的定义知,2a=-322+52+22+-322+52-22=210,即a=10,又c=2,所以b2=a2-c2=6,


所以所求椭圆的标准方程为y210+x26=1.


例2. 如图所示,已知动圆P过定点A(-3,0),并且在定圆B:(x-3)2+y2=64的内部


与其内切,求动圆圆心P的轨迹方程.





解:设动圆P和定圆B内切于点M,动圆圆心P到两


定点A(-3,0)和B(3,0)的距离之和恰好等于定圆半径,


即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,


所以动圆圆心P的轨迹是以A,B为左、右焦点


的椭圆,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,


其轨迹方程为x216+y27=1.


利用椭圆定义求动点轨迹方程的三个步骤








归纳总结


例3. 已知P为椭圆x212+y23=1上一点,F1,F2是椭圆的焦点,


∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面积.


解:由已知得a=23,b=3,


所以c=a2-b2=12-3=3,


从而|F1F2|=2c=6.


在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cs 60°,


即36=|PF1|2+|PF2|2-|PF1|·|PF2|.①


由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=43,


即48=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|.②


由①②得|PF1|·|PF2|=4.


所以S△F1PF2=12|PF1|·|PF2|·sin 60°=3.


(1)椭圆上一点P(不与焦点共线)与椭圆的两个焦点F1,F2构成的△PF1F2称为焦点三角形.解关于椭圆的焦点三角形的问题,通常要利用椭圆的定义,再结合正弦定理、余弦定理等知识求解.


(2)焦点三角形的常用公式


①焦点三角形的周长L=2a+2c.


②在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cs∠F1PF2.


③设P(xP,yP),焦点三角形的面积S△F1PF2=c|yP|=12|PF1||PF2|·sin∠F1PF2=b2tan∠F1PF22.









通过具体的情景，让学生对椭圆有一个直观的印象，同时类比圆的定义，抽象出椭圆的几何定义。发展学生数学抽象，直观想象的核心素养。































































































通过特例，运用解析法，求出椭圆的方程，进而推广到一般，获得椭圆的标准方程。帮助学生进一步体会数形结合的思想方法。发展学生数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。



















































































































































































通过典型例题，掌握根据椭圆的定义求出其方程的基本方法，即待定系数法，提升学生数学建模，数形结合，及方程思想，发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。



三、达标检测


1.已知椭圆的焦点为(-1,0)和(1,0),点P(2,0)在椭圆上,则椭圆的方程为( )


A.x24+y23=1B.x24+y2=1


C.y24+x23=1D.y24+x2=1


解析:c=1,由点P(2,0)在椭圆上,可得a=2,


∴椭圆的方程为x24+y23=1.


答案:A


2.若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是( )


A.(0,+∞)B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1)


解析:∵方程x2+ky2=2,即x22+y22k=1表示焦点在y轴上的椭圆,


∴2k>2,故0

3.已知F1,F2为椭圆x225+y29=1的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A,B两点.若|F2A|+|F2B|=12,


则|AB|=.


解析：由直线AB过椭圆的一个焦点F1,


知|AB|=|F1A|+|F1B|,所以在△F2AB中,|F2A|+|F2B|+|AB|=4a=20,


又|F2A|+|F2B|=12,所以|AB|=8.


4.椭圆x2+ky2=1的焦距为2,则k的值为 .


解析:椭圆x2+ky2=1转换为标准形式x21+y21k=1,


当焦点在x轴上时,c2=1-1k,即2c=21-1k=2,解得k=2,


当焦点在y轴上时,c2=1k-1,即2c=21k-1=2,解得k=23.


答案:2或23


5.设F1,F2是椭圆x29+y24=1的两个焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,求△F1PF2的面积为 .


解析:由椭圆方程,得a=3,b=2,c=5.


∵|PF1|+|PF2|=2a=6且|PF1|∶|PF2|=2∶1,


∴|PF1|=4,|PF2|=2.


∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2.


∴△PF1F2是直角三角形,且∠F1PF2=90°,


故△F1PF2的面积为12|PF1|·|PF2|=12×2×4=4.


答案:4


6.如图所示,在圆C:(x+1)2+y2=25内有一点A(1,0).Q为圆C上任意一点,线段AQ的垂直平分线与C,Q的连线交于点M,当点Q在圆C上运动时,求点M的轨迹方程.





解:如图所示,连接MA.由题意知点M在线段CQ上,


从而有|CQ|=|MQ|+|CM|. 又点M在AQ的垂直平分线上,


则|MA|=|MQ|, 故|MA|+|MC|=|CQ|=5>|AC|=2.


又A(1,0),C(-1,0), 故点M的轨迹是以(1,0),(-1,0)为焦点的椭圆,


且2a=5,c=1,





故a=52,b2=a2-c2=254-1=214.


故点M的轨迹方程为x2254+y2214=1.



通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。



四、小结





五、课时练



通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。