2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（四）

2021年中考数学分类专题提分训练：圆之圆周角定理解答题专项（四）  1．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，延长AB、CD交于点P，连接AD、BC交于点E，∠P＝30°，∠ABC＝50°，求∠A的度数．   2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝3，求⊙O和菱形ABFC的面积．3．在⊙O中，半径OD⊥AB，垂足为点P，点C为圆上任意一点，若∠O＝60°，DP＝2，求∠C的度数和半径OB的长． 4．如图，已知AB是⊙O的弦，OB＝4，∠OBC＝30°，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB．（1）当∠ADC＝18°时，求∠DOB的度数；（2）若AC＝2，求证：△ACD∽△OCB． 5．已知：如图，△ABC内接于⊙O，BC＝12cm，∠A＝60°．求⊙O的直径．  6．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AC，AC⊥BD，垂足为E，点F在BD的延长线上，且DF＝DC，连接AF、CF．（1）求证：∠BAC＝2∠CAD；（2）若AF＝10，BC＝4，求tan∠BAD的值． 7．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，点O为斜边AB的中点，以O为圆心，5为半径的圆与BC相交于E、F两点，联结OE、OC．（1）求EF的长；（2）求∠COE的正弦值．   8．如图，在以AB为直径的半⊙O上有点C，点D在上，过圆心作OF⊥CD的于点F，OF、AD的延长线交于点E，连结CE，若∠DEC＝90°．（1）试说明∠BAC＝45°；（2）若DF＝1，△ACE的面积为△DCE面积的3倍，连接AC交OE于点P，求tan∠ACD的值和OP的长；（3）在（2）的条件下，延长EC与AB的延长线相交于点G，直接写出BG的长　   　．   9．如图，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E．连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD．（2）若BE＝3，CD＝8，求⊙O的半径长．   10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠PBC＝∠C（1）判断直线BC和PD的位置关系，并证明你的结论；（2）若BC＝2，cos∠BPD＝，求⊙O的半径．                 参考答案1．解：∵∠ABC为△BCP的外角，∴∠ABC＝∠P+∠C，∵∠ABC＝50°，∠P＝30°，∴∠C＝20°，由圆周角定理，得∠A＝∠C，∴∠A＝20°．2．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形．（2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝62﹣x2，解得x＝2或﹣9（舍弃）∴AB＝9，BD＝，∴S菱形ABFC＝36．∴S⊙O＝π•（）2＝π．3．解：连接OA，∵OD⊥AB，∴＝，∵∠BOD＝60°∴∠AOD＝∠BOD，∴∠C＝∠BOD＝30°；∵OD⊥AB，DP＝2，∴AC＝CB，设半径为R，在Rt△OAC中，R﹣2＝R，∴R＝4．∴⊙O的半径为4．4．（1）解：连接OA，∵OA＝OB＝OD，∴∠OAB＝∠OBC＝30°，∠OAD＝∠ADC＝18°，∴∠DAB＝∠DAO+∠BAO＝48°，由圆周角定理得：∠DOB＝2∠DAB＝96°． （2）证明：过O作OE⊥AB于点E，垂足为E，∵OE过O，由垂径定理得：AE＝BE，∵在Rt△OEB中，OB＝4，∠OBC＝30°，∴OE＝OB＝2，由勾股定理得：BE＝2＝AE，即AB＝2AE＝4，∵AC＝2，∴BC＝2，即C、E两点重合，∴DC⊥AB，∴∠DCA＝∠OCB＝90°，∵DC＝OD+OC＝2+4＝6，OC＝2，AC＝BC＝2，∴＝＝，∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）．5．解：如右图所示，连接OB、OC，并过O作OD⊥BC于D，∵OD⊥BC，BC＝12，∴BD＝CD＝6，∵∠A＝60°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，OD⊥BC，∴∠BOD＝∠COD＝60°，∴∠OCD＝30°，在Rt△COD中，设OD＝x，那么OC＝2x，于是x2+62＝（2x）2，解得x＝2，（负数舍去），即OC＝4（cm），∴⊙O的直径＝2OC＝8（cm）．6．解：（1）∵AB＝AC，∴＝，∠ABC＝∠ACB，∴∠ABC＝∠ADB，∠ABC＝（180°﹣∠BAC）＝90°﹣∠BAC，∵BD⊥AC，∴∠ADB＝90°﹣∠CAD，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠BAC＝2∠CAD；（2）解：∵DF＝DC，∴∠DFC＝∠DCF，∴∠BDC＝2∠DFC，∴∠BFC＝∠BDC＝∠BAC＝∠FBC，∴CB＝CF，又BD⊥AC，∴AC是线段BF的中垂线，AB＝AF＝10，AC＝10．又BC＝4，设AE＝x，CE＝10﹣x，由AB2﹣AE2＝BC2﹣CE2，得100﹣x2＝80﹣（10﹣x）2，解得x＝6，∴AE＝6，BE＝8，CE＝4，∵∠ACD＝∠ABD，∠CED＝∠BEA，∴△CED∽△BEA，∴＝，∴DE＝＝＝3，∴BD＝BE+DE＝3+8＝11，作DH⊥AB，垂足为H，∵AB•DH＝BD•AE，∴DH＝＝＝，∴BH＝＝，∴AH＝AB﹣BH＝10﹣＝，∴tan∠BAD＝＝＝．7．解：（1）作OM⊥EF于M，如图，则EM＝FM，∵∠ACB＝90°，∴OM⊥BC，∴OM＝AC＝×8＝4，在Rt△OEM中，EM＝＝3，∴EF＝2EM＝6；（2）CM＝BC＝8，∴CE＝8﹣3＝5，∴CE＝OE，∴∠OEC＝∠OCE，在Rt△OCM中，OC＝＝4，∴sin∠OCM＝＝＝，∴∠COE的正弦值为．8．（1）证明：连接BC，如图1所示：∵OF⊥CD，∴DF＝CF，∴ED＝EC，∵∠DEC＝90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴∠DCE＝∠CDE＝45°，∴∠ABC＝∠CDE＝45°，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＝45°；（2）解：连接OC、BD，如图2所示：∵DF＝CF＝1，∴CD＝2，△CDE是等腰直角三角形，∴ED＝EC＝，∵△ACE的面积为△DCE面积的3倍，∴AE＝3DE＝3，AD＝2，∴AC＝＝＝2，∵AB是半⊙O的直径，∴∠ACB＝∠ADB＝90°，∵∠BAC＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴BC＝AC＝2，AB＝AC＝2，∴OC＝OA＝OB＝，BD＝＝＝4＝2AD，∵∠ACD＝∠ABD，∴tan∠ACD＝tan∠ABD＝＝；∵∠PFC＝∠ADB＝90°，∴△PCF∽△ABD，∴＝，即＝，解得：PF＝，∵OF＝＝3，∴OP＝OF﹣PF＝；（3）解：如图3所示：∵△ABC是等腰直角三角形，OA＝OB，∴OC⊥AB，∴∠COG＝90°＝∠DEC，∵∠G＝∠G，∴△OCG∽△EAG，∴＝＝，即＝＝，解得：BG＝，CG＝5，故答案为：．9．解：（1）∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵AB⊥CD，∴∠BCD+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD；         （2）∵CD＝8，AB⊥CD，∴CE＝ED＝4，设半径OC＝OB＝r 在Rt△OCE中，（r﹣3）2+42＝r2，∴r＝．10．解：（1）CB∥PD．∵，∴∠C＝∠P．又∵∠1＝∠DCB，∴∠1＝∠P．∴CB∥PD．（2）连接AC．∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°．又∵CD⊥AB，∴．∴∠A＝∠P．∴cosA＝cosP．在Rt△ABC中，，∵cos∠BPD＝，∴．∵BC＝2，∴AB＝．即⊙O的半径为．