微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（三）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（三） 1．如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．（1）求证：＝；（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径．    2．如图，⊙O的直径MN⊥弦AB于C，点P是AB上的一点，且PB＝PM，延长MP交⊙O于D，连结AD．（1）求证：AD∥BM；（2）若MB＝6，⊙O的直径为10，求sin∠ADP的值．     3．如图．点C、D是以AB为直径的半圆O上的两点，已知AB＝10，tan∠ABC＝．∠ABD＝45°．（1）求AC的长：（2）求∠DCB的度数；（3）求DC的长．    4．如图1．已知⊙O的半径长为3，点A是⊙O上一定点，点P为⊙O上不同于点A的动点．（1）当tanA＝时，求AP的长；（2）如果⊙Q过点P、O．且点Q在直线AP上（如图2），设AP＝x，QP＝y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围，       5．已知AB是⊙O的直径，C，D，E是半圆上三点，且AC＝CD，DE＝BE．（1）如图1，求证：；（2）如图2，若AC＝1，BE＝，求cos∠ABE的值．  6．如图，AB是⊙O的直径，CE⊥AB于E，弦AD交CE延长线于点F，CF＝AF．（1）求证：＝；（2）若BC＝8，tan∠DAC＝，求⊙O的半径．  7．如图，点D是⊙O上一点，直线AE经过点D，直线AB经过圆心O，交⊙O于B，C两点，CE⊥AD，垂足为点E，交⊙O于点F，∠BCD＝∠DCF．（1）求∠A+∠BOD的度数；（2）若sin∠DCE＝，⊙O的半径为5．求线段AB的长．8．【问题学习】小芸在小组学习时问小娟这样一个问题：已知α为锐角，且sinα＝，求sin2α的值；小娟是这样给小芸解的：构造如图1所示的图形，在⊙O中，AB是直径，点C在⊙O上，所以∠ACB＝90°，作CD⊥AB于D．设∠BAC＝α，则sinα＝＝，则AB＝3x，…．【问题解决】（1）请按照小娟的思路，利用图1求出sin2α的值；（写出完整的解答过程）（2）如图2，已知点M，N，P为⊙O上的三点，且∠P＝β，sinβ＝，求sin2β的值．   9．已知在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC于D，BC于E，连接ED．（1）求证：ED＝EC；（2）若CD＝3，EC＝2，求AB的长．      10．如图AB为⊙O的直径，C为⊙O上半圆的一个动点，CE⊥AB于点E，∠OCE的角平分线交⊙O于D点．（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置会变吗？请说明理由；（2）若⊙O的半径为5，弦AC的长为6，连接AD，求线段AD、CD的长．                参考答案1．（1）证明：∵AB是圆的直径，∴∠ADB＝90°，∵OC∥BD，∴∠AFO＝∠ADB＝90°，∴OC⊥AD∴＝． （2）解：连接AC，如图，∵＝，∴∠CAD＝∠ABC，∵∠ECA＝∠ACB，∴△ACE∽△BCA，∴，∴AC2＝CE•CB，即AC2＝1×（1+3），∴AC＝2，∵AB是圆的直径，∴∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝2，∴⊙O的半径为．2．（1）证明：∵PB＝PM，∴∠PMB＝∠PBM，∵∠PBM＝∠D，∴∠PMB＝∠D，∴AD∥BM． （2）解：连接OB，设OC＝x，BC＝y，∵MN⊥AB，∴∠BCO＝∠BCM＝90°，则有，解得x＝，∴MC＝5﹣＝，由（1）可知，∠ADP＝∠ABM，∴sin∠ADP＝sin∠ABM＝＝＝．3．解：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵tan∠ABC＝＝，∴可以假设AC＝3k，BC＝4k，则有25k2＝100，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AC＝6，BC＝8． （2）连接AD．∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵∠ABD＝45°，∴∠DAB＝45°，∴∠DCB＝∠DAB＝45°． （3）过点B作BT⊥CD交CD的延长线于T．∵BC＝8，∠TCB＝∠TBC＝45°，∴TC＝TB＝4，∵∠ABD＝∠CBT＝45°，∴∠ABC＝∠DBT，∵∠ACB＝∠T＝90°，∴△ABC∽△DBT，∴＝，∴＝，∴DT＝3，∴CD＝CT﹣DT＝．4．解：（1）如图1，过点P作PB⊥OA交AO的延长线于B，连接OP，设PB＝a，∵tanA＝，∴AB＝2a，∴OB＝AB﹣OA＝2a﹣3，在Rt△POB中，PB2+OB2＝OP2，即a2+（2a﹣3）2＝32，解得a1＝，a2＝0（舍去），∴AB＝2×＝，在Rt△ABP中，AP＝＝＝． （2）连接OP、OQ，则AO＝PO，PQ＝OQ，∴∠P＝∠A，∠POQ＝∠P，∴∠P＝∠POQ＝∠A，∴△AOP∽△PQO，∴＝，即＝，整理得，y＝，∵⊙O的半径为3，点P不同于点A，∴0＜x≤6；∴y＝（0＜x≤6）．5．解：（1）连OC、OE．∵AC＝CD，ED＝EB，∴＝，＝，∴+＝+∴∠COE＝90°，∴AB＝2OE＝2×CE＝CE． （2）连AE、BC交于点F，则∠ACB＝∠AEB＝90°，∵∠CAE＝45°，∠CBE＝45°，∴CF＝AC＝1，EF＝BE＝，∴AF＝AC＝，∴AE＝2，∴AB＝，∴cos∠ABE＝．6．（1）证明：延长CF交⊙O于H，连接AH，∵CE⊥AB，∴＝，∵CF＝AF，∴∠FAC＝∠FCA，∴＝，∴＝；（2）解：∵＝，∴∠B＝∠DAC，∴tanB＝，即＝，解得，AC＝4，∴AB＝＝4，∴⊙O的半径为4．7．解：（1）∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠BCD＝∠DCF，∴∠ODC＝∠DCF，∴OD∥CE，∵CE⊥AD，∴OD⊥AD，∴∠A+∠BOD＝90°； （2）连接BD，如图．∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∵∠BCD＝∠DCF，sin∠DCE＝，∴sin∠BCD＝＝，∵⊙O的半径为5，∴BC＝10，∴BD＝6，∴CD＝＝8．在Rt△DCE中，sin∠DCE＝＝，∴DE＝，∴EC＝．∵DO∥EC，∴＝，即＝，∴AB＝．8．解：（1）作CD⊥AB于D．如图1，设∠BAC＝α，则sinα＝＝，设BC＝x，则AB＝3x，在Rt△ABC中，AC＝，又∵AC×BC＝AB×CD∴CD＝，∴sin∠COD＝sin2α＝；（2）如图2，作直径NQ，连接NO，连接MQ，MO，过点M作MR⊥NQ于点R，∵NQ为直径，∴∠NMQ＝90°．∵∠Q＝∠P＝β，∴∠MON＝2∠Q＝2β，在Rt△QMN中，∵sinβ＝，∴设MN＝3k，则NQ＝5k，易得OM＝NQ＝．∴MQ＝，∵MN×MQ＝NQ×MR∴MR＝，在Rt△MRO中，sin2β＝sin∠MON＝．9．解：（1）∵∠EDC+∠EDA＝180°、∠B+∠EDA＝180°，∴∠B＝∠EDC，又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠EDC＝∠C，∴ED＝EC； （2）连接AE，∵AB是直径，∴AE⊥BC，又∵AB＝AC，∴BC＝2EC＝4，∵∠B＝∠EDC、∠C＝∠C，∴△ABC∽△EDC，∴AB：EC＝BC：CD，又∵EC＝2、BC＝4、CD＝3，∴AB＝8．10．解：（1）当C点在⊙O上半圆移动时，D点位置不会变；理由如下：连接OD．∵CD平分∠OCE，∴∠1＝∠3，而OC＝OD，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠3，∴CE∥OD，∵CE⊥AB，∴OD⊥AB，∴＝，即点D为半圆AB的中点． （2）∵在直角△AOD中，OA＝OD＝5，∴AD＝5．过点A作CD的垂线，垂足为G，∵∠ACD＝∠AOD＝45°，∴△AGC是等腰直角三角形，∵AC＝6，∴AG＝CG＝3．在直角△AGD中，DG＝＝4，∴CD＝CG+DG＝3+4＝7，∴线段AD的长度为5，线段CD的长度为7．