微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（四）

微专题：圆之圆周角定理解答题专项——2021年中考数学分类专题提分训练（四）  1．在⊙O中，AB是⊙O直径，AC是弦，∠BAC＝50°．（Ⅰ）如图（1），D是AB上一点，AD＝AC，延长CD交⊙O于点E，求∠CEO的大小；（Ⅱ）如图（2），D是AC延长线上一点，AD＝AB，连接BD交⊙O于点E，求∠CEO的大小．   2．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF＝AE，连接FB，FC．（1）求证：四边形ABFC是菱形；（2）若AD＝7，BE＝2，求半圆和菱形ABFC的面积．      3．如图，在⊙O中，AB是⊙O的弦，CD是⊙O的直径，且AB⊥CD，垂足为G，点E在劣弧上，连接CE．（1）求证：CE平分∠AEB；（2）连接BC，若BC∥AE，且CG＝4，AB＝6，求BE的长．  4．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，OD⊥AC，垂足为E，连接BD．（1）求证：BD平分∠ABC；（2）当∠ODB＝30°，BC＝，求⊙O的半径． 5．已知，△ABC中，∠A＝68°，以AB为直径的⊙O与AC，BC的交点分别为D，E（Ⅰ）如图①，求∠CED的大小；（Ⅱ）如图②，当DE＝BE时，求∠C的大小．6．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，⊙O经过点A和点B，与斜边BC交于点P（不与B、C重合），PE是⊙O的直径，连接AE，BE．（1）求证：AP＝AE；（2）若PE＝4，求PC2+PB2的值．   7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，D是BC边上一点，以DB为直径的⊙O经过AB的中点E，交AD的延长线于点F，连结EF．（1）求证：DA＝DB，∠1＝∠F．（2）若sinB＝，EF＝2，求CD的长． 8．如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10，弦CD⊥AB于点E，G是弧AC上任意一点，延长AG，与DC的延长线交于点F，连接AC，BC，DG．（1）求证：∠ACG＝∠F；（2）若tan∠BAC＝，，求DG的长．9．如图所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB⊥CD于点E，连接AC、OC、BC．（1）求证：∠ACO＝∠BCD；（2）若EB＝8，CD＝24，求⊙O的直径．   10．已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG＝∠EBG；（2）若sin∠CAB＝，求的值．        参考答案1．解：（Ⅰ）∵AD＝AC，∠A＝50°，∴∠C＝∠ADC＝65°，∴∠ADE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣65°＝115°∵∠AOE＝2∠C＝130°，∴∠CEO＝∠AOE﹣∠ADE＝130°﹣115°＝15°（Ⅱ）∵AD＝AB，∠A＝50°∴∠D＝∠B＝65°，∵OB＝OE，∴∠OEB＝∠B＝65°，∵四边形ABEC是圆内接四边形，∴∠BEC＝180°﹣∠A＝130°∴∠CEO＝∠CEB﹣∠OEB＝130°﹣65°＝65°2．（1）证明：∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴AE⊥BC，∵AB＝AC，∴BE＝CE，∵AE＝EF，∴四边形ABFC是平行四边形，∵AC＝AB，∴四边形ABFC是菱形． （2）设CD＝x．连接BD．∵AB是直径，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴AB2﹣AD2＝CB2﹣CD2，∴（7+x）2﹣72＝42﹣x2，解得x＝1或﹣8（舍弃）∴AC＝8，BD＝＝，∴S菱形ABFC＝8．∴S半圆＝•π•42＝8π．3．（1）证明：∵CD⊥AB，CD是直径，∴＝．∴∠AEC＝∠BEC；∴CE平分∠AEB；（2）解：∵CD⊥AB，∴BG＝AG＝3．∠BGC＝90°，在Rt△BGC中，∵CG＝4，BG＝3，∴BC＝5，∵BC∥AE，∴∠AEC＝∠BCE．又∠AEC＝∠BEC，∴∠BCE＝∠BEC∴BE＝BC＝5．4．（1）证明：∵OD⊥AC，∴弧CD＝弧AD，∴∠CBD＝∠DBA，∴BD平分∠ABC； （2）解：∵OD＝OB，∴∠OBD＝∠ODB＝30°，∴∠ABC＝60°，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，在Rt△ABC中，∠A＝30°，BC＝，∴AB＝2BC＝2，∴⊙O的半径为．5．解：（Ⅰ）∵四边形ABED 圆内接四边形，∴∠A+∠DEB＝180°，∵∠CED+∠DEB＝180°，∴∠CED＝∠A，∵∠A＝68°，∴∠CED＝68°． （Ⅱ）连接AE．∵DE＝BE，∴＝∴∠DAE＝∠EAB＝∠CAB＝34°，∵AB是直径，∴∠AEB＝90°，∴∠AEC＝90°，∴∠C＝90°﹣∠DAE＝90°﹣34°＝56°6．（1）证明：∵PE是直径，∴∠EBP＝90°，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠ABC＝45°，∴∠ABE＝∠ABC＝45°，∴＝，∴AE＝AP． （2）解：作PM⊥AC于M，PN⊥AB于N．∵∠MAN＝∠AMP＝∠ANP＝90°，∴四边形AMPN是矩形，∴AN＝PM，∵∠PBN＝∠PCM＝45°，∴△PBN，△PCM都是等腰直角三角形，∴PC2+PB2＝2PN2+2PM2＝2（AN2+PN2）＝2PA2，∵PE是直径，PE＝4，∴∠EAP＝90°，∴2AP2＝16，∴PC2+PB2＝16．7．解：（1）证明：连接DE，∵BD是⊙O的直径，∴∠DEB＝90°，∵E是AB的中点，∴DA＝DB，∴∠1＝∠B，∵∠B＝∠F，∴∠1＝∠F； （2）∵∠1＝∠F，∴AE＝EF＝2 ，∴AB＝2AE＝4 ，在Rt△ABC中，AC＝AB•sinB＝4，∴BC＝＝8，设CD＝x，则AD＝BD＝8﹣x，∵AC2+CD2＝AD2，即42+x2＝（8﹣x）2，∴x＝3，即CD＝3．8．（1）证明：∵AB是直径，AB⊥CD，∴＝，∴∠ADC＝∠ACD，∵∠FGC+∠AGC＝180°，∠ADC+∠AGC＝180°，∴∠FGC＝∠ADC＝∠ACD，∵∠DCG＝∠GCA+∠ACD＝∠FGC+∠F，∴∠ACG＝∠F． （2）解：如图2中，连接OG，作GH⊥DF于H．∵AB＝10，tan∠BAC＝＝，∴BC＝2，AC＝4，∵AB⊥CD，∴DE＝CE＝＝4，∴BE＝＝2，OE＝3，∵＝，∴OG⊥AB，∴∠GOE＝∠OEH＝∠GHE＝90°，∴四边形OEHG是矩形，GH＝OE＝3，OG＝EH＝5，DH＝9，在Rt△DGH中，DG＝＝＝3．9．（1）证明：∵AB⊥CD，∴，∴∠A＝∠BCD，∵OA＝OC，∴∠A＝∠ACO，∴∠ACO＝∠BCD； （2）解：设⊙O的半径为r，则OC＝r，OE＝OA﹣BE＝r﹣8，∵AB⊥CD，∴CE＝DE＝CD＝×24＝12，在Rt△OCE中，122+（r﹣8）2＝r2，解得r＝13，∴⊙O的直径＝2r＝26．10．证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB＝∠CGB＝90°．∴∠CAB＝∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB＝∠ACE．∴∠BCG＝∠ACE又∵∠ACE＝∠EBG∴∠BCG＝∠EBG，（2）∵sin∠CAB＝，∴，由（1）知，∠HBG＝∠EBG＝∠ACE＝∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG＝∠CAB在Rt△BCG中，．设GH＝a，则GB＝2a，CG＝4a．CH＝CG﹣HG＝3a，∵EC∥AB，∴∠ECH＝∠BGH，∠CEH＝∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．