高中数学人教版新课标A必修13.2.2函数模型的应用实例教学设计

§3.2.2函数模型的应用实例（Ⅲ）

一、教学目标

1、知识与技能  能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。

2、过程与方法  体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法，体会函数拟合的思想方法。

3、情感、态度、价值观  深入体会数学模型在现实生产、生活及各个领域中的广泛应用及其重要价值。

二、教学重点、难点：

重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。

难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。

三、学法与教学用具

1、学法：学生自查阅读教材，尝试实践，合作交流，共同探索。

2、教学用具：多媒体

四、教学设想

（一）创设情景，揭示课题

2003年5月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立非典流行趋势预测与控制策略数学模型”研究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于5月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参考的应用软件。

这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算仿真，结果指出，将患者及时隔离对于抗击非典至关重要、分析报告说，就全国而论，菲非典病人延迟隔离1天，就医人数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人中包含一个病人和一个潜伏病人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示采取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。

这项研究在充分考虑传染病控制中心每日工资发布的数据，建立了非典流行趋势预测动力学模型和优化控制模型，并对非典未来的流行趋势做了分析预测。

本例建立教学模型的过程，实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。

（二）尝试实践  探求新知

例1．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表

（身高：cm；体重：kg）

1） 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。

2）若体重超过相同身高男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm ，体重为78kg的在校男生的体重是事正常？

探索以下问题：

1）借助计算器或计算机，根据统计数据，画出它们相应的散点图；

2）观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图象较为接近？

3）你认为选择何种函数来描述这个地区未成年男性体重与身高的函数关系比较合适？

4）确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价.

5）怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？

本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计算器或计算机画图，帮助判断.

根据散点图，利用待定系数法确定几种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函数模型.在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测. 此外，注意引导学生体会本例所用的数学思想方法.

例2. 将沸腾的水倒入一个杯中，然后测得不同时刻温度的数据如下表：

1）描点画出水温随时间变化的图象；

2）建立一个能基本反映该变化过程的水温（℃）关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出的图象的吻合程度如何.

3）水杯所在的室内温度为18℃，根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会降到10℃？对此结果，你如何评价？

本例意图是引导学生进一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成或合作交流讨论.

课堂练习：某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1 .2万件、1.3万件、1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产品时，接收定单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？

探索过程如下：

1）首先建立直角坐标系，画出散点图；

2）根据散点图设想比较接近的可能的函数模型：

一次函数模型：

二次函数模型：

幂函数模型：

指数函数模型：（＞0，）

利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定.

（三）归纳小结，巩固提高.

通过以上三题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基本过程如下：

符合

实际

                   不符合实际

（四）布置作业：

作业：教材P107习题32（B组）第1、2题：