高中数学人教版新课标A必修12.1.1指数与指数幂的运算教案

2.1.1（2）指数与指数幂的运算（教学设计）

内容：分数指数幂

一、教学目标

（一）知识目标

（1）理解根式的概念及其性质，能根据性质进行简单的根式计算。

　　（2）理解掌握分数指数幂的意义并能进行基本的运算。

（二）能力目标

（1）学生能进一步认清各种运算间的联系，提高归纳，概括的能力．

（2）让学生了解由特殊到一般的解决问题的方法，渗透分类讨论的思想．

（3）训练学生思维的灵活性

（三）德育目标

（1）激发学生自主学习的兴趣

（2）养成良好的学习习惯

教学重点： 次方根的概念及其取值规律。

教学难点：分数指数幂的意义及其运算根据的研究。

教学过程：

一、复习回顾，新课引入：

 指数与其说它是一个概念，不如说它是一种重要的运算，且这种运算在初中曾经学习过，今天只不过把它进一步向前发展。引导学生回顾指数运算的由来，是从乘方而来，因此最初指数只能是正整数，同时引出正整数指数幂的定义。 ．然后继续引导学生回忆零指数幂和负整数指数幂的定义，分别写出 及 ，同时追问这里 的由来。

二、师生互动，新课讲解：

1.分数指数幂

看下面的例子：

当时，

（1），又，所以；

（2），又，所以．

从上面的例子，我们看到，当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式．

那么，当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式呢？

根据次方根的定义，规定正数的正分数指数幂的意义是：（，）．

的正分数指数幂等于, 的负分数指数幂无意义.

由于分数有既约分数和非既约分数之分，因此当时，应当遵循原来的运算顺序，通常不写成分数指数幂形式．

例如：，而．

规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数．

整数指数幂的运算性质对于分数指数幂即有理数指数幂同样适用．

联系并指出整数指数幂的运算性质对有理指数幂仍然适用

(1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q)

(2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q)

(3)(ab)r=arbr(a>0,b>0, r,∈Q)

3．分数指数幂与根式的表示方法之间关系。

（1）   规定正数的正分数指数幂的意义是：

          （a>0，m,nN+，且n>1）

（2）   规定正数的负分数指数幂的意义是：

          （a>0，m,nN+，且n>1）

（3）   特别指出分数指数幂的底数a、m、n的取值只需式子有意义即可。

例1（课本P51例2）：求值：

；；；

变式训练1： 求下列各式的值：

（1）；    （2）； （3）；  （4）．

解 (１) ；

（2）；

（3）； 

（4）．

例2（课本P51例3）用分数指数幂的形式表示下各式（其中a>0）

；；

例3（课本P52例4）：计算下列各式（式中字母都是正数）

（1）        （2）

（先由学生观察以上两个式子的特征，然后分析、提问、解答）

分析：四则运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号的. 整数幂的运算性质及运算规律扩充到分数指数幂后，其运算顺序仍符合我们以前的四则运算顺序.

我们看到（1）小题是单项式的乘除运算；（2）小题是乘方形式的运算，它们应让如何计算呢？

其实，第（1）小题是单项式的乘除法，可以用单项式的运算顺序进行.

第（2）小题是乘方运算，可先按积的乘方计算，再按幂的乘方进行计算.

解：（1）原式= =  =4

    （2）原式=  =

例4：（课本P52例5）计算下列各式

（1）         （2）＞0）

分析：在第（1）小题中，只含有根式，且不是同类根式，比较难计算，但把根式先化为分数指数幂再计算，这样就简便多了，同样，第（2）小题也是先把根式转化为分数指数幂后再由运算法则计算.

解：（1）原式=

            =

            =

            =

            =

（2）原式=

小结：运算的结果不强求统一用哪一种形式表示，但不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母，又含有负指数.

课堂练习：（课本P54练习NO：1；2；3）

三、课堂小结，巩固反思：

1.这堂课的主要内容是什么？

 2.做指数运算时有什么需要注意的地方？

这节课我们学习了指数幂的定义，性质以及一些运算。在学习中，我们应当逐步深入，领悟从整数到根式再到分数的导出过程，理解由特殊到一般的研究方法，在有关活动中发展学生的探索意识和合作交流的习惯。

四、布置作业

A组：

1、（课本P59习题2.1 A组：NO：2（1）（2）（3））

2、（课本P59习题2.1 A组：NO：4（1）~（8））

3、(tb0112901)下列等式中正确的是（D）

(A)  -=(-x) (x0)       (B) x= -  

(C) (y<0)         (D)   (xy0)

4、(tb0112902)下列各式成立的是（A）。

(A)   (B)   (C) (  (D)

5、(tb0112911)化简(a>0,b>0)的结果是（C）。

(A)   (B) -   (C)     (D) -

6、(tb0113012) (a>0,b>0)化简得（C）。

(A)    (B)  (C)    (D)

B组：

1、（课本P59习题 2.1  B组：NO：2）