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    人教A版数学必修三1-3算法案例(秦九韶算法) 教案
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    高中第一章 算法初步1.1 算法与程序框图1.1.2程序框图和算法的逻辑结构教学设计

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    这是一份高中第一章 算法初步1.1 算法与程序框图1.1.2程序框图和算法的逻辑结构教学设计,共5页。

      案例2  秦九韶算法

    (一)导入新课

        思路1(情境导入)

        大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1x=5时的值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算法.

        思路2(直接导入)

        前面我们学习了辗转相除法与更相减损术, 今天我们开始学习秦九韶算法.

     

    (二)推进新课新知探究提出问题

    1)求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1x=5时的值有哪些方法?比较它们的特点.

    2)什么是秦九韶算法?

    3)怎样评价一个算法的好坏?

    讨论结果:

    1)怎样求多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1x=5时的值呢?

        一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时,我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.

        另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2·x,(x2·x·x,((x2·x·x·x的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加法运算.

        第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法,计算机能更快地得到结果.

    2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202~1261)在他的著作《数书九章》中提出了下面的算法:

        把一个n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0改写成如下形式:

    f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0

    =anxn-1+an-1xn-2+…+a1x+ a0

    =((anxn-2+an-1xn-3+…+a2x+a1)x+a0

    =…

    =((anx+an-1x+an-2x+…+a1x+a0.

    求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即

    v1=anx+an-1

    然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即

    v2=v1x+an-2

    v3=v2x+an-3

    vn=vn-1x+a0

    这样,求n次多项式fx)的值就转化为求n个一次多项式的值.

    上述方法称为秦九韶算法.直到今天,这种算法仍是多项式求值比较先进的算法.

    3)计算机的一个很重要的特点就是运算速度快,但即便如此,算法好坏的一个重要标志仍然是运算的次数.如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数,那么这样的算法就只能是一个理论的算法.

     

    (三)应用示例

    1  已知一个5次多项式为fx=5x5+2x4+3.5x3-2.6x2+1.7x-0.8

        用秦九韶算法求这个多项式当x=5时的值.

    解:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

    f(x)=(((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7) x-0.8

    按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=5时的值:

    v0=5

    v1=5×5+2=27;

    v2=27×5+3.5=138.5;

    v3=138.5×5-2.6=689.9;

    v4=689.9×5+1.7=3 451.2;

    v5=3 415.2×5-0.8=17 255.2;

    所以,当x=5时,多项式的值等于17 255.2.

    算法分析:观察上述秦九韶算法中的n个一次式,可见vk的计算要用到vk-1的值,若令v0=an,我们可以得到下面的公式:

    这是一个在秦九韶算法中反复执行的步骤,因此可用循环结构来实现.

    算法步骤如下:

    第一步,输入多项式次数n、最高次的系数anx的值.

    第二步,将v的值初始化为an,将i的值初始化为n-1.

    第三步,输入i次项的系数ai.

    第四步v=vx+ai,i=i-1.

    第五步,判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.

    程序框图如下图

    程序

    INPUT “n=”n

    INPUT “an=”a

    INPUT “x=”x

    v=a

    i=n-1

    WHILE i=0

      PRINT “i=”i

      INPUT “ai=”a

      v=v*x+a

      i=i-1

    WEND

    PRINT v

    END

    点评:本题是古老算法与现代计算机语言的完美结合,详尽介绍了思想方法、算法步骤、程序框图和算法语句,是一个典型的算法案例.

    变式训练

        请以5次多项式函数为例说明秦九韶算法,并画出程序框图.

    解:fx=a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0

    首先,让我们以5次多项式一步步地进行改写:

    fx=a5x4+a4x3+a3x2+a2x+a1x+a0

    =((a5x3+a4x2+ a3x+a2x+a1x+a0

    =(((a5x2+a4x+ a3x+a2x+a1x+a0

    =((((a5x+a4x+ a3x+a2x+a1x+a0.

    上面的分层计算,只用了小括号,计算时,首先计算最内层的括号,然后由里向外逐层计算,直到最外层的括号,然后加上常数项即可.

    程序框图如下图:

     

    2  已知n次多项式Pn(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an,如果在一种算法中,计算k=234n)的值需要k1次乘法,计算P3(x0)的值共需要9次运算(6次乘法,3次加法),那么计算P10(x0)的值共需要__________次运算.下面给出一种减少运算次数的算法:P0(x)=a0,Pk+1(x)=xPk(x)+ak+1k012n1).利用该算法,计算P3(x0)的值共需要6次运算,计算P10(x0)的值共需要___________次运算.

    答案:65  20

    点评:秦九韶算法适用一般的多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0的求值问题.直接法乘法运算的次数最多可到达,加法最多n.秦九韶算法通过转化把乘法运算的次数减少到最多n次,加法最多n.

     

    3  已知多项式函数f(x)=2x55x44x3+3x26x+7,求当x=5时的函数的值.

    解析:把多项式变形为:f(x)=2x55x44x3+3x26x+7

    =((((2x5)x4)x+3)x6)x+7.

    计算的过程可以列表表示为:

    最后的系数2 677即为所求的值.

    算法过程:

    v0=2

    v1=2×55=5

    v2=5×54=21

    v3=21×5+3=108

    v4=108×56=534

    v5=534×5+7=2 677.

    点评:如果多项式函数中有缺项的话,要以系数为0的项补齐后再计算.

     

    (四)知能训练

    x=2时,用秦九韶算法求多项式f(x)=3x5+8x4-3x3+5x2+12x-6的值.

    解法一:根据秦九韶算法,把多项式改写成如下形式:

    f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12x-6.

    按照从内到外的顺序,依次计算一次多项式当x=2时的值.

    v0=3;

    v1=v0×2+8=3×2+8=14;

    v2=v1×2-3=14×2-3=25;

    v3=v2×2+5=25×2+5=55;

    v4=v3×2+12=55×2+12=122;

    v5=v4×2-6=122×2-6=238.

    ∴当x=2时,多项式的值为238.

    解法二:f(x)=((((3x+8)x-3)x+5)x+12x-6

    f(2)=((((3×2+8)×23)×2+5)×2+12)×26238

     

    (五)拓展提升

        用秦九韶算法求多项式f (x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+xx=3时的值.

    解:f(x)=((((((7x+6)+5)x+4)x+3)x+2)x+1)x

    v0=7

    v1=7×3+6=27

    v2=27×3+5=86

    v3=86×3+4=262

    v4=262×3+3=789

    v5=789×3+2=2 369

    v6=2 369×3+1=7 108

    v7=7 108×3+0=21 324.

    f(3)=21 324.

     

    (六)课堂小结

    1.秦九韶算法的方法和步骤.

    2.秦九韶算法的计算机程序框图.

     

    (七)作业

    已知函数f(x)=x32x25x+8,f(9)的值.

    解:f(x)=x32x25x+8=(x22x5)x+8=((x2)x5)x+8

    f(9)=((92)×95)×9+8=530.

     

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