高中数学人教版新课标A选修1-12.3抛物线教学设计

教学环节

教学活动

设计意图

一、复习引入

通过离心率的填空引出抛物线。引起学生的兴趣。

二、抛物线的几何性质

    引导学生填写表格。通过对比，让学生掌握抛物线的四种图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程。

三、例题讲解

例1 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点A（4,2），求这条抛物线的准线方程。

解：⑴若抛物线开口向右，

设抛物线的标准方程为

　　　∵   

∴　　　　　　　

　　　∴抛物线的标准方程为

⑵若抛物线开口向上，

设抛物线的标准方程为

　　　∵    

∴　　　　　　　

　　　∴抛物线的标准方程为

例2  汽车前灯反射镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反射镜的轴垂直，灯泡位于抛物线焦点处。已知灯口的直径是24cm，灯深10cm，那么灯泡与反射镜的顶点距离是多少？

让学生运用抛物线的几何性质，写出符合条件的抛物线的准线方程。

三、例题讲解

分析：依标准方程特点和几何性质建系，由待定系数法求解，强调方程的完备性。

解：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立直角坐标系，使反光镜的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合， 轴垂直于灯口直径．

　　抛物线的标准方程为，由已知条件可得点 的坐标是（40，30）且在抛物线上，代入方程得： ，

所以所求抛物线的标准方程为，焦点坐标是 .

例3 过抛物线的焦点F任作一条直线m，交这抛物线于A、B两点，

求证：以AB为直径的圆和这抛物线的准线相切．

分析：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．

证明：如图．设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则

｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜

∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝｜AD｜＋｜BC｜＝2｜EH｜

所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥l，

因而圆E和准线相切．

运用抛物线的几何性质解决现实生活中的问题，提高学生学习数学的兴趣和综合解题能力。

四、巩固练习

1．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，如果，那么=（ B ）

（A）10     （B）8       （C）6      （D）4

2．已知为抛物线上一动点，为抛物线的焦点，定点，则的最小值为（ B ）

（A）3      （B）4       （C）5      （D）6

3．过抛物线的焦点作直线交抛物线于、两点，若线段、的长分别是、，则=（ C ）

（A）      （B）       （C）    （D）

4．过抛物线焦点的直线它交于、两点，则弦的中点的轨迹方程是

5.定长为的线段的端点、在抛物线上移动，求中点到轴距离的最小值，并求出此时中点的坐标

（答案：  , M到轴距离的最小值为）

6. 已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离等于5，求抛物线的方程和m的值．

解法一：由焦半径关系，设抛物线方程为y2=-2px(p＞0)，则准线方

因为抛物线上的点M(-3，m)到焦点的距离|MF|与到准线的距离

得p=4．

因此，所求抛物线方程为y2=-8x．

又点M(-3，m)在此抛物线上，故m2=-8(-3)．

解法二：由题设列两个方程，可求得p和m．由题意

在抛物线上且|MF|=5，故

分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。

由学生演板．

五、课后练习

1．根据下列条件，求抛物线的方程，并画出草图．

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于8．

（2）顶点在原点，焦点在y轴上，且过P（4，2）点．

（3）顶点在原点，焦点在y轴上，其上点P（m，－3）到焦点距离为5．

2．过抛物线焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，若A、B在准线上的射影是A2，B2，则∠A2FB2等于　　　　　　　

3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．

4．以椭圆的右焦点，F为焦点，以坐标原点为顶点作抛物线，求抛物线截椭圆在准线所得的弦长．

5．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？

6．已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点,其上一点M(2,m)到焦点的距离等于3,求抛物线方程及m值。

习题答案：

1．（1）y2＝±32x  （2）x2＝8y  （3）x2＝－8y 

2．90°　　　3．x2＝±16 y 　　　4．

5．米　　　6．y2=4x,   m=或

课后练习注意分层训练，让学生牢牢掌握抛物线的几何性质。