天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷(解析版)
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天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷
一、选择题(本大题共9小题)
- 已知集合0,1,,,则
A. B. C. 0, D. 1,
- 设、都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是
A. B.
C. D. 且
- 函数的定义域为
A. B.
C. D.
- 已知点,点,向量,若,则实数y的值为
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
- 如果函数的图象关于点中心对称,那么的最小值为
A. B. C. D.
- 设,则
A. B. C. D.
- 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增
- 已知等差数列的前n项和为,,,则数列的前100项和为
A. B. C. D.
- 已知是定义在R上周期为2的偶函数,且当时,,则函数的零点个数是
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二、填空题(本大题共6小题)
- 已知集合1,,则集合中元素的个数是______ .
- 设a,,为虚数单位,则的值为______.
- 若数列的前n项和,则此数列的通项公式为______.
- 设曲线在点处的切线方程为,则______.
- 已知,,且,则xy的最小值为______.
- 如图,在中,,,,D,E分别是边AB,AC上的点,,且,则______,若P是线段DE上的一个动点,则的最小值为______.
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三、解答题(本大题共5小题)
- 等比数列中,已知,.
求数列的通项公式;
若,分别是等差数列的第4项和第16项,求数列的通项公式及前n项和.
- 在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,已知,,,.
Ⅰ求b和sinA的值;
Ⅱ求的值.
- 已知函数在区间上有最大值4和最小值1,设.
Ⅰ求a、b的值;
Ⅱ若不等式在上恒成立,求实数k的取值范围.
- 设是等比数列,公比大于0,其前n项和为,是等差数列.已知,,,.
Ⅰ求和的通项公式;
Ⅱ设数列的前n项和为,
求;
证明
- 设函数,为的导函数.
Ⅰ求的单调区间;
Ⅱ当时,证明;
Ⅲ设为函数在区间内的零点,其中,证明.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了交集及其运算,考查学生的计算能力,属于基础题.
解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可.
【解答】
解:,0,1,,
,
故选A.
2.【答案】C
【解析】解:与共线且同向且,
故选C.
利用向量共线的充要条件,求已知等式的充要条件,进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件
本题主要考查了向量共线的充要条件,命题的充分和必要性,属基础题.
3.【答案】C
【解析】解:要使函数有意义,则,
即或,
解得或,
即函数的定义域为,
故选:C.
根据函数出来的条件,建立不等式即可求出函数的定义域.
本题主要考查函数定义域的求法,根据对数函数的性质是解决本题的关键,比较基础.
4.【答案】C
【解析】解:
故选:C.
利用向量的坐标公式求出的坐标,利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘相等,列出方程,求出y的值.
解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线,利用向量共线的充要条件找等量关系;两个向量共线的充要条件是:坐标交叉相乘相等.
5.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查余弦函数的对称性.属基础题.
先根据函数的图象关于点中心对称,令代入函数使其等于0,求出的值,进而可得的最小值.
【解答】
解:函数的图象关于点中心对称.
由此易得.
故选A.
6.【答案】C
【解析】解:,
,即
且,即
,即
故
故选C
由已知中,由指数函数的单调性和对数函数的单调性,我们可以判断出a,b,c与0,1的大小关系,进而得到答案.
本题考查的知识点是对数的运算性,指数函数的单调性和对数函数的单调性,其中根据指数函数的单调性和对数函数的单调性,判断出a,b,c与0,1的大小关系,是解答本题的关键.
7.【答案】A
【解析】解:把函数的图象向右平移个单位长度,
得到的图象所对应的函数解析式为:
即
当函数递增时,由,得.
取,得.
所得图象对应的函数在区间上单调递增.
故选:A.
直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取即可得到函数在区间上单调递增,则答案可求.
本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足“同增异减”原则,是中档题.
8.【答案】A
【解析】
【分析】
本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础题.
由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求,d,进而可求,代入可得,裂项可求和.
【解答】
解:设等差数列的公差为d,
由题意可得,
解方程可得,,
由等差数列的通项公式可得,,
,
.
故选A.
9.【答案】D
【解析】解:当时,,函数的周期为2,
时,,
可作出函数的图象;
图象关于y轴对称的偶函数.
函数的零点,即为函数图象交点横坐标,
当时,,此时函数图象无交点,
如图:
又两函数在上有4个交点,由对称性知它们在上也有4个交点,且它们关于直线y轴对称,
可得函数的零点个数为8;
故选:D.
分别作出函数,的图象,结合函数的对称性,利用数形结合法进行求解;
本题主要考查了周期函数与对数函数的图象,数形结合是高考中常用的方法,考查数形结合,本题属于基础题.
10.【答案】5
【解析】解:,,
,,;
,,;
,,;
,,;
,,;
,,;
,,;
,,;
1,;
中元素的个数是5.
故答案为:5.
分别让,1,2,,1,2,求,即可求出集合B的元素,从而得到集合B中元素的个数.
考查描述法表示集合,元素与集合的关系,集合元素的互异性.
11.【答案】8
【解析】解:由题,a,,
所以,,故
故答案为8
由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以,再由进行计算即可得到,再由复数相等的充分条件即可得到a,b的值,从而得到所求的答案
本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握,复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁,解题时要注意运用它进行转化.
12.【答案】
【解析】解:数列的前n项和,
当时,,
当时,,
,
故答案为:.
直接根据时,即可求解结论,注意检验是否成立.
本题考查数列的通项公式的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
13.【答案】3
【解析】解:的导数
,
由在点处的切线方程为,
得,
则.
故答案为:3.
根据导数的几何意义,即表示曲线在处的切线斜率,再代入计算.
本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视.
14.【答案】64
【解析】
【分析】
本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.
利用基本不等式构建不等式即可得出
【解答】
解:,,,
,
,.
当且仅当时取等号.
故xy的最小值为64.
故答案为64.
15.【答案】1
【解析】解:,,
,
,
在中,根据余弦定理得,,
又,,
,,且,
是线段DE上的一个动点,
设,,则,
,
时,取最小值.
故答案为:.
根据,,即可求出,然后根据余弦定理即可求出,从而得出,,且,并据题意设,,从而可得出,然后进行数量积的运算即可得出,从而配方即可求出最小值的大小.
本题考查了向量数量积的运算及计算公式,余弦定理,向量加法和数乘的几何意义,配方求二次函数最值的方法,考查了计算能力,属于中档题.
16.【答案】解:等比数列中,已知,,
,解得,
.
,分别是等差数列的第4项和第16项,
,,
,
解得,,
.
.
【解析】利用等比数列通项公式能求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式.
由等比数列通项公式求出等差数列的第4项和第16项,再由等差数列通项公式求出首项与公差,由此能求出数列的通项公式及前n项和.
本题考查数列的通项公式及前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.
17.【答案】解:Ⅰ在中,,
故由,可得.
由已知及余弦定理,
有,
.
由正弦定理,得.
,;
Ⅱ由Ⅰ及,得,
,.
故
.
【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,同角三角函数关系,考查倍角公式的应用,属于中档题.
Ⅰ由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA;
Ⅱ由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2A,cos2A,展开两角和的正弦得答案.
18.【答案】解:Ⅰ的函数图象开口向上,对称轴为,
在区间上是增函数,
故,即,
解得,.
Ⅱ由已知可得,
不等式在上恒成立,即在上恒成立,
在上恒成立,
令,则恒成立,,
设,则,
.
的取值范围是.
【解析】根据二次函数的性质判断的单调性,根据最值列出方程组解出a,b;
化简不等式,分离参数得在上恒成立,设,利用换元法得出在上的最小值即可得出a的范围.
本题考查了二次函数的性质,函数最值的计算,函数恒成立问题研究,属于中档题.
19.【答案】Ⅰ解:设等比数列的公比为q,由,,可得.
,可得.
故.
设等差数列的公差为d,由,得,
由,得,
.
故;
Ⅱ解:由Ⅰ,可得,
故;
证明:
.
.
【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识,考查利用裂项相消法求和,是中档题.
Ⅰ设等比数列的公比为q,由已知列式求得q,则数列的通项公式可求;等差数列的公差为d,再由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,可得等差数列的通项公式;
Ⅱ由等比数列的前n项和公式求得,再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列的前n项和;
化简整理,再由裂项相消法证明结论.
20.【答案】Ⅰ解:由已知,,因此,
当时,有,得,单调递减;
当时,有,得,单调递增.
的单调增区间为,单调减区间为;
Ⅱ证明:记,依题意及Ⅰ,
有,,
从而
因此,在区间上单调递减,有.
当时,;
Ⅲ证明:依题意,,即,
记,则,且.
由及Ⅰ,得,
由Ⅱ知,当时,,
在上为减函数,
因此,,
又由Ⅱ知,,
故
所以.
【解析】本题主要考查导数的运算,不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和化归与转化思想,考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力,属难题.
Ⅰ求出原函数的导函数,可得当时,,单调递减;当时,,单调递增;
Ⅱ记,依题意及Ⅰ,得到,由,得在区间上单调递减,有,从而得到当时,;
Ⅲ依题意,,即,记,则,且由及Ⅰ,得,由Ⅱ知,当时,在上为减函数,有,又由Ⅱ知,,
得,从而证得.