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    天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷(解析版)

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    天津市河西区2021届高三第一学期期中考试数学试卷

    一、选择题(本大题共9小题

    1. 已知集合01,则

    A.  B.  C. 0 D. 1

    1. 都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是   

    A.  B.
    C.  D.

    1. 函数的定义域为

    A.  B.
    C.  D.

    1. 已知点,点,向量,若,则实数y的值为

    A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

    1. 如果函数的图象关于点中心对称,那么的最小值为

    A.  B.  C.  D.

    1. ,则

    A.  B.  C.  D.

    1. 将函数的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数

    A. 在区间上单调递增 B. 在区间上单调递减
    C. 在区间上单调递减 D. 在区间上单调递增

    1. 已知等差数列的前n项和为,则数列的前100项和为

    A.  B.  C.  D.

    1. 已知是定义在R上周期为2的偶函数,且当时,,则函数的零点个数是

    A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

    二、填空题(本大题共6小题

    1. 已知集合1,则集合中元素的个数是______
    2. a为虚数单位,则的值为______
    3. 若数列的前n项和,则此数列的通项公式为______
    4. 设曲线在点处的切线方程为,则______
    5. 已知,且,则xy的最小值为______
    6. 如图,在中,DE分别是边ABAC上的点,,且,则______,若P是线段DE上的一个动点,则的最小值为______


       

     

     

    三、解答题(本大题共5小题

    1. 等比数列中,已知
      求数列的通项公式
      分别是等差数列的第4项和第16项,求数列的通项公式及前n项和






       
    2. 中,内角ABC所对的边分别为ab已知
         bsinA的值;
         的值.






       
    3. 已知函数在区间上有最大值4和最小值1,设
      ab的值;
      若不等式上恒成立,求实数k的取值范围.






       
    4. 是等比数列,公比大于0,其前n项和为是等差数列.已知
      的通项公式;
      设数列的前n项和为

      证明






       
    5. 设函数的导函数.
      的单调区间;
      时,证明
      为函数在区间内的零点,其中,证明







    答案和解析

    1.【答案】A
     

    【解析】

    【分析】
    本题主要考查了交集及其运算,考查学生的计算能力,属于基础题.
    解一元二次不等式,求出集合B,然后进行交集的运算即可.
    【解答】

    解:01

    故选A


    2.【答案】C
     

    【解析】解:共线且同向
    故选C
    利用向量共线的充要条件,求已知等式的充要条件,进而可利用命题充要条件的定义得其充分条件
    本题主要考查了向量共线的充要条件,命题的充分和必要性,属基础题.
    3.【答案】C
     

    【解析】解:要使函数有意义,则

    解得
    即函数的定义域为
    故选:C
    根据函数出来的条件,建立不等式即可求出函数的定义域.
    本题主要考查函数定义域的求法,根据对数函数的性质是解决本题的关键,比较基础.
    4.【答案】C
     

    【解析】解:
    故选:C
    利用向量的坐标公式求出的坐标,利用向量共线的充要条件:坐标交叉相乘相等,列出方程,求出y的值.
    解决三点共线问题常转化为以三点为始点、终点的两个向量共线,利用向量共线的充要条件找等量关系;两个向量共线的充要条件是:坐标交叉相乘相等.
    5.【答案】A
     

    【解析】

    【分析】
    本题主要考查余弦函数的对称性.属基础题.
    先根据函数的图象关于点中心对称,令代入函数使其等于0,求出的值,进而可得的最小值.
    【解答】

    解:函数的图象关于点中心对称.
    由此易得
    故选A
     


    6.【答案】C
     

    【解析】解:
    ,即
    ,即
    ,即

    故选C
    由已知中,由指数函数的单调性和对数函数的单调性,我们可以判断出abc01的大小关系,进而得到答案.
    本题考查的知识点是对数的运算性,指数函数的单调性和对数函数的单调性,其中根据指数函数的单调性和对数函数的单调性,判断出abc01的大小关系,是解答本题的关键.
    7.【答案】A
     

    【解析】解:把函数的图象向右平移个单位长度,
    得到的图象所对应的函数解析式为:

    当函数递增时,由,得
    ,得
    所得图象对应的函数在区间上单调递增.
    故选:A
    直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取即可得到函数在区间上单调递增,则答案可求.
    本题考查了函数图象的平移,考查了复合函数单调性的求法,复合函数的单调性满足同增异减原则,是中档题.
    8.【答案】A
     

    【解析】

    【分析】
    本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用,及数列求和的裂项求和方法的应用,属于基础题.
    由等差数列的通项公式及求和公式,结合已知可求d,进而可求,代入可得,裂项可求和.
    【解答】
    解:设等差数列的公差为d
    由题意可得,
    解方程可得
    由等差数列的通项公式可得,


    故选A
    9.【答案】D
     

    【解析】解:当时,,函数的周期为2
    时,
    可作出函数的图象;
    图象关于y轴对称的偶函数
    函数的零点,即为函数图象交点横坐标,
    时,,此时函数图象无交点,
    如图:
    又两函数在上有4个交点,由对称性知它们在上也有4个交点,且它们关于直线y轴对称,
    可得函数的零点个数为8
    故选:D
    分别作出函数的图象,结合函数的对称性,利用数形结合法进行求解;
    本题主要考查了周期函数与对数函数的图象,数形结合是高考中常用的方法,考查数形结合,本题属于基础题.
    10.【答案】5
     

    【解析】解:








    1
    中元素的个数是5
    故答案为:5
    分别让1212,求,即可求出集合B的元素,从而得到集合B中元素的个数.
    考查描述法表示集合,元素与集合的关系,集合元素的互异性.
    11.【答案】8
     

    【解析】解:由题,a
    所以,故
    故答案为8
    由题意,可对复数代数式分子与分母都乘以,再由进行计算即可得到,再由复数相等的充分条件即可得到ab的值,从而得到所求的答案
    本题考查复数代数形式的乘除运算,解题的关键是分子分母都乘以分母的共轭,复数的四则运算是复数考查的重要内容,要熟练掌握,复数相等的充分条件是将复数运算转化为实数运算的桥梁,解题时要注意运用它进行转化.
    12.【答案】
     

    【解析】解:数列的前n项和
    时,
    时,

    故答案为:
    直接根据时,即可求解结论,注意检验是否成立.
    本题考查数列的通项公式的求法,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答.
    13.【答案】3
     

    【解析】解:的导数

    由在点处的切线方程为


    故答案为:3
    根据导数的几何意义,即表示曲线处的切线斜率,再代入计算.
    本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视.
    14.【答案】64
     

    【解析】

    【分析】
    本题考查了基本不等式的应用,属于基础题.
    利用基本不等式构建不等式即可得出
    【解答】
    解:


    当且仅当时取等号.
    xy的最小值为64
    故答案为64
    15.【答案】1 
     

    【解析】解:


    中,根据余弦定理得,

    ,且
    是线段DE上的一个动点,
    ,则

    时,取最小值
    故答案为:
    根据即可求出,然后根据余弦定理即可求出,从而得出,且,并据题意设,从而可得出,然后进行数量积的运算即可得出,从而配方即可求出最小值的大小.
    本题考查了向量数量积的运算及计算公式,余弦定理,向量加法和数乘的几何意义,配方求二次函数最值的方法,考查了计算能力,属于中档题.
    16.【答案】解:等比数列中,已知
    ,解得

    分别是等差数列的第4项和第16项,


    解得


     

    【解析】利用等比数列通项公式能求出首项和公差,由此能求出数列的通项公式
    由等比数列通项公式求出等差数列的第4项和第16项,再由等差数列通项公式求出首项与公差,由此能求出数列的通项公式及前n项和
    本题考查数列的通项公式及前n项和的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意等差数列、等比数列的性质的合理运用.
    17.【答案】解:中,
    故由,可得
    由已知及余弦定理,


    由正弦定理,得

    ,得



     

    【解析】本题考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,同角三角函数关系,考查倍角公式的应用,属于中档题.
    由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB,再由余弦定理求得b,利用正弦定理求得sinA
    由同角三角函数基本关系式求得cosA,再由倍角公式求得sin2Acos2A,展开两角和的正弦得答案.
    18.【答案】解:的函数图象开口向上,对称轴为
    在区间上是增函数,
    ,即
    解得
    由已知可得
    不等式上恒成立,即上恒成立,
    上恒成立,
    ,则恒成立,
    ,则

    的取值范围是
     

    【解析】根据二次函数的性质判断的单调性,根据最值列出方程组解出ab
    化简不等式,分离参数得上恒成立,设,利用换元法得出上的最小值即可得出a的范围.
    本题考查了二次函数的性质,函数最值的计算,函数恒成立问题研究,属于中档题.
    19.【答案】解:设等比数列的公比为q,由,可得
    ,可得

    设等差数列的公差为d,由,得
    ,得


    解:由,可得

    证明:


     

    【解析】本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前n项和等基础知识,考查利用裂项相消法求和,是中档题.
    设等比数列的公比为q,由已知列式求得q,则数列的通项公式可求;等差数列的公差为d,再由已知列关于首项与公差的方程组,求得首项与公差,可得等差数列的通项公式;
    由等比数列的前n项和公式求得,再由分组求和及等比数列的前n项和求得数列的前n项和
    化简整理,再由裂项相消法证明结论.
    20.【答案】解:由已知,,因此,
    时,有,得单调递减;
    时,有,得单调递增.
    的单调增区间为,单调减区间为
    证明:记,依题意及

    从而
    因此,在区间上单调递减,有
    时,
    证明:依题意,,即
    ,则,且
    ,得
    知,当时,
    上为减函数,
    因此,

    又由知,

    所以


     

    【解析】本题主要考查导数的运算,不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法,考查函数思想和化归与转化思想,考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力,属难题.
    求出原函数的导函数,可得当时,单调递减;当时,单调递增;
    ,依题意及,得到,由,得在区间上单调递减,有,从而得到当时,
    依题意,,即,记,则,且,得,由知,当时,上为减函数,有,又由知,
    ,从而证得
     

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