北京市第三十一中学2020～2021学年度第一学期高三数学期中试卷 无答案
展开北京三十一中学2020—2021学年度第一学期
高三第一学期期中数学试题
2020.11
班级 姓名 学号 成绩
（本试卷满分150分 考试时间：120分钟）
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每题只有一个正确答案）
1.已知集合，，则( ) | |||
A. | B. | C. | D. |
2. 下列函数中既是偶函数又是上的增函数的是（ ） A. B. C. D. | |||
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3. 如果,那么下列不等式成立的是 A． B． C． D．
| |||
4. 函数的图象可能是（ ）
5.若，则“”是“”的（ ） | |
A. 充分而不必要条件 | B. 必要而不充分条件 |
C. 充分必要条件 | D. 既不充分也不必要条件 |
6. 在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转到点，设直线与轴正半轴所成的最小正角为，则等于
（A） （B） （C） （D）
7． 已知函数，且关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围
A. B. C. D.
8. 在声学中，声强级（单位：）由公式给出，其中为声强（单位：）。若，，那么
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在题中横线上.）
9.若，则定义域 ．
10. 已知，则的大小关系为____________.
11. 已知，则的最小值为
12. 已知函数若，且在上单调递增，则的取值范围是
13. 若是定义在上的奇函数，，当时，，则
14. 某公园划船收费标准如下：
船型 | 两人船 （限乘2人） | 四人船 （限乘4人） | 六人船 （限乘6人） |
每船租金 （元/小时） | 90 | 100 | 130 |
某班16名同学一起去该公园划船，若每人划船的时间均为1小时，每只租船必须坐满，租船最低总费用为___________元，租船的总费用共有__________种可能．
三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
15.（本题满分12分）
已知，.（1）求的值；（2）求的值.
16.（本题满分14分）
为了解本学期学生参加公益劳动的情况，某校从初高中学生中抽取100名学生，收集了他们参加公益劳动时间（单位：小时）的数据，绘制图表的一部分如下．
| [0,5） | [5,10） | [10,15） | [15,20） | [20,25） | [25,30） | |
性别 | 男 | 6 | 9 | 10 | 10 | 9 | 4 |
女 | 5 | 12 | 13 | 8 | 6 | 8 | |
学段 | 初中 | x | 8 | 11 | 11 | 10 | 7 |
高中 |
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（Ⅰ）从男生中随机抽取一人，抽到的男生参加公益劳动时间在[10,20）的概率；
（Ⅱ）从参加公益劳动时间[25,30）的学生中抽取3人进行面谈，记X为抽到高中的人数，求X的分布列；
（Ⅲ）当时，高中生和初中生相比，那学段学生平均参加公益劳动时间较长．（直接写出结果）
17．（本题满分13分）
（1）已知，，若，且图象在点处的切线方程为，求的值。
（2）求 函数在上的极值。
18. （本小题14分）
某科研团队研发了一款快速检测某种疾病的试剂盒.为了解该试剂盒检测的准确性，质检部门从某地区（人数众多）随机选取了位患者和位非患者，用该试剂盒分别对他们进行检测，结果如下：
患者的检测结果 | 人数 |
阳性 | |
阴性 |
非患者的检测结果 | 人数 |
阳性 | |
阴性 |
（Ⅰ）从该地区患者中随机选取一人，对其检测一次，估计此患者检测结果为阳性的概率；
（Ⅱ）从该地区患者中随机选取人，各检测一次，假设每位患者的检测结果相互独立，以表示检测结果为阳性的患者人数，利用（Ⅰ）中所得概率，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）假设该地区有万人，患病率为.从该地区随机选取一人，用该试剂盒对其检测一次.若检测结果为阳性，能否判断此人患该疾病的概率超过？并说明理由.
19. （本小题满分13分）
已知函数f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx
（1）若曲线y=f（x）与曲线y=g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；
（2）当a2=4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间上的最大值．
20. （本小题满分14分）
(本小题满分14分)
设函数其中
(Ⅰ)若曲线在点处切线的斜率为1,求的值;
(Ⅱ)已知导函数在区间上存在零点,证明:当时,.
