山东省济南市2021届高三上学期期中考试 数学(含答案)
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数学试题 2020．11
注意事项：
- 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡和试卷指定位置上。
- 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效。
- 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集为R,集合,,则
A. B.
C. D.
2.已知是实数，是纯虚数，则=
A.1 B. C. D.
3. “”是“对任意的正数，”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4.将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案种数为
A. 540 B. 300 C. 180 D. 150
5.设，则的大小关系是
A. B.
C. D.
6．我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?”意思是：“现有一根金箠，一头粗，一头细．在粗的一端截下一尺，重四斤；在细的一端截下一尺，重二斤．问依次每一尺各重几斤?”根据己知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为
A．6斤 B．9斤 C．10斤 D．12斤
7.已知函数若关于的方程，无实根，则实数的取值范围为
A. B.(－1，0)
C. D．(0，1)
8.我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若a,b，E为BF的中点，则
A. a＋b B．a＋b C.a＋b D．a＋b
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知函数的最小正周期为，则下列说法正确的有
A.
B．函数在上为增函数
C. 直线是函数图象的一条对称轴
D. 点是函数图象的一个对称中心
10．甲乙两个质地均匀且完全一样的四面体，每个面都是正三角形，甲四个面上分别标有数字1，2，3，4，乙四个面上分别标有数字5，6，7，8，同时抛掷这两个四面体一次，记事件A为“两个四面体朝下一面的数字之和为奇数”，事件B为“甲四面体朝下一面的数字为奇数”，事件C为“乙四面体朝下一面的数字为偶数”，则下列结论正确的是
A． B．
C. D．
11.设为正实数,下列命题正确的有
A.若,则;
B．若,则;
C.若,则;
D.若,则.
12.设函数，其中表示中的最小者.下列说法正确的有
A.函数为偶函数
B.当时,有
C.当时,
D.当时,
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.的展开式中的常数项是__________.
14．若函数__________.
15.如图，在△ABC中，，，P为CD上一点，且满足
，若则的值为_________.
16．在三棱锥中，侧棱底面ABC，，且，则该三棱锥的外接球的体积为_________.
四、解答题：本题包括6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
在①，②，③三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
在中，内角的对边分别是，且满足__________，.
（1）若，求的面积；
（2）求的取值范围.
18．（12分）
已知数列的前n项和，满足
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前项和．
19．（12分）
已知在四棱锥中，，是的中点，为的中点，是等边三角形，
平面平面
（1）求证：；
（2）求二面角的余弦值.
20．（12分）
已知函数．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）已知时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
21．（12分）
某市质监部门严把食品质量关，在2020年3月15日前夕，根据质量管理考核指标对本地的500家食品生产企业进行考核，通过随机抽样抽取其中的50家，统计其考核成绩（单位：分），并制成如图频率分布直方图．
（1）求这50家食品生产企业考核成绩的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）及中位数（精确到
（2）该市质监部门打算举办食品生产企业质量交流会，并从这50家食品生产企业中随机抽取4家考核成绩不低于88分的企业发言，记抽到的企业中考核成绩在，的企业数为，求的分布列与数学期望
（3）若该市食品生产企业的考核成绩服从正态分布其中近似为50家食品生产企业考核成绩的平均数近似为样本方差为，经计算得，利用该正态分布，估计该市500家食品生产企业质量管理考核成绩高于90.06分的有多少家？（结果保留整数）．
附参考数据与公式：，则，．．
22．（12分）
已知函数
（1）求函数的最大值；
（2）令，若既有极大值，又有极小值，求实数
的范围；
（3）求证：当时，.
