2021版高考数学一轮复习单元评估检测二含解析新人教B版

单元评估检测(二)(第四章)(120分钟　150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.如图,角α的终边与单位圆(圆心在原点,半径为1)交于第二象限的点P,则cos α+sin α= (　　)A.   B.-   C.    D.-【解析】选B.由任意角三角函数的定义知sin α=,又α是第二象限角,所以cos α =-=-,因此cos α+sin α=-.2.(2019·全国卷Ⅰ)tan 255°= (　　)A.-2-   B.-2+   C.2-   D.2+【解析】选D.tan 255°=tan(180°+75°)=tan 75°=tan(45°+30°)===2+.3.(2020·遵义模拟)若sin=-,且α∈,则sin(π-2α)= (　　)A.-    B.-　   C.   D.【解析】选A.因为sin=cos α=-,α∈,所以sin α=,所以sin(π-2α)=sin 2α=2sin αcos α=2××=-.4.(2019·衡水模拟)若cos =,则cos(π-2α)= (　　)A.　   B.    C.-   D.-【解析】选D.由cos=,得sin α=,所以cos (π-2α)=-cos 2α=-(1-2sin 2α)=2sin 2α-1=2×-1=-.5.(2020·威海模拟)函数y=sin的图象可由y=cos 2x的图象如何得到 (　　)A.向左平移个单位B.向右平移个单位C.向左平移个单位D.向右平移个单位【解析】选B.y=sin=cos=cos=cos,所以把y=cos 2x的图象向右平移个单位,得到y=cos的图象.6.(2020·烟台模拟)设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=2,B=2A,则b的取值范围为              (　　)A.(0,4)    B.(2,2)C.(2,2)  D.(2,4)【解析】选C.因为a=2,B=2A,所以0<2A<,A+B=3A,所以<3A<π,所以<A<,所以<A<,所以<cos A<,因为a=2,B=2A,由正弦定理得=b=2cos A,即b=4cos A,所以2<4cos A<2,b的取值范围为(2,2).7.(2020·洛阳模拟)在平面直角坐标系xOy中,角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边经过点P(3,4),则sin=              (　　)A.-   B.-   C.    D.【解析】选C.因为角α的终边经过点P(3,4),所以sin α=,cos α=.所以sin=sin=sin=cos α=.8.在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上的高为 (　　)A.　   B.   C.　   D.3【解析】选B.由已知及余弦定理得cos A===,所以sin A==,边AC上的高h=ABsin A=.二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分,共20分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)9.下列函数中,是周期函数且最小正周期为2π的是 (　　)A.y=sin x+cos x   B.y=sin2x-cos2xC.y=cos|x|     D.y=3sincos【解析】选ACD.对于A,y=sin x+cos x=sin的最小正周期是2π,符合题意;对于B,y=sin2x-cos2x=(1-cos2x)-(1+cos2x)=-cos2x的最小正周期是π,不符合题意;对于C,y=cos|x|=cos x的最小正周期是2π,符合题意;对于D,函数y=3sincos=sinx的最小正周期是2π,符合题意.10.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列四个说法中正确的是 (　　)A.若==，则△ABC一定是等边三角形B.若acos A=bcos B，则△ABC一定是等腰三角形C.若bcos C+ccos B=b，则△ABC一定是等腰三角形D.若a2+b2-c2>0，则△ABC一定是锐角三角形【解析】选AC.由==，利用正弦定理可得==，即tan A=tan B=tan C，A=B=C，△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sin Acos A=sin Bcos B⇒sin 2A=sin 2B，2A=2B或2A+2B=π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sin Bcos C+sin Ccos B=sin B，即sin =sin B，sin A=sin B，则A=B，△ABC是等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C=>0，角C为锐角，角A，B不一定是锐角，D不正确，故选AC.11.已知向量m=(sin x,-),n=,函数f=m·n+,下列说法正确的是 (　　)A.y=f的最小正周期为πB.y=f的图象关于点对称C.y=f的图象关于直线x=对称D.y=f的单调增区间为(k∈Z)【解析】选AB.f=m·n+=sin xcos x-cos 2x+=sin 2x-cos 2x=sin,其最小正周期为T==π,A正确;又sin =0,因此f(x)图象关于点对称,B正确;2x-=kπ+得x=+(k∈Z),因此x=-是f(x)图象的一条对称轴,C错误;由2kπ-≤2x-≤2kπ+,得kπ-≤x≤kπ+,即增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z,D错误.12.将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象,则下列说法不正确的是              (　　)A.函数g(x)的图象关于点对称B.函数g(x)的周期是C.函数g(x)在上单调递增D.函数g(x)在上最大值是1【解析】选ABD.将函数f(x)=2sin-1的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数g(x)=2sin-1的图象,由于当x=-时,g(x)=-1,故函数g(x)的图象不关于点对称,故A错误;函数g(x)的周期为=π,故B错误;在上,2x+∈,g(x)单调递增,故C正确;在上,2x+∈,g(x)的最大值趋向于1,故D错误.三、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2019·雅安模拟)函数f(x)=sin2x+的图象在区间上的对称轴方程为________. 【解析】因为函数f(x)= sin,所以令2x+=+kπ,k∈Z,即x=+,k∈Z,所以当k=0时,函数f(x)= sin的图象在区间上的对称轴方程为x=.答案:x=14.如图,某人在山脚P处测得甲山山顶A的仰角为30°,乙山山顶B的仰角为45°,∠APB的大小为45°,山脚P到山顶A的直线距离为2 km,在A处测得山顶B的仰角为30°,则乙山的高度为________ km. 【解析】假设甲山底部为C,乙山底部为D,过A作AE⊥BD于点E.由题意可知∠APC=30°,∠BPD=45°,AP=2 km,所以AC=AP·sin 30°=1(km),DE=AC=1 km,设BD=h km,则DP=BD=h km,BE=(h-1)km,所以BP=h km.因为∠BAE=30°,所以AB=2BE=(2h-2)km.在△ABP中,由余弦定理得:cos 45°===.解得h=2.所以乙山的高度为2 km.答案:215.已知△ABC中,A=,cos B=,AC=8.则△ABC的面积为________;AB边上的中线CD的长为________. 【解析】因为cos B=,且B∈(0,π),所以sin B==.所以sin C=sin (π-A-B)=sin (A+B)=sin Acos B+cos Asin B=×+×=,在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得AB=7,所以△ABC的面积为S=AB·AC·sin A=×7×8×=28.在△ACD中,AD=, 所以由余弦定理得CD2=82+-2×8××=,所以CD=.答案:28　16.(2020·潮州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,BC边上的高为,则+的最大值是________.              世纪金榜导学号 【解析】因为BC边上的高为,所以××a=bcsin A,即a2=2bcsin A,+====sin A+cos A=sin≤,故+的最大值是.答案:四、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)在①B=A+，②cos C=这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，求(1)a的值；(2)cos 2C的值.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b=3，cos A=，_________. 【解析】选①.(1)因为cos A=，所以sin A===，因为B=A+，所以sin B=sin=cos A=.由正弦定理得a===3.(2)因为B=A+，所以cos B=-sin A=-.所以sin C=sin=sin Acos B+cos Asin B=×+×=，所以cos 2C=1-2sin 2C=1-=.选②.(1)因为cos A=，所以sin A==，因为cos C=，所以sin C==，所以sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=×+×=.由正弦定理得a===3.(2)cos 2C=2cos2C-1=2×-1=.18.(12分)(2020·天津模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a>b,a=5,c=6,sin B=.(1)求b和sin A的值.(2)求sin的值.【解析】(1)在△ABC中,因为a>b,故由sin B=,可得cos B=.由已知及余弦定理,有b2=a2+c2-2accos B=13,所以b=.由正弦定理=,得sin A==.所以b的值为,sin A的值为.(2)由(1)及a<c,得cos A=,所以sin 2A=2sin Acos A=,cos 2A=1-2sin2A=-.故sin=sin 2Acos+cos 2Asin=.19.(12分)(2020·山东新高考模拟)在△ABC中,∠A=90°,点D在BC边上,在平面ABC内,过D作DF⊥BC且DF=AC.(1)若D为BC的中点,且△CDF的面积等于△ABC的面积,求∠ABC.(2)若∠ABC=45°,且BD=3CD,求cos ∠CFB.【解析】(1)如图所示,D为BC的中点,所以BD=CD.又因为S△ABC=S△CDF,即AB×AC=CD×DF=BC×AC,从而BC=2AB,又∠A=90°,从而∠ACB=30°,所以∠ABC=90°-30°=60°.(2)由∠ABC=45°,从而AB=AC,设AB=AC=k.则BC=k.由BD=3CD,所以BD=BC=k,CD=k.因为DF=AC=k,从而BF==k,CF==k.(方法一)由余弦定理得cos∠CFB===.(方法二)cos∠DFB==,从而sin∠DFB==;cos∠DFC==,从而sin∠DFC==.所以cos∠CFB=cos(∠CFD+∠DFB)=.20.(12分)在△ABC中,AC=2,D是BC边上的一点.(1)若AD=1,·=3,求CD的长.(2)若∠B=120°,求△ABC周长的取值范围.【解析】(1)在△ADC中,AD=1,AC=2,所以·=||||cos∠DAC=1×2×cos∠DAC=3, 所以cos∠DAC=.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠DAC=12+1-2×2×1×=7,所以CD=.(2)在△ABC中 由正弦定理得====4,所以AB+BC=4(sin A+sin C)=4=4sin,因为0<A<,所以sin∈.所以AB+BC∈(2,4]所以△ABC的周长的取值范围为(4,4+2].21.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,B=2A,b=3. 世纪金榜导学号(1)求a.(2)已知点M在边BC上,且AM平分∠BAC,求△ABM的面积.【解析】(1)由0<A<π,cos A=,得sin A=,所以sin B=sin2A=2sin Acos A=2××=,又由正弦定理得a==2.(2)cos B=cos2A=2cos2A-1=2×-1=,在△ABC中,由余弦定理b2=a2+c2-2accos B,得2c2-c-10=0,解得c=或c=-2(舍去).S△ABC=bcsin A=,因为====,所以S△ABM=S△ABC=×=.22.(12分)如图,洪泽湖湿地为拓展旅游业务,现准备在湿地内建造一个观景台P,已知射线AB,AC为湿地两边夹角为120°的公路(长度均超过2千米),在两条公路AB,AC上分别设立游客接送点M,N,从观景台P到M,N建造两条观光线路PM,PN,测得AM=2千米,AN=2千米.              世纪金榜导学号(1)求线段MN的长度.(2)若∠MPN=60°,求两条观光线路PM与PN之和的最大值.【解题指南】(1)在△AMN中,利用余弦定理得到MN.(2)设∠PMN=α,得到∠PNM=120°-α,利用正弦定理将PM+PN用α表示,结合三角函数的有界性求最值.【解析】(1)在△AMN中,由余弦定理得,MN2=AM2+AN2-2AM·ANcos 120°=22+22-2×2×2×=12,所以MN=2 千米.(2)设∠PMN=α,因为∠MPN=60°,所以∠PNM=120°-α,在△PMN中,由正弦定理得,==.因为==4,所以PM=4sin(120°-α),PN=4sin α,因此PM+PN=4sin(120°-α)+4sin α=4+4sin α=6sin α+2cos α=4sin(α+30°),因为0°<α<120°,所以30°<α+30°<150°.所以当α+30°=90°,即α=60°时,PM+PN取到最大值4.答:两条观光线路PM与PN之和的最大值为4千米.