2021版高考数学一轮复习单元评估检测一含解析新人教B版

单元评估检测(一)(第一、二章)(120分钟　150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<2或x>4}，B=，则A∩B= (　　)A.B.C.{x|4<x≤6}D.【解析】选A.A∩B={x|x<2或x>4}∩=.2.已知f(x)=x2，g(x)=2x，h(x)=log2x，当x∈(4，+∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是              (　　)A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)【解析】选B.由图象(画图略)知，当x∈(4，+∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).3.(2020·大庆模拟)函数f(x)=的图象大致是 (　　)【解析】选C.因为x∈R，且f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数，故排除B项；又因为x>1时，f(x)>0；x→+∞时，f(x)→0，所以排除A，D项.4.(2020·潍坊模拟)已知f(x)是定义在[-10，10]上的奇函数，且f(x)=f(4-x)，则函数f(x)的零点个数至少为              (　　)A.3 B.4 C.5 D.6【解析】选C.因为f(x)是定义在[-10，10]上的奇函数，所以f(0)=0，且零点关于原点对称，所以零点个数为奇数，排除选项B，D，又因为f(x)=f(4-x)，所以f(0)=f(4)=0，f(-4)=-f(4)=0，所以f(-4)=f(4+4)=f(8)=0，f(-8)=-f(8)=0，所以f(x)的零点至少有0，±4，±8，5个，故选C.5.(2020·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数，记a=f(log0.53)，b=f(log25)，c=f(2+m)，则a，b，c的大小关系为              (　　)A.a<b<c    B.a<c<bC.c<a<b    D.c<b<a【解析】选B.因为f(x)为偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以2|-x-m|-1=2|x-m|-1，所以|-x-m|=|x-m|，(-x-m)2=(x-m)2，所以mx=0，所以m=0，所以f(x)=2|x|-1，所以f(x)在[0，+∞)上单调递增，并且a=f(|log0.53|)=f(log23)，b=f(log25)，c=f(2)；因为0<log23<2<log25，所以a<c<b.6.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是              (　　)A.15   B.16   C.17   D.18【解析】选B.由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)，分流x人后，每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t，则解得0<x≤.因为x∈N*，所以x的最大值为16.7.(2020·南昌模拟)已知函数y=f(x)是定义在(-∞，-2)∪(2，+∞)上的奇函数，当x>2时，f(x)=log2(x-2)，则f(x-1)<0的解集是              (　　)A.(-∞，-2)∪(3，4)B.(-∞，-3)∪(2，3)C.(3，4)D.(-∞，-2)【解析】选A.画出函数图象如图所示，由图可知，x-1<-3或2<x-1<3，解得x∈(-∞，-2)∪(3，4).8.已知函数f(x)=，若函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(　　)世纪金榜导学号A.(-∞，0)  B.(-∞，1)C.(1，+∞)  D.(0，+∞)【解析】选D.函数f(x)=，函数的图象如图：函数f(x)存在零点，则实数a的取值范围是(0，+∞).二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，多选题全部选对得5分，选对但不全对的得3分，有选错的得0分)9.下列函数中，既是偶函数又在区间(1，2)内单调递减的是 (　　)A.f(x)=   B.f(x)=C.f(x)=2x+2-x   D.f(x)=cos x【解析】选B、D.对于A，偶函数与单调递减均不满足；对于B，符合题意；对于C，不满足单调递减；对于D，符合题意.10.已知集合A={(x，y)│x2+y2=1}，B={(x，y)│y=x}，则A∩B中元素为(　　)A.    B.C.    D.【解析】选A、B.A表示圆x2+y2=1上所有点的集合，B表示直线y=x上所有点的集合，故A∩B表示直线与圆的交点，列方程组解得x=，y=，或x=-，y=-.故A∩B中元素为，.11.函数y=sin x2的图象不可能是 (　　)【解析】选A、B、C.由y=sin x2为偶函数判断函数图象的对称性，知A，C不可能；当x2=时，即x=±时，ymax=1，知B不可能.12.下列关于函数y=ln |x|的叙述不正确的是 (　　)A.是奇函数，且在(0，+∞)上是增函数B.是奇函数，且在(0，+∞)上是减函数C.是偶函数，且在(0，+∞)上是减函数D.是偶函数，且在(0，+∞)上是增函数【解析】选A、B、C.函数的定义域为{x|x≠0}，因为f(-x)=ln |-x|=ln |x|=f(x)，所以函数f(x)是偶函数，当x>0时，f(x)=ln x为增函数.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.已知数列{an}的前n项和Sn=Aqn+B(q≠0)，则“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的_______条件. 【解析】若A=B=0，则Sn=0，数列{an}不是等比数列.如果{an}是等比数列，由a1=S1=Aq+B得a2=S2-a1=Aq2-Aq，a3=S3-S2=Aq3-Aq2，a1a3=，从而可得A=-B，故“A=-B”是“数列{an}为等比数列”的必要不充分条件.答案：必要不充分14.如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B，C分别在函数y1=3logax，y2=2logax，y3=logax(a>1)的图象上，则B点的横坐标为_________，实数a的值为_________. 【解析】依题设B(xB，2logaxB)，C(xC，logaxC)，又BC∥x轴，所以xC=.正方形边长=|BC|=xC-xB=-xB=2，所以xB=2.又AB⊥x轴，所以A(2，3loga2)，|AB|=3loga2-2loga2=loga2=2，故a=.答案：2　15.已知函数f(x)=ln(3-x)，则不等式f(lg x)>0的解集为_________. 世纪金榜导学号 【解析】因为f(x)=ln(3-x)，则解得0≤x<3，所以定义域为[0，3)，因为f(x)=ln(3-x)>0等价于解得0<x<2，因为f(lg x)>0，所以解得1<x<100，所以解集为(1，100).答案：(1，100)16.设函数f(x)=则f(f(e))=_________，函数y=f(x)-1的零点为_________. 【解析】因为f(x)=所以f(e)=ln e=1，f(f(e))=f(1)=tan 0=0，若0<x≤1，f(x)=1⇒tan=1，方程无解；若x>1，f(x)=1⇒ln x=1⇒x=e.答案：0　e四、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤3x≤27}，B={x|log2x>1}.(1)求(RB)∪A.(2)已知集合C={x|1<x<a}，若C⊆A，求实数a的取值范围.【解析】A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3}，B={x|log2x>1}={x|x>2}，(1)RB={x|x≤2}，所以(RB)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.(2)当C=时，a≤1，满足C⊆A；当C≠时，由题意得，所以1<a≤3，综上可知a的取值范围是a≤3.18.(12分)已知函数f(x)=(1)在图中给定的直角坐标系内画出f(x)的图象.(2)写出f(x)的单调递增区间.【解析】(1)画图如图所示.(2)f(x)的单调递增区间是[-1，0)和(2，4].19.(12分)已知函数f(x)=b·ax(其中a，b为常数，a>0，a≠1)的图象过点A，B.(1)求f(x).(2)若不等式+-m≥0在x∈[1，+∞)时恒成立，求m的取值范围.【解析】(1)由已知得解得所以f(x)=×.(2)+-m=2x+3x-m≥0，所以m≤2x+3x，因为y=2x+3x在[1，+∞)上为增函数，所以y的最小值为5，所以m≤5.20.(12分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0<x<100)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位：分钟)，而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：(1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式；讨论g(x)的单调性，并说明其实际意义.【解析】(1)由题意知，当30<x<100时，f(x)=2x+-90>40，即x2-65x+900>0，解得x<20或x>45，所以x∈(45，100)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时，g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-；当30<x<100时，g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58；所以g(x)=当0<x<32.5时，g(x)单调递减；当32.5<x<100时，g(x)单调递增；说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少.21.(12分)已知a∈R，函数f(x)=log2. 世纪金榜导学号(1)当a=5时，解不等式f(x)>0.(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围.(3)设a>0，若对任意t∈，函数f(x)在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围.【解析】(1)由log2>0，得+5>1，解得x∈∪(0，+∞).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5，即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.①当a=4时，x=-1，经检验，满足题意.②当a=3时，x1=x2=-1，经检验，满足题意.③当a≠3且a≠4时，x1=，x2=-1，x1≠x2.若x1是原方程的解，则+a>0，即a>2；若x2是原方程的解，则+a>0，即a>1.由题意知x1，x2只有一个为方程的解，所以或于是满足题意的a∈(1，2].综上，a的取值范围为(1，2]∪{3，4}.(3)易知f(x)在(0，+∞)上单调递减，所以函数f(x)在区间[t，t+1]上的最大值与最小值分别为f(t)，f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1，即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立.因为a>0，所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增，当t=时，y有最小值a-.由a-≥0，得a≥.故a的取值范围为.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x，y恒有f(x+y)=f(x)+f(y)，当x>0时，f(x)<0，且f(1)=-2.              世纪金榜导学号(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求f(x)在区间[-3，3]上的最大值.(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.【解析】(1)取x=y=0，则f(0+0)=2f(0)，即f(0)=0.取y=-x，则f(x-x)=f(x)+f(-x)，即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立，故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1，x2∈(-∞，+∞)，且x1<x2，则x2-x1>0.所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0，所以f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数，所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在(-∞，+∞)内是减函数.所以对任意x∈[-3，3]，恒有f(x)≤f(-3).因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6，所以f(-3)=-f(3)=6，所以f(x)在[-3，3]上的最大值为6.(3)因为f(x)为奇函数，所以整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).所以f(ax2-2x)<f(ax-2).因为f(x)在(-∞，+∞)内是减函数，所以ax2-2x>ax-2，即(ax-2)(x-1)>0.所以当a=0时，x∈{x|x<1}；当a=2时，x∈{x|x≠1，且x∈R}；当a<0时，<x<1；当0<a<2时，x<1或x>；当a>2时，x<或x>1.综上所述，当a=0时，原不等式的解集为{x|x<1}；当a=2时，原不等式的解集为{x|x≠1，且x∈R}；当a<0时，原不等式的解集为；当0<a<2时，原不等式的解集为；当a>2时，原不等式的解集为.