中考数学 专项训练 考点25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

专题25 以函数为背景的等腰三角形的存在性问题

【知识讲解】

1、     知识内容：

 在用字母表示某条线段的长度时，常用的方法有但不仅限于以下几种：

（1）勾股定理：找到直角三角形，利用两边的长度表示出第三边；

（2）全等或相似：通过相似，将未知边与已知边建立起联系，进而表示出未知边

（3）两点间距离公式：设、，则A、B两点间的距离为：

．

2、     解题思路：

（1）              利用几何或代数的手段，表示出三角形的三边对应的函数式；

（2）              根据条件分情况进行讨论，排除不可能的情况，将可能情况列出方程（多为分式或根式方程）

（3）              解出方程，并代回原题中进行检验，舍去增根．

注：用相似的方法得到的代数式构造一般比较简单，但对几何能力的要求较高，用勾股定理则反之．

【例题讲解】

1、如图，已知中，AB = AC = 6，BC = 8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，∠ADE =∠B．设BD的长为x，CE的长为y．

（1）当D为BC的中点时，求CE的长；

（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

（3）如果为等腰三角形，求x的值．

【答案】（1）；（2）（）；（3）2或．

【解析】解：∵，，

 ∴．

 ∴．

 ∴．

 （1）当D为BC中点时，，∴．

 （2），x的取值范围为．

 （3）分情况讨论，

  ①当AD = AE时：

  ∵，∴，此情况不存在；

  ②当AD = DE时：

  ∴，即，

  解得：（舍）或；

  ③当AE = DE时：

  ∴．

  ∴．

  又∵，∴，

∴，解得：，

综上：x的值为2或．

【总结】本题综合性较强，主要考查等腰三角形的性质及分类讨论的运用．

2、已知，一条抛物线的顶点为E（，4），且过点A（，0），与y轴交于点C，点D是这条抛物线上一点，它的横坐标为m，且，过点D作轴，垂足为K，DK分别交线段AE、AC于点G、H．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）求证：GH = HK；

（3）当是等腰三角形时，求m的值．

【解析】（1）；（2）略；

（3）m的值为或．

【解析】（1）∵抛物线的顶点为E（，4），

∴设抛物线的解析式为（）

又∵抛物线过点A（，0）∴，

∴这条抛物线的解析式为；

（2）∵A（，0），E（，4），C（0，3）

     ∴直线AE的解析式为；直线AC的解析式为，

     ∵D的横坐标为m，轴，

∴G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

∵K（m，0），∴GH = m + 3，HK = m + 3，∴GH = HK；

（3）∵C（0，3），G（m，2m + 6），H（m，m + 3）

  1° 若CG = CH，则

解得：，都是原方程的解，但不合题意舍去；

所以这种情况不存在．

  2° 若GC = GH，则，

解得：，都是原方程的解，但不合题意，舍去．

∴；

  3° 若HC = HG，则，解得：．

  综上所述：当是等腰三角形时，m的值为或．

【总结】本题主要考查二次函数背景下的等腰三角形的分类讨论问题，注意对方法的选择．