中考数学 专项训练 考点27 与角有关的等腰三角形的存在性问题

专题27 与角有关的等腰三角形的存在性问题【知识讲解】有时，等腰三角形通过边来计算过于复杂，而条件中又恰好有关于角的一些条件，此时经常可以讨论角之间的关系，再利用“等角对等边”的性质从而形成等腰三角形．【例题讲解】1、如图1，在△ABC中，∠ABC = 90°，AB = 5，∠C = 30°，点D是AC边上一动点（不与A、C重合），过点D分别作DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，联结EF，设AE = x，EF = y．（1）求y关于x的函数解析式，并写出定义域；（2）以F为圆心、FC为半径的⊙F交直线AC于点G，当点G为AD中点时，求x的值；（3）如图2，联结BD，将△EBD沿直线BD翻折，点E落在点E′处，直线BE′与直线AC相交于点M，当△BDM为等腰三角形时，求∠ABD的度数．       图1                                图2【答案】（1）（）；（2）x的值为；（3）∠ABD的度数为20°或40°或80°．【解析】解：（1）∵，          ∴DE//BC，  ∴．  ∴（定义域为）；  （2）作GH⊥BC于H，  易得：，，，  ∴，  解得：，（舍去）． （3）分情况讨论，设，则，  ① BD=BM时，  当点M在AC边上时，∴．  ∴．  又∵，  ∴，解得：；  当点M在CA的延长线上时，同理可得；  ② BD=DM时，  又∵，  ∴．  又∵，  ∴，∴；  ③ DM=BM时，  ∵，  ∴，不可能．【总结】本题主要考查直角三角形的性质与圆有关的性质定理的运用，注意等腰三角形的分类讨论．