中考数学 专项训练 考点24 以几何为背景的直角三角形的存在性问题

专题24 以几何为背景的直角三角形的存在性问题【知识讲解】1、     解题思路：（1）              按三个角分别可能是直角的情况进行讨论；（2）              运用相似/全等、勾股定理等方法，计算出相应的边长．【例题讲解】1、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA = 4，OC = 2．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P的运动而运动，连接DP、DA．（1）请用含t的代数式表示出点D的坐标；（2）在点P从O向A运动的过程中，能否成为直角三角形？若能，求t的值．若不能，请说明理由． 【答案】（1）D点坐标为；（2）t = 2或3．【解析】解：（1）取CP中点M，作MN⊥OP于N，作DH⊥PA于H． 可得，． ∵，，P点坐标为， ∴D点坐标为； （2）当时，，∴．即，解得：或（舍）．当时，，∴，即，∴PA = 1，∴t = 3   故当是直角三角形时，或3．【总结】本题一方面考查三角形的旋转问题，另一方面考查相似三角形的性质的运用，注意利用旋转的性质进行求解．2、如图，在中，CA = CB，AB = 8，．点D是AB边上的一个动点，点E与点A关于直线CD对称，联结CE、DE．（1）求底边AB上的高；（2）设CE与AB交于点F，当为直角三角形时，求AD的长；（3）联结AE，当是直角三角形时，求AD的长．【答案】（1）3；（2）AD的长为或；（3）的长为1．【解析】解：（1）过C作CH⊥AB于H． ∵AC = BC，AB = 8，∴AH = BH = 4． 又∵，∴AC = BC = 5，CH = 3； （2）分情况讨论： ①当时，F与H重合，∴EH = 2． ∵，∴． ∴； ②当时，作DM⊥AC于M，设CM = x， ∵，∴． ∴，∴，解得：． ∴；    综上：当为直角三角形时，AD的长为或； （3）∵AD = DE，∴为直角三角形时，AD、DE只可能是直角边． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴．【总结】本题主要考查直角三角形的性质以及判定直角三角形的存在性，解题时根据题意认真分析，注意进行分类讨论．3、如图，已知为等边三角形，AB = 6，点P是AB上的一个动点（与A、B不重合），过点P作AB的垂线与BC交于点D，以点D为正方形的一个顶点，在内作正方形DEFG，其中D、E在BC上，F在AC上．（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，写出y与x的函数关系式及定义域；（2）当BP = 2时，求CF的长；（3）是否可能成为直角三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由．【答案】（1）（）； （2）；    （3）BP的长为或者为．【解析】（1）∵为等边三角形，∴，；∵，，∴；又∵四边形DEFG是正方形，∴，，∴；∴，∴（）；（2）当BP = 2时，，；（3）能成为直角三角形．时，如图；，，解得：．时，如图；则，， 解得：．∴当为直角三角形，BP的长为或者为．【总结】本题综合性较强，主要考查动点背景下的正方形与直角三角形的存在性，注意对相关性质的准确运用．4、如图，在中，，AC = 4 cm，BC = 5 cm，点D在BC上，并且CD = 3 cm．现有两个动点P、Q分别从点A、B同时出发，其中点P以1cm/s的速度，沿AC向终点C移动；点Q以1.25 cm/s的速度沿BC向终点C移动．过点P作PE // BC交AD于点E，联结EQ．设动点运动时间为x（s）．（1）用含x的代数式表示AE、DE的长度；（2）当x为何值时，为直角三角形． 【答案】（1），；    （2）当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．【解析】（1）在中，AC = 4，CD = 3，则AD = 5．∵EP // DC， ∴∽，∴，即，∴，；（2）分两种情况讨论：当时，如图；易得，又∵EQ // AC，∴∽，∴，即，解得：x = 2.5；当时，如图；∵，，∴∽，∴，即，解得：x = 3.1；综上所述：当x为2.5 s或3.1 s时，为直角三角形．【总结】本题主要考查动点背景下的相似三角形的综合运用，注意得到相应的线段比，从而求出相应的线段长，第（2）问中的直角三角形注意进行两种情况的分类讨论．