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2021年 广东省 中考数学 一轮复习备考 第11讲 反比例函数 学案
展开第11讲 反比例函数知识梳理1. 反比例函数的概念形如(是常数,)的函数叫反比例函数.特别提示:(1)自变量x的取值范围是;(2)也可以看成或的形式;(3)通常表示以原点及点为对角线的顶点的矩形的面积.2.反比例函数的图象和性质(1)图象的特征:反比例函数y=的图象是一条双曲线,它关于坐标原点成中心对称,两个分支在第一、三象限或第二、四象限.(2)反比例函数y=(k≠0,k为常数)的图象和性质:函数图象所在象限性质y=(k≠0,k为常数)k>0一、三象限(x,y同号)在每个象限内,y随x增大而减小k<0二、四象限(x,y异号)在每个象限内,y随x增大而增大3. 反比例函数k的几何意义过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线,所得矩形的面积为|k|;过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴与向坐标轴所作垂线所围成的直角三角形的面积S=|k|.4.反比例函数的解析式的确定1、常用方法:待定系数法..5. 解决反比例函数的实际问题:先确定函数解析式,再利用图象找出解决问题的方案,这里要特别注意自变量的取值范围要使实际问题有意义.5年真题命题点1 反比例函数的图像与性质1.(4分)(2018•广东)如图,已知等边△OA1B1,顶点A1在双曲线y(x>0)上,点B1的坐标为(2,0).过B1作B1A2∥OA1交双曲线于点A2,过A2作A2B2∥A1B1交x轴于点B2,得到第二个等边△B1A2B2;过B2作B2A3∥B1A2交双曲线于点A3,过A3作A3B3∥A2B2交x轴于点B3,得到第三个等边△B2A3B3;以此类推,…,则点B6的坐标为 (2,0) .(2,0)【解析】如图,作A2C⊥x轴于点C,设B1C=a,则A2Ca,OC=OB1+B1C=2+a,A2(2+a,a).∵点A2在双曲线y(x>0)上,∴(2+a)•,解得a1,或a1(舍去),∴OB2=OB1+2B1C=2+22=2,∴点B2的坐标为(2,0);作A3D⊥x轴于点D,设B2D=b,则A3Db,OD=OB2+B2D=2b,A3(2b,b).∵点A3在双曲线y(x>0)上,∴(2b)•,解得b,或b(舍去),∴OB3=OB2+2B2D=2222,∴点B3的坐标为(2,0);同理可得点B4的坐标为(2,0)即(4,0);以此类推…,∴点Bn的坐标为(2,0),∴点B6的坐标为(2,0).故答案为(2,0).2.(3分)(2017•广东)如图,在同一平面直角坐标系中,直线y=k1x(k1≠0)与双曲线y(k2≠0)相交于A,B两点,已知点A的坐标为(1,2),则点B的坐标为( A )A.(﹣1,﹣2) B.(﹣2,﹣1) C.(﹣1,﹣1) D.(﹣2,﹣2)命题点2 一次函数与反比例函数的综合3.(9分)(2019•广东)如图,一次函数y=k1x+b的图象与反比例函数y的图象相交于A、B两点,其中点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).(1)根据图象,直接写出满足k1x+b的x的取值范围;(2)求这两个函数的表达式;(3)点P在线段AB上,且S△AOP:S△BOP=1:2,求点P的坐标.解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,4),点B的坐标为(4,n).由图象可得:k1x+b的x的取值范围是x<﹣1或0<x<4;(2)∵反比例函数y的图象过点A(﹣1,4),B(4,n)∴k2=﹣1×4=﹣4,k2=4n,∴n=﹣1,∴B(4,﹣1),∵一次函数y=k1x+b的图象过点A,点B,∴,解得:k1=﹣1,b=3,∴直线解析式y=﹣x+3,反比例函数的解析式为y;(3)设直线AB与y轴的交点为C,∴C(0,3),∵S△AOC3×1,∴S△AOB=S△AOC+S△BOC3×14,∵S△AOP:S△BOP=1:2,∴S△AOP,∴S△COP1,∴3•xP=1,∴xP,∵点P在线段AB上,∴y3,∴P(,).4.(9分)(2016•广东)如图,在直角坐标系中,直线y=kx+1(k≠0)与双曲线y(x>0)相交于点P(1,m ).(1)求k的值;(2)若点Q与点P关于直线y=x成轴对称,则点Q的坐标是Q( 2,1 );(3)若过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,),求该抛物线的函数解析式,并求出抛物线的对称轴方程.解:(1)∵直线y=kx+1与双曲线y(x>0)交于点P(1,m),∴m=2,把P(1,2)代入y=kx+1得:k+1=2,解得:k=1;(2)连接PO,QO,PQ,作PA⊥y轴于A,QB⊥x轴于B,则PA=1,OA=2,∵点Q与点P关于直线y=x成轴对称,∴直线y=x垂直平分PQ,∴OP=OQ,∴∠POA=∠QOB,在△OPA与△OQB中,,∴△POA≌△QOB,∴QB=PA=1,OB=OA=2,∴Q(2,1);故答案为:2,1;(3)设抛物线的函数解析式为y=ax2+bx+c,∵过P、Q二点的抛物线与y轴的交点为N(0,),∴,解得:,∴抛物线的函数解析式为yx2+x,∴对称轴方程x.3年模拟1.(2020•新会区一模)若函数y(k≠0)的图象过点(4,﹣7),那么它一定还经过点( C )A.(4,7) B.(﹣4,﹣7) C.(﹣4,7) D.(3,﹣7)2.(2020•增城区一模)若点A(﹣1,y1),B(2,y2),C(3,y3)在反比例函数y(k<0)的图象上.则y1、y2、y3的大小关系是( D )A.y1>y2>y3 B.y3>y2>y1 C.y2>y3>y1 D.y1>y3>y23.(2020•广州模拟)如图,正比例函数y=ax的图象与反比例函数y的图象相交于A,B两点,其中点A的横坐标为2,则不等式ax的解集为( B)A.x<﹣2或x>2 B.x<﹣2或0<x<2 C.﹣2<x<0或0<x<2D.﹣2<x<0或x>24.(2020•深圳模拟)已知双曲线y的图象如图所示,则函数y=ax2与y=ax+b的图象大致是( A )A. B.C. D.5.(2020•揭西县模拟)反比例函数y的图象在每个象限内y的值随着x的逐渐增大而增大,那么k的取值范围是 k>1 .6.(2020•顺德区模拟)平行四边形ABCD的三个顶点坐标是A(﹣9,0)、B(﹣3,0)、C(0,4).若某反比例函数的图象经过线段CD的中点,则其解析式为 y .7.(2020•东莞市一模)如图,两个全等的等腰直角三角形按如图方式放置在平面直角坐标系中,OA在x轴上,已知∠COD=∠OAB=90°,OC,反比例函数y的图象经过点B.(1)求反比例函数的解析式;(2)把△OCD沿射线OB移动,当点D落在y图象上的D'时,求点D'的坐标.解:(1)∵△AOB和△COD为全等三的等腰直角三角形,OC,∴AB=OA=OC=OD,∴点B坐标为(,),代入y得k=2;(2)由平移性质可知DD′∥OB,过D′作D′E⊥x轴于点E,交DC于点F,设CD交y轴于点M,如图,∵OC=OD,∠AOB=∠COM=45°,∴OM=MC=MD=1,∴D坐标为(﹣1,1),设D′横坐标为t,则OE=MF=t,∴D′F=DF=t+1,∴D′E=D′F+EF=t+2,∴D′(t,t+2),∵D′在反比例函数图象上,∴t(t+2)=2,解得t1或t1(舍去),∴D′(1,1).8.(2020•天河区模拟)反比例函数(k为常数.且k≠0)的图象经过点A(1,3),B(3,m).(1)求反比例函数的解析式及B点的坐标;(2)在x轴上找一点P.使PA+PB的值最小,①求满足条件的点P的坐标;②求△PAB的面积.解:(1)把A(1,3)代入y得,k=3,∴反比例函数的关系式为:y;把B(3,m)代入y得,m=1,∴点B的坐标为(3,1);(2)①如图所示,作点B关于x轴的对称点B′,则B′(3,﹣1),连接AB′交x轴于点P点,此时PA+PB最小.设直线AB′的关系式为y=kx+b,把A(1,3),B′(3,﹣1)代入得,,解得,,∴直线AB′的关系式为y=﹣2x+5,当y=0时,x,即:P(,0),得OP;②S△PAB=S梯形ABNM﹣S△AMP﹣S△BPN(1+3)×2(1)×3(3)×1.9.(2020•顺德区模拟)如图,已知点D在反比例函数y的图象上,过点D作DB⊥y轴,垂足为B(0,3),直线y=kx+b经过点A(5,0),与y轴交于点C,且BD=OC,OC:OA=2:5.(1)求反比例函数y和一次函数y=kx+b的表达式;(2)连结AD,求∠DAC的正弦值.解:(1)∵BD=OC,OC:OA=2:5,点A(5,0),点B(0,3),∴OA=5,OC=BD=2,OB=3,又∵点C在y轴负半轴,点D在第二象限,∴点C的坐标为(0,﹣2),点D的坐标为(﹣2,3).∵点D(﹣2,3)在反比例函数的图象上,∴a=﹣2×3=﹣6,∴反比例函数的表达式为.将A(5,0)、C(0,﹣2)代入y=kx+b,得,解得:,∴一次函数的表达式为.(2)∵OA=BC=5,OC=BD=2,∠DBC=∠AOC=90°,∴△BDC≌△OCA(SAS),∴∠DCB=∠OAC,DC=CA,∴∠DCA=90°,∴△DCA是等腰直角三角形,∴∠DAC=45°,∴.10.(2020•潮州模拟)如图,直线y=﹣x+3与双曲线y(k<0)的图象相交于点A和点C,点A的坐标为(﹣1,a),点C的坐标为(b,﹣1).(1)求a的值和反比例函数的解析式;(2)求b的值,并写出在y轴右侧,使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围;(3)如图,直线y=﹣x+3与x轴相交于点B,在x轴上存在点D,使得△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求点D的坐标.解:(1)把(﹣1,a)代入y=﹣x+3得a=4,∴A(﹣1,4),把A(﹣1,4)代入得,解得:k=﹣4,∴反比例函数的解析式为;(2)把(b,﹣1)代入得,∴b=4,∴C(4,﹣1);在y轴右侧,使得反比例函数大于一次函数的值的x的取值范围为:x>4;(3)如图:过点C作CH⊥x轴于点H,把y=0代入y=﹣x+3得x=3,∴B(3,0),∵C(4,﹣1),∴CH=1,BH=4﹣3=1,∴在Rt△BCH中,,当BC=BD时,或,当BC=DC时,如图,∵CH⊥BD,∴BH=HD=1,∴OD=OH+HD=4+1=5,∴D(5,0),综上所述,D(3,0)或(3,0)或(5,0).11.(2020•天河区一模)如图,直线AD与x轴交于点C,与双曲线y交于点A,AB⊥x轴于点B(4,0),点D的坐标为(0,﹣2).(1)求直线AD的解析式;(2)若x轴上存在点M(不与点C重合),使得△AOC和△AOM相似,求点M的坐标.解:(1)把x=4代入y得到y=2,∴A(4,2),设直线AD的解析式为y=kx+b,则有,解得.∴直线AD的解析式为y=x﹣2.(2)对于直线y=x﹣2,令y=0,得到x=2,∴C(2,0),∴OC=2,∵A(4,2),∴OA2,在△AOC中,∠ACO是钝角,若M在x轴的负半轴上时,∠AOM>∠ACO,因此两三角形不可能相似,所以点M只能在x轴的正半轴上,设OM=m,∵M与C不重合,∴△AOC∽△AOM不合题意舍弃,∴当,即时,△AOC∽△MOA,解得m=10,∴点M的坐标为(10,0),当M′在x轴的负半轴上时,同法可得M′(﹣2,0).综上所述,满足条件的M的坐标为(10,0)或(﹣2,0).