初中数学 章节三角形初步知识涉及的20个必考点全梳理 学案

三角形的三边关系
掌握三角形两边的和大于第三边，三角形两边的差小于第三边是解题关键.
例题1 4根小木棒的长度分别为2cm，3cm，4cm和5cm．用其中3根搭三角形，可以搭出不同三角形的个数是（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】先写出不同的分组，再根据三角形的任意两边之和大于第三边对各组数据进行判断即可得解．
【解析】任取3根可以有一下几组：
①2cm，3cm，4cm，能够组成三角形，
②2cm，3cm，5cm，∵2+3＝5，∴不能组成三角形；
③2cm，4cm，5cm，能组成三角形，
③3cm，4cm，5cm，能组成三角形，
∴可以搭出不同的三角形3个．选C．
【小结】本题考查了三角形的三边关系，按照一定的顺序进行分组才能做到不重不漏．

变式1 长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论．
【解析】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5；
②长度分别为2、6、4，不能构成三角形；
③长度分别为2、7、3，不能构成三角形；
④长度分别为6、3、3，不能构成三角形；
综上所述，得到三角形的最长边长为5．选B．
【小结】本题考查了三角形的三边关系，利用了三角形中三边的关系求解．注意分类讨论，不重不漏．

变式2 已知a，b，c是一个三角形的三边长，化简|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝　 　．
【分析】根据三角形三边关系得a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，再去绝对值，合并同类项即可求解．
【解析】∵a，b，c是一个三角形的三条边长，∴a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0，
|a+c﹣b|﹣|b﹣c+a|﹣|a﹣b﹣c|＝a+c﹣b﹣b+c﹣a+a﹣b﹣c＝a﹣3b+c，
【小结】考查三角形三边关系，绝对值性质，整式加减，关键是得到a+c﹣b＞0，b﹣c+a＞0，a﹣b﹣c＜0
变式3 △ABC三边的长a、b、c均为整数，a＞b＞c，a＝8，则满足条件的三角形共有　 　个．
【分析】结合三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”和已知条件，进行分析．
【解析】根据已知条件和三角形的三边关系，得
当a＝8，b＝7时，则c＝6或5或4或3或2；
当a＝8，b＝6时，则c＝5或4或3；
当a＝8，b＝5时，则c＝4．
则满足条件的三角形共有9个．
故答案为：9．
【小结】考查了三角形三边关系，此题要能够把已知条件和三角形的三边关系结合起来考虑．

必考点1 三角形中“三线”概念辨析
解决此类问题的关键是掌握三角形的角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
例题2 下列说法错误的是（　　）
A．三角形的高、中线、角平分线都是线段
B．三角形的三条中线都在三角形内部
C．锐角三角形的三条高一定交于同一点
D．三角形的三条高、三条中线、三条角平分线都交于同一点
【分析】根据三角形角平分线，中线，线段的定义；根据三角形的三条中线都在三角形内部；三角形的三条角平分线都在三角形内部；三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上进行判断．
【解析】A、三角形的高、中线、角平分线都是线段，故正确；
B、三角形的三条中线都在三角形内部，故正确；
C、锐角三角形的三条高一定交于同一点，故正确；
D、三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于一点，高线指的是线段，故错误．选D．
【小结】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
变式4 下列说法中错误的是（　　）
A．三角形三条高至少有一条在三角形的内部
B．三角形三条中线都在三角形的内部
C．三角形三条角平分线都在三角形的内部
D．三角形三条高都在三角形的内部
【分析】根据三角形中线，角平分线和高线的定义以及在三角形的位置对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解析】A、三角形三条高至少有一条在三角形的内部，故正确；
B、三角形三条中线都在三角形的内部，故正确；
C、三角形三条角平分线都在三角形的内部，故正确．
D、直角三角形有两条高就是直角三角形的边，一条在内部，钝角三角形有两条高在外部，一条在内部，故错误．选D．
【小结】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，是基础题，熟记概念以及在三角形中的位置是解题的关键．

变式5 如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列说法中错误的是（　　）

A．BF＝CF B．∠C+∠CAD＝90°
C．∠BAF＝∠CAF D．S△ABC＝2S△ABF
【分析】根据三角形的角平分线、中线和高的概念判断．
【解析】∵AF是△ABC的中线，∴BF＝CF，A说法正确，不符合题意；
∵AD是高，∴∠ADC＝90°，
∴∠C+∠CAD＝90°，B说法正确，不符合题意；
∵AE是角平分线，∴∠BAE＝∠CAE，C说法错误，符合题意；
∵BF＝CF，∴S△ABC＝2S△ABF，D说法正确，不符合题意；选C．
【小结】本题考查的是三角形的角平分线、中线和高，掌握它们的概念是解题的关键．


变式6 如图，△ABC中，∠1＝∠2，G为AD中点，延长BG交AC于E，F为AB上一点，且CF⊥AD于H，下列判断，其中正确的个数是（　　）
①BG是△ABD中边AD上的中线；
②AD既是△ABC中∠BAC的角平分线，也是△ABE中∠BAE的角平分线；
③CH既是△ACD中AD边上的高线，也是△ACH中AH边上的高线．

A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据三角形的高，中线，角平分线的定义可知．
【解析】①G为AD中点，所以BG是△ABD边AD上的中线，故正确；
②因为∠1＝∠2，所以AD是△ABC中∠BAC的角平分线，AG是△ABE中∠BAE的角平分线，故错误；
③因为CF⊥AD于H，所以CH既是△ACD中AD边上高线，也是△ACH中AH边上高线，故正确．选C．
【小结】熟记三角形的高，中线，角平分线是解决此类问题的关键．

必考点2 三角形中线的应用（面积问题）
解决此类问题的关键是三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．
例题3 如图，△ABC中，点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．6 B．4 C．3 D．2
【分析】根据S△ABC＝12和点D是AB边上的中点，点E是BC边上的中点，即可得到△DEC的面积，从而可以解答本题．
【解析】∵S△ABC＝12，点D是AB边上的中点，∴S△ACD＝S△BCD＝6，
又∵点E是BC边上的中点，∴S△BDE＝S△CDE＝3，即阴影部分的面积是3，选C．
【小结】本题考查三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

变式7 如图，在△ABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，EF＝2FC，若△ABC的面积为12cm2，则△BEF的面积为（　　）

A．2cm2 B．3cm2 C．4cm2 D．5cm2
【分析】根据三角形的中线平分三角形的面积，可得△ABE、△DBE、△DCE、△AEC的面积相等，从而计算△BEC的面积，根据EF＝2FC，可得结论．
【解析】∵D是BC的中点，∴S△ABD＝S△ADC（等底等高的三角形面积相等），
∵E是AD的中点，∴S△ABE＝S△BDE，S△ACE＝S△CDE（等底等高的三角形面积相等），
∴S△ABE＝S△DBE＝S△DCE＝S△AEC，∴S△BEC=12S△ABC＝6cm2．
∵EF＝2FC，∴S△BEF=23S△BCE，∴S△BEF=23S△BEC＝4cm2．选C．
【小结】此题考查了三角形的面积，根据三角形中线将三角形的面积分成相等的两部分解答．
变式8 如图，在△ABC中，点D，E，F分别在三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF交于一点G，BD＝2DC，S△BGD＝16，S△AGE＝6，则△ABC的面积是（　　）

A．42 B．48 C．54 D．60
【分析】根据两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比，求出S△CGD，S△CGE的大小，进而求出S△BCE的大小；然后根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，用S△BCE的面积乘以2，求出△ABC的面积即可．
【解析】∵BD＝2DC，∴S△CGD=12S△BGD=12×16＝8；
∵E是AC的中点，∴S△CGE＝S△BGE＝6，∴S△BCE＝S△BGD+S△CGD+S△CGE＝16+8+6＝30
∴△ABC的面积是：30×2＝60．选D．
【小结】此题主要考查了三角形的面积的求法，以及三角形的中线的特征，解答此题的关键是要明确：三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分；两个三角形的高相同时，面积的比等于它们的底边的比．

变式9 如图，△ABC的三边的中线AD，BE，CF的公共点为G，且AG：GD＝2：1，若S△ABC＝12，则图中阴影部分的面积是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据三角形中线把三角形的面积分成相等的两部分，知△ABC的面积即为阴影部分的面积的3倍．
【解析】∵△ABC的三条中线AD、BE，CF交于点G，AG：GD＝2：1，∴AE＝CE，
∴S△CGE＝S△AGE=13S△ACF，S△BGF＝S△BGD=13S△BCF，
∵S△ACF＝S△BCF=12S△ABC=12×12＝6，∴S△CGE=13S△ACF=13×6＝2，S△BGF=13S△BCF=13×6＝2，
∴S阴影＝S△CGE+S△BGF＝4．选B．
【小结】本题考查了三角形的面积，三角形中线的性质，正确的识别图形是解题的关键．
必考点3 三角形中线的应用（周长问题）
解决此类问题的关键是掌握三角形的中线将所在边分成两条相等的线段，利用线段之间的等量代换或方程思想即可解决周长问题．
例题4 如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为11，则△BCD的周长是（　　）

A．9 B．14 C．16 D．不能确定
【分析】根据三角形的中线得出AD＝CD，根据三角形的周长求出即可．
【解析】∵BD是△ABC的中线，∴AD＝CD，
∵△ABD的周长为11，AB＝5，BC＝3，∴△BCD的周长是11﹣（5﹣3）＝9，选A．
【小结】本题主要考查对三角形的中线的理解和掌握，能正确地进行计算是解此题的关键．

变式10 在△ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比△ABD的周长多3，AB与AC的和为13，则AC的长为（　　）
A．7 B．8 C．9 D．10
【分析】根据三角形的中线的定义得到BD＝DC，根据三角形的周长公式得到AC﹣AB＝3，根据题意列出方程组，解方程组得到答案．
【解析】∵AD是BC边上的中线，∴BD＝DC，
由题意得，（AC+CD+AD）﹣（AB+BD﹣AD）＝3，
整理得，AC﹣AB＝3，则AC-AB=3AC+AB=13，解得，AC=8AB=5，选B．

【小结】本题考查的是三角形的中线的概念，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．

变式11 已知AD是△ABC的中线，若△ABD与△ACD的周长分别是14和12．△ABC的周长是20，则AD的长为　 　．
【分析】根据三角形的周长公式列式计算即可得解．
【解析】∵△ABD与△ACD的周长分别是14和12，
∴AB+BC+AC+2AD＝14+12＝26，
∵△ABC的周长是20，∴AB+BC+AC＝20，
∴2AD＝26﹣20＝6，∴AD＝3
【小结】本题考查了三角形的\中线和高，熟记三角形的周长公式是解题的关键．

变式12 如图，在△ABC中（AC＞AB），AC＝2BC，BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，求AC和AB的长．

【分析】先根据AD是BC边上的中线得出BD＝CD，设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝4x，根据题意得出方程组，求出方程组的解，再根据三角形的三边关系定理判断即可．
【解析】设BD＝CD＝x，AB＝y，则AC＝2BC＝4x，
∵BC边上的中线AD把△ABC的周长分成60和40两部分，AC＞AB，
∴AC+CD＝60，AB+BD＝40，
即4x+x=60x+y=40，解得：x=12y=28，
当AB＝28，BC＝24，AC＝48时，符合三角形三边关系定理，能组成三角形，
所以AC＝48，AB＝28．
【小结】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，等得出方程组是解此题的关键．
必考点4 命题与证明
例题5 如图，有以下四个条件：①AC∥DE，②DC∥EF，③CD平分∠BCA，④EF平分∠BED．
（1）若CD平分∠BCA，AC∥DE，DC∥EF，求证：EF平分∠BED．
（2）除（1）外，请再选择四个条件中的三个作为题设，余下的一个作为结论，写出一个真命题，再给予证明．

【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠BCD＝∠ACD，根据平行线的性质定理证明结论；
（2）根据题意写出一个真命题，仿照（1）的证明过程证明结论．
【解答】（1）证明：∵CD平分∠BCA，∴∠BCD＝∠ACD，
∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BEF＝∠DEF，即EF平分∠BED．
（2）解：如果EF平分∠BED，AC∥DE，DC∥EF，那么CD平分∠BCA．
证明：∵EF平分∠BED，∴∠BEF＝∠DEF，
∵DC∥EF，∴∠BCD＝∠BEF，∠DEF＝∠CDE，
∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠CDE，∴∠BCD＝∠ACD，即EF平分∠BED．
【小结】本题考查的是平行线性质、角平分线的定义，掌握平行线的性质定理是解题的关键．

变式13 图形的世界丰富且充满变化，用数学的眼光观察它们，奇妙无比．
（1）如图，EF∥CD，数学课上，老师请同学们根据图形特征添加一个关于角的条件，使得∠BEF＝∠CDG，并给出证明过程．
小丽添加的条件：∠B+∠BDG＝180°．
请你帮小丽将下面的证明过程补充完整．
证明：∵EF∥CD（已知）
∴∠BEF＝　 　（　 　）
∵∠B+∠BDG＝180°（已知）
∴BC∥　 　（　 　）
∴∠CDG＝　 　（　 　）
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）
（2）拓展：如图，请你从三个选项①DG∥BC，②DG平分∠ADC，③∠B＝∠BCD中任选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明．
①条件：　 　，结论：　 　（填序号）．
②证明： 　．

【分析】（1）根据平行线的判定定理和性质定理解答；
（2）根据真命题的概念写出命题的条件和结论，根据平行线的判定定理和性质定理、角平分线的定义解答．
【解答】（1）证明：∵EF∥CD（已知），∴∠BEF＝∠BCD（两直线平行，同位角相等），
∵∠B+∠BDG＝180°（已知），∴BC∥DG（同旁内角互补，两直线平行），
∴∠CDG＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），
∴∠BEF＝∠CDG（等量代换）；
（2）①条件：DG∥BC，∠B＝∠BCD，
结论：DG平分∠ADC，
②证明：∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，
∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
故答案为：（1）∠BCD；两直线平行，同位角相等；DG；同旁内角互补，两直线平行；∠BCD；两直线平行，内错角相等；
（2）①、①③；②，
∵DG∥BC，∴∠ADG＝∠B，∠CDG＝∠BCD，
∵∠B＝∠BCD，∴∠ADG＝∠CDG，即DG平分∠ADC．
【小结】本题考查的是命题的真假判断、平行线的判定和性质，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式14 （1）读读做做：
平行线是平面几何中最基本、也是非常重要的图形．在解决某些平面几何问题时，若能依据问题的需要，添加恰当的平行线，往往能使证明顺畅、简洁．
请根据上述思想解决教材中的问题：
如图①，AB∥CD，则∠B+∠D　 　∠E（用“＞”、“＝”或“＜”填空）；
（2）倒过来想：
写出（1）中命题的逆命题，判断逆命题的真假并说明理由．
（3）灵活应用
如图②，已知AB∥CD，在∠ACD的平分线上取两个点M、N，使得∠AMN＝∠ANM，求证：∠CAM＝∠BAN．

【分析】（1）过E作EF∥AB，则EF∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，即可得出结论；
（2）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（3）过点N作NG∥AB，交AM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠AMN＝∠ACM+∠CAM，证出∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，得出∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，由角平分线得出∠ACM＝∠NCD，即可得出结论．
【解答】（1）过E作EF∥AB，如图①所示：则EF∥AB∥CD，
∴∠B＝∠BEF，∠D＝∠DEF，
∴∠B+∠D＝∠BEF+∠DEF，即∠B+∠D＝∠BED；
（2）逆命题为：若∠B+∠D＝∠BED，则AB∥CD；
该逆命题为真命题；理由如下：
过E作EF∥AB，如图①所示：则∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠D＝∠BED，∠BEF+∠DEF＝∠BED，
∴∠D＝∠BED﹣∠B，∠DEF＝∠BED﹣∠BEF，
∴∠D＝∠DEF，∴EF∥CD，
∵EF∥AB，∴AB∥CD；
（3）证明：过点N作NG∥AB，交AM于点G，如图②所示：则NG∥AB∥CD，
∴∠BAN＝∠ANG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠AMN是△ACM的一个外角，∴∠AMN＝∠ACM+∠CAM，
又∵∠AMN＝∠ANM，∠ANM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠ANG+∠GNC，
∴∠ACM+∠CAM＝∠BAN+∠NCD，
∵CN平分∠ACD，∴∠ACM＝∠NCD，∴∠CAM＝∠BAN．


【小结】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．

变式15 在数学课本中，有这样一道题：
如图1，AB∥CD，试用不同的方法证明∠B+∠C＝∠BEC
（1）某同学写出了该命题的逆命题，请你帮他把逆命题的证明过程补充完整．
已知：如图1，∠B+∠C＝∠BEC
求证：AB∥CD
证明：如图2，过点E，作EF∥AB
∴∠B＝∠　 　
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知）
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换）
∴∠　 　＝∠　 　（等式性质）
∴EF∥　 　
∵EF∥AB
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
（2）如图3，已知AB∥CD，在∠BCD的平分线上取两个点M、N，使得∠BMN＝∠BNM，求证：∠CBM＝∠ABN．
（3）如图4，已知AB∥CD，点E在BC的左侧，∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F．请直接写出∠E与∠F之间的等量关系．

【分析】（1）过E作EF∥AB，则∠B＝∠BEF，证出∠D＝∠DEF，得出EF∥CD，即可得出结论；
（2）过点N作NG∥AB，交BM于点G，则NG∥AB∥CD，由平行线的性质得出∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，由三角形的外角性质得出∠BMN＝∠BCM+∠CBM，证出∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，得出∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，由角平分线得出∠BCM＝∠NCD，即可得出结论；
（3）如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
根据平行线的性质和角平分线的定义即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图2，过点E，作EF∥AB，
∴∠B＝∠BEF，
∵∠B+∠C＝∠BEC，∠BEF+∠FEC＝∠BEC（已知），
∴∠B+∠C＝∠BEF+∠FEC（等量代换），
∴∠C＝∠CEF（等式性质），
∴EF∥CD，
∵EF∥AB，
∴AB∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）
故答案为：BEF，C，CEF，CD；
（2）证明：过点N作NG∥AB，交BM于点G，如图3所示：
则NG∥AB∥CD，
∴∠ABN＝∠BNG，∠GNC＝∠NCD，
∵∠BMN是△BCM的一个外角，
∴∠BMN＝∠BCM+∠CBM，
又∵∠BMN＝∠BNM，∠BNM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠BNG+∠GNC，
∴∠BCM+∠CBM＝∠ABN+∠NCD，
∵CN平分∠BCD，
∴∠BCM＝∠NCD，
∴∠CBM＝∠ABN；
（3）∠BEC＝2∠BFC，
理由：如图4，分别过E，F作EG∥AB，FH∥AB，则EG∥CD，FH∥CD，
∴∠BEG＝∠ABE，∠CEG＝∠DCE，
∴∠BEC＝∠BEG+∠CEG＝∠ABE+∠DCE，
同理可得∠BFC＝∠ABF+∠DCF，
∵∠ABE，∠DCE的平分线相交于点F，
∴∠ABE＝2∠ABF，∠DCE＝2∠DCF，
∴∠BEC＝2（∠ABF+∠DCF）＝2∠BFC．



【小结】本题考查了命题与定理、平行线的性质与判定、逆命题、三角形的外角性质、角平分线定义等知识；熟练掌握平行线的判定与性质，作出辅助平行线是解决问题的关键．
必考点5 有关高线和角平分线的角度计算
例题6 如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝38°，∠C＝64°．

（1）求∠DAE的度数；
（2）如图②，若把“AE⊥BC”变成“点F在DA的延长线上，FE⊥BC”，∠B＝α，∠C＝β（α＜β），请用α、β的代数式表示∠DFE．
【分析】（1）求出∠ADE的度数，利用∠DAE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．
（2）求出∠ADE的度数，利用∠DFE＝90°﹣∠ADE即可求出∠DAE的度数．
【解析】（1）∵∠B＝38°，∠C＝64°，∴∠BAC＝78°，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝39°，∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝77°，
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DAE＝90°﹣∠ADE＝13°．
（2）∵B＝α，∠C＝β，∴∠BAC＝180°﹣α﹣β，
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD＝90°-12（α+β），
∴∠ADE＝∠B+∠BAD＝α+90°-12（α+β），
∵AE⊥BC，∴∠AEB＝90°，∴∠DFE＝90°﹣∠ADE=12（β﹣α）．
【小结】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键．
变式16 如图，在△ABC中，∠B＜∠ACB，AD平分∠BAC，P为线段AD上的一个动点，PE⊥AD交直线BC于点E．
（1）若∠B＝35°，∠ACB＝85°，求∠E的度数；
（2）当点P在线段AD上运动时，求证：∠E=12(∠ACB-∠B)．

【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得∠BAC的度数，再根据角平分线的定义求得∠DAC的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出∠ADC的度数，进一步求得∠E的度数；
（2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系．
【解答】（1）∵∠B＝35°，∠ACB＝85°，∴∠BAC＝60°．
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝30°．∴∠ADC＝65°．
又∵∠DPE＝90°，∴∠E＝25°
（2）证明：∵∠B+∠BAC+∠ACB＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣（∠B+∠ACB）．
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠ACB）．
∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝90°-12（∠ACB﹣∠B）．
∵PE⊥AD，∴∠DPE＝90°．∴∠ADC+∠E＝90°．∴∠E＝90°﹣∠ADC，
即∠E=12（∠ACB﹣∠B）．
【小结】此题考查三角形的内角和定理以及角平分线的定义．掌握三角形的内角和为180°，以及角平分线的性质是解决问题的关键．
变式17 如图，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B＝50°，∠ACB＝80°．点F在BC的延长线上，FG⊥AE，垂足为H，FG与AB相交于点G．
（1）求∠AGF的度数；
（2）求∠DAE的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论；
（2）根据垂直的定义得到∠ADB＝90°，根据三角形的内角定理即可得到结论．
【解析】（1）∵∠B＝50°，∠ACB＝80°，
∴∠BAC＝180°﹣50°﹣80°＝50°，
∵AE是∠BAC的角平分线，∴∠BAE=12∠BAC=25°，
∵FG⊥AE，∴∠AHG＝90°，∴∠AGF＝180°﹣90°﹣25°＝65°；
（2）∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE＝50°+25°＝75°，∴∠DAE＝180°﹣∠AED﹣∠ADE＝15°．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，垂直的定义，角平分线的定义，正确的识别图形是解题的关键．

变式18 △ABC中，AD是∠BAC的角平分线，AE是△ABC的高．
（1）如图1，若∠B＝40°，∠C＝62°，请说明∠DAE的度数；
（2）如图2（∠B＜∠C），试说明∠DAE、∠B、∠C的数量关系；
（3）如图3，延长AC到点F，∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，求∠G的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（2）根据三角形的内角和定理，可求得∠BAC的度数，由AD是∠BAC的平分线，可得∠DAC的度数；在直角△AEC中，可求出∠EAC的度数，所以∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC，即可得出；
（3）设∠ACB＝α，根据角平分线的定义得到∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=12∠BCF=12（180°﹣α）＝90°-12α，根据三角形的内角和即可得到结论．
【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝62°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣62°＝78°，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝39°，
∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C＝90°﹣62°＝28°，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝39°﹣28°＝11°；
（2）∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C，
∵AD是∠BAC的平分线，∴∠DAC=12∠BAC＝90°-12（∠B+∠C），
∵AE是BC边上的高，在直角△AEC中，∵∠EAC＝90°﹣∠C，
∴∠DAE＝∠DAC﹣∠EAC＝90°-12（∠B+∠C）﹣（90°﹣∠C）=12（∠C﹣∠B）；
（3）设∠ACB＝α，∵AE⊥BC，∴∠EAC＝90°﹣α，∠BCF＝180°﹣α，
∵∠CAE和∠BCF的角平分线交于点G，
∴∠CAG=12∠EAC=12（90°﹣α）＝45°-12α，∠BCG=12∠BCF=12（180°﹣α）＝90°-12α，
∴∠G＝180°﹣∠GAC﹣∠ACG＝180°﹣（45°-12α）﹣α﹣（90°-12α）＝45°．
【小结】本题考查的是三角形的内角和定理，三角形的高、角平分线的性质，学生应熟练掌握三角形的高、中线和角平分线这些基本知识，能灵活运用解决问题．
必考点6 三角形的内角和及外角的性质（双角平分线）
例题7 某校七年级数学兴趣小组对“三角形内角或外角平分线的夹角与第三个内角的数量关系”进行了探究．
（1）如图1，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点P，∠A＝64°，则∠BPC＝　 　；
（2）如图2，△ABC的内角∠ACB的平分线与△ABC的外角∠ABD的平分线交于点E．其中∠A＝α，求∠BEC．（用α表示∠BEC）；
（3）如图3，∠CBM、∠BCN为△ABC的外角，∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，请你写出∠BQC与∠A的数量关系，并说明理由．
（4）如图4，△ABC外角∠CBM、∠BCN的平分线交于点Q，∠A＝64°，∠CBQ，∠BCQ的平分线交于点P，则∠BPC＝　 　°，延长BC至点E，∠ECQ的平分线与BP的延长线相交于点R，则∠R＝　 °．

【分析】（1）根据三角形的内角和角平分线的定义；
（2）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用∠A与∠1表示出∠2，再利用∠E与∠1表示出∠2，于是得到结论；
（3）根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和以及角平分线的定义表示出∠EBC与∠ECB，然后再根据三角形的内角和定理列式整理即可得解；
（4）结合（1）（2）（3）的解析即可求得．
【解析】（1）∵PB、PC分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠PBC=12∠ABC，∠PCB=12∠ACB（角平分线的性质），
∴∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°（三角形内角和定理），
∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）
＝180°﹣（ 12∠ABC+12∠ACB）＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠A）
＝180°﹣90°+12∠A＝90°+12∠A＝90°+12×64°＝122°．
（2）∵BE是∠ABD的平分线，CE是∠ACB的平分线，
∴∠ECB=12∠ACB，∠ECD=12∠ABD．
∵∠ABD是△ABC的外角，∠EBD是△BCE的外角，
∴∠ABD＝∠A+∠ACB，∠EBD＝∠ECB+∠BEC，
∴∠EBD=12∠ABD=12（∠A+∠ACB）＝∠BEC+∠ECB，即12∠A+∠ECB＝∠ECB+∠BEC，
∴∠BEC=12∠A=12α；

（3）结论∠BQC＝90°-12∠A．
∵∠CBM与∠BCN是△ABC的外角，
∴∠CBM＝∠A+∠ACB，∠BCN＝∠A+∠ABC，
∵BQ，CQ分别是∠ABC与∠ACB外角的平分线，
∴∠QBC=12（∠A+∠ACB），∠QCB=12（∠A+∠ABC）．
∵∠QBC+∠QCB+∠BQC＝180°，∴∠BQC＝180°﹣∠QBC﹣∠EQB，
＝180°-12（∠A+∠ACB）-12（∠A+∠ABC），
＝180°-12∠A-12（∠A+∠ABC+∠ACB），＝180°-12∠A﹣90°＝90°-12∠A；
（4）由（3）可知，∠BQC＝90°-12∠A＝90°-12×64°=58°，
由（1）可知∠BPC＝90°+12∠BQC＝90°+12×58°=119°；
由（2）可知，∠R=12∠BQC＝29°
【小结】本题考查了三角形的外角性质与内角和定理，熟记三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
变式19 阅读下面的材料，并解决问题．
（1）已知在△ABC中，∠A＝60°，图1﹣3的△ABC的内角平分线或外角平分线交于点O，请直接求出下列角度的度数．

如图1，∠O＝　 　；如图2，∠O＝　 　；如图3，∠O＝　 　；
如图4，∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2，连接O1O2，则∠BO2O1＝　 　．
（2）如图5，点O是△ABC两条内角平分线的交点，求证：∠O＝90°+12∠A．
（3）如图6，△ABC中，∠ABC的三等分线分别与∠ACB的平分线交于点O1，O2，若∠1＝115°，∠2＝135°，求∠A的度数．
【分析】（1）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是内角平分线或外角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进而可求得答案；
（2）由∠A的度数，在△ABC中，可得∠ABC与∠ACB的和，又BO、CO是角平分线，利用角平分线的定义及三角形内角和定理可证得结论；
（3）先分别求出∠ABC与∠ACB的度数，即可求得∠A的度数．
【解析】（1）如图1，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB
∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°﹣∠BAC）=12（180°﹣60°）＝60°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝120°；
如图2，

∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCD=12∠ACD
∵∠ACD＝∠ABC+∠A，∴∠OCD=12（∠ABC+∠A）
∵∠OCD＝∠OBC+∠O，
∴∠O＝∠OCD﹣∠OBC=12∠ABC+12∠A-12∠ABC=12∠A＝30°
如图3，

∵BO平分∠EBC，CO平分∠BCD
∴∠OBC=12∠EBC，∠OCB=12∠BCD
∴∠OBC+∠OCB=12（∠EBC+∠BCD）=12（∠A+∠ACB+∠BCD）=12（∠A+180°）=12（60°+180°）＝120°
∴∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝60°
如图4，

∵∠ABC，∠ACB的三等分线交于点O1，O2
∴∠O2BC=23∠ABC，∠O2CB=23∠ACB，O1B平分∠O2BC，O1C平分∠O2CB，O2O1平分BO2C
∴∠O2BC+∠O2CB
=23（∠ABC+∠ACB）
=23（180°﹣∠BAC）
=23（180°﹣60°）
＝80°
∴∠BO2C＝180°﹣（∠O2BC+∠O2CB）＝100°
∴∠BO2O1=12∠BO2C＝50°
故答案为：120°，30°，60°，50°；
（2）证明：∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，
∠O＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）
＝180°-12（∠ABC+∠ACB）
＝180°-12（180°﹣∠A）
＝90°+12∠A．
（3）∵∠O2BO1＝∠2﹣∠1＝20°
∴∠ABC＝3∠O2BO1＝60°，∠O1BC＝∠O2BO1＝20°
∴∠BCO2＝180°﹣20°﹣135°＝25°
∴∠ACB＝2∠BCO2＝50°
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝70°
或由题意，设∠ABO2＝∠O2BO1＝∠O1BC＝α，∠ACO2＝∠BCO2＝β，
∴2α+β＝180°﹣115°＝65°，α+β＝180°﹣135°＝45°
∴α＝20°，β＝25°
∴∠ABC+∠ACB＝3α+2β＝60°+50°＝110°，
∴∠A＝70°．
【小结】本题考查了利用角平分线的定义及三角形内角和定理、三角形的外角性质进行角的计算或证明，熟练掌握相关性质定理及其应用，是解题的关键．

变式20 如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．

（1）如果∠A＝80°，求∠BPC的度数；
（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的平分线交于点Q，试探索∠Q、∠A之间的数量关系．
（3）如图③，延长线段BP、QC交于点E，△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，请直接写出∠A的度数．
【分析】（1）运用三角形的内角和定理及角平分线的定义，首先求出∠ABC+∠ACB，进而求出∠BPC即可解决问题；
（2）根据三角形的外角性质分别表示出∠MBC与∠BCN，再根据角平分线的性质可求得∠CBQ+∠BCQ，最后根据三角形内角和定理即可求解；
（3）在△BQE中，由于∠Q＝90°-12∠A，求出∠E=12∠A，∠EBQ＝90°，所以如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况进行讨论：①∠EBQ＝3∠E＝90°；②∠EBQ＝3∠Q＝90°；③∠Q＝3∠E；④∠E＝3∠Q；分别列出方程，求解即可．
【解答】（1）∵∠A＝80°．
∴∠ABC+∠ACB＝100°，
∵点P是∠ABC和∠ACB的平分线的交点，
∴∠P＝180°-12（∠ABC+∠ACB）＝180°-12×100°＝130°，
（2）∵外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，
∴∠QBC+∠QCB=12（∠MBC+∠NCB）
=12（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
=12（180°+∠A）
＝90°+12∠A
∴∠Q＝180°﹣（90°+12∠A）＝90°-12∠A；
（3）延长BC至F，
∵CQ为△ABC的外角∠NCB的角平分线，
∴CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，
∴∠ACF＝2∠ECF，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABC＝2∠EBC，
∵∠ECF＝∠EBC+∠E，
∴2∠ECF＝2∠EBC+2∠E，
即∠ACF＝∠ABC+2∠E，
又∵∠ACF＝∠ABC+∠A，
∴∠A＝2∠E，即∠E=12∠A；
∵∠EBQ＝∠EBC+∠CBQ=12∠ABC+12∠MBC=12（∠ABC+∠A+∠ACB）＝90°．
如果△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，那么分四种情况：
①∠EBQ＝3∠E＝90°，则∠E＝30°，∠A＝2∠E＝60°；
②∠EBQ＝3∠Q＝90°，则∠Q＝30°，∠E＝60°，∠A＝2∠E＝120°；
③∠Q＝3∠E，则∠E＝22.5°，解得∠A＝45°；
④∠E＝3∠Q，则∠E＝67.5°，解得∠A＝135°．
综上所述，∠A的度数是60°或120°或45°或135°．

【小结】本题是三角形综合题，考查了三角形内角和定理、外角的性质，角平分线定义等知识；灵活运用三角形的内角和定理、外角的性质进行分类讨论是解题的关键．
变式21 （1）如图①，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分∠ACB，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（2）如图②，在锐角△ABC中，BD和BE三等分∠ABC，CD和CE三等分外角∠ACM，请分别写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系，并选择其中一个说明理由；
（3）如图③，在锐角△ABC中，BD和BE三等分外角∠PBC，CD和CE三等分外角∠QCB，请分别直接写出∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系．

【分析】（1）利用内角和定理求出∠ABC+∠ACB，利用三等分角求出∠EBC+∠ECB，然后列式计算即可
（2）根据三角形的外角等于和它不相邻的两个内角和，列式计算即可；
（3）根据三角形内角和、外角和定理，及平角定义，列式计算即可．
【解析】（1）∠D＝60°+23∠A，∠E＝120°+13∠A．
理由如下：∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，BE三等分，CE三等分∠ACB，
∴∠EBC=13∠ABC，∠ECB=13∠ACB，∴∠EBC+∠ECB=13（∠ABC+∠ACB）=13（180°﹣∠A）＝60°-13∠A，∴∠BEC＝180°﹣（∠EBC+∠ECB）＝180°﹣（60°-13∠A）＝120°+13∠A．
（2）∠A和∠D，∠A和∠E的数量关系为：∠D=23∠A，∠E=13∠A．
理由如下：∵BE三等分∠ABC，CE三等分外角∠ACM，
∴∠EBC=13∠ABC，∠ECM=13∠ACM，∴∠E＝∠ECM﹣∠EBC=13（∠ACM﹣∠ABC）=13∠A．
（3）∠D＝60°-23∠A，∠E＝120-13∠A．
理由如下：∵BE三等分外角∠PBC，CE三等分外角∠QCB，∴∠CBE=13∠CBP，∠BCE=13∠BCQ
∴∠E＝180°-13（∠CBP+∠BCQ）＝180°-13（360°﹣∠ABC﹣∠ACB）
＝180°﹣120°+13（180°﹣∠A）＝120-13∠A．
【小结】本题考查三角形外角的性质和三角形内角和定理，解决本题的关键是综合运用所学知识解决问题
必考点7 八字形中的角度计算
例题8 如图，AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∠B＝∠BDC＝45°，∠C＝51°，求∠E的度数．

【分析】根据平行线的判定和性质，角平分线的定义以及三角形的内角和定理即可得到结论．
【解析】∵∠B＝∠BDC＝45°，∴AB∥CD，∵∠C＝51°，∴∠BAC＝∠C＝51°，
∵AE，DE分别平分∠BAC和∠BDC，∴∠BAE=12∠BAC=51°2，∠EDB=12∠BDC=45°2，
∵∠AFB＝∠DFE，∴∠E＝∠B+∠BAE﹣∠BDE＝45°+51°2-45°2=48°．
【小结】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

变式22 如图1，AD、BC交于点O，得到的数学基本图形我们称之为‘8’字形ABCD．
（1）试说明：∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2，∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，尝试用（1）中的数学基本图形和结论，猜想∠E与∠A、∠C之间的数量关系并说明理由．

【分析】（1）利用三角形内角和定理证明即可．（2）利用（1）中结论，设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，可得∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，两式相加可得结论．
【解答】（1）证明：∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，
又∵∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D．
（2）结论：2∠E＝∠A+∠C．理由：∵∠ABC和∠ADC的平分线相交于E，
∴可以假设∠ABE＝∠EBC＝x，∠ADE＝∠EDC＝y，
∵∠A+x＝∠E+y，∠C+y＝∠E+x，∴∠A+∠C＝∠E+∠E，∴2∠E＝∠A+∠C，
【小结】考查三角形内角和定理，角平分线定义等知识，解题关键是掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式23 已知线段AB与CD相交于点O，连结AD，BC．
（1）如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C；
（2）请利用（1）的结论探索下列问题：
①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小；
②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP=14∠BAD，∠BCP=14∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论；
（2）根据三角形的没机会定理和角平分线的定义即可得到结论；
（3）设∠6＝x，∠8＝y．根据已知条件得到∠5＝3x，∠7＝3y，由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B，列方程即可得到结论．

【解析】（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝180°，∠B+∠C+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，
∴∠A+∠D＝∠B+∠C；

（2）∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1），得∠1+∠D＝∠3+∠P，①，∠4+∠B＝∠2+∠P．②，
①+②，得∠1+∠4+∠B+∠D＝∠2+∠3+2∠P，
即2∠P＝∠B+∠D，
∴∠P=12(∠B+∠D)=12×80°=40°；

（3）设∠6＝x，∠8＝y．
∵∠BAP=14∠BAD，∠BCP=14∠BCD，
∴∠5＝3x，∠7＝3y，
由（1），得∠5+∠D＝∠7+∠P，∠6+∠P＝∠8+∠B，即3x+β＝3y+γ，x+γ＝y+α，
∴3（x﹣y）＝γ﹣β，x﹣y＝α﹣γ，
∴3（α﹣γ）＝γ﹣β，
即4γ＝3α+β．
∴α，β，γ之间的数量关系是4γ＝3α+β．
【小结】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，多边形的内角和定理，对顶角相等的性质，整体思想的利用是解题的关键．

变式24 [问题背景]
（1）如图1的图形我们把它称为“8字形”，请说理证明∠A+∠B＝∠C+∠D．
[简单应用]（可直接使用问题（1）中的结论）
（2）如图2，AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
①若∠ABC＝28°，∠ADC＝20°，求∠P的度数；
②∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠D、∠B之间数量关系．
[问题探究]
（3）如图3，直线BP平分∠ABC的外角∠FBC，DP平分∠ADC的邻补角∠ADE，
①若∠A＝30°，∠C＝18°，则∠P的度数为　 　；
②∠A和∠C为任意角时，其他条件不变，试直接写出∠P与∠A、∠C之间数量关系．
[拓展延伸]
（4）在图4中，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP=14∠CAB，∠CDP=14∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为　 　；（用x、y的代数式表示∠P）
（5）在图5中，直线BP平分∠ABC，DP平分∠ADC的外角∠ADE，猜想∠P与∠A、∠C的关系，直接写出结论　 　．

【分析】（1）利用三角形内角和定理解决问题即可．
（2）设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（3）如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，利用（1）中结论，构建方程组即可解决问题．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．利用（1）中结论，构建共线时即可解决问题．
【解析】（1）如图1中，

∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D；
（2）如图2中，

设∠BAP＝∠PAD＝x，∠BCP＝∠PCD＝y，
则有x+∠B=y+∠Px+∠P=y+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
∴∠P=12（∠B+∠D）=12（28°+20°）＝24°；
（3）①如图3中，设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．

则有∠P+x=∠A+y∠P+180°-x=∠C+180°-y，
∴2∠P＝∠A+∠C，
∴∠P=12（30°+18°）＝24°；
故答案为：24°；
②设∠CBJ＝∠JBF＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．
则有∠P+x=∠A+y∠P+180°-x=∠C+180°-y，
∴2∠P＝∠A+∠C；
（4）如图4中，设∠CAP＝α，∠CDP＝β，则∠PAB＝3α，∠PDB＝3β，

则有∠P+β=∠C+α∠P+3α=∠B+3β，
∴4∠P＝3∠C+∠B，
∴∠P=14（3x+y），
故答案为∠P=14（3x+y）．
（5）如图5中，延长AB交PD于J，设∠PBJ＝x，∠ADP＝∠PDE＝y．

则有∠A+2x＝∠C+180°﹣2y，
∴x+y＝90°+12（∠C﹣∠A），
∵∠P+x+∠A+y＝180°，
∴∠P＝90°-12∠C-12∠A．
故答案为∠P＝90°-12∠C-12∠A．
【小结】本题考查了三角形内角和定理，“8字型”四个角之间的关系等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组解决问题．

必考点8 三角形的内角和及外角的性质（折叠问题）
例题9 如图，将一张三角形纸片ABC的三角折叠，使点A落在△ABC的A′处折痕为DE，若∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA′＝γ，那么下列式子中正确的是（　　）

A．γ＝180°﹣α﹣β B．γ＝α+2β C．γ＝2α+β D．γ＝α+β
【分析】根据三角形的外角得：∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论．
【解析】如图，设AC交DA′于F．由折叠得：∠A＝∠A'，
∵∠BDA'＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠A'+∠CEA'，∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，
∴∠BDA'＝γ＝α+α+β＝2α+β，选C．
【小结】本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键．

变式25 如图，在△ABC中，∠C＝36°，将△ABC沿着直线l折叠，点C落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）

A．36° B．72° C．50° D．46°
【分析】由折叠的性质得到∠D＝∠C，再利用外角性质即可求出所求角的度数．
【解析】由折叠的性质得：∠D＝∠C＝36°，
根据外角性质得：∠1＝∠3+∠C，∠3＝∠2+∠D，
则∠1＝∠2+∠C+∠D＝∠2+2∠C＝∠2+72°，则∠1﹣∠2＝72°．选B．
【小结】此题考查了翻折变换（折叠问题）以及三角形外角性质，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键．

变式26 如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，试着找一找这个规律，你发现的规律是（　　）

A．∠1+∠2＝2∠A B．∠1+∠2＝∠A
C．∠A＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2=12∠A
【分析】根据折叠得出∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，求出2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，推出∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），代入求出即可．
【解析】如图，延长BD和CE交于A′，

∵把△ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部，
∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∴2∠ADE＝180°﹣∠1，2∠AED＝180°﹣∠2，
∴∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，
∵在△ADE中，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE），
∴∠A=12∠1+12∠2，
即2∠A＝∠1+∠2．
选A．
【小结】本题考查了折叠的性质和三角形的内角和定理的应用，关键是得出等式∠ADE＝90°-12∠1，∠AED＝90°-12∠2，∠A＝180°﹣（∠AED+∠ADE）．

变式27 问题1
现有一张△ABC纸片，点D、E分别是△ABC边上两点，若沿直线DE折叠．
研究（1）：如果折成图①的形状，使A点落在CE上，则∠1与∠A的数量关系是　 　
研究（2）：如果折成图②的形状，猜想∠1+∠2和∠A的数量关系是　 　
研究（3）：如果折成图③的形状，猜想∠1、∠2和∠A的数量关系，并说明理由．
问题2
研究（4）：将问题1推广，如图④，将四边形ABCD纸片沿EF折叠，使点A、B落在四边形EFCD的内部时，∠1+∠2与∠A、∠B之间的数量关系是　 　．

【分析】（1）根据折叠性质和三角形的外角定理得出结论；
（2）先根据折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，由两个平角∠ADB和∠AEC得：∠1+∠2等于360°与四个折叠角的差，化简得结果；
（3）利用两次外角定理得出结论；
（4）与（2）类似，先由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，再由两平角的和为360°得：∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，根据四边形的内角和得：∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，代入前式可得结论．

【解析】（1）如图1，∠1＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠A＝∠DA′A，
∵∠1＝∠A+∠DA′A，∴∠1＝2∠A；
（2）如图2，猜想：∠1+∠2＝2∠A，理由是：
由折叠得：∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED，
∵∠ADB+∠AEC＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣∠ADE﹣∠A′DE﹣∠AED﹣∠A′ED＝360°﹣2∠ADE﹣2∠AED，
∴∠1+∠2＝2（180°﹣∠ADE﹣∠AED）＝2∠A；

（3）如图3，∠2﹣∠1＝2∠A，理由是：
∵∠2＝∠AFE+∠A，∠AFE＝∠A′+∠1，∴∠2＝∠A′+∠A+∠1，
∵∠A＝∠A′，∴∠2＝2∠A+∠1，∴∠2﹣∠1＝2∠A；

（4）如图4，由折叠得：∠BMN＝∠B′MN，∠ANM＝∠A′NM，
∵∠DNA+∠BMC＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣2∠BMN﹣2∠ANM，
∵∠BMN+∠ANM＝360°﹣∠A﹣∠B，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（360°﹣∠A﹣∠B）＝2（∠A+∠B）﹣360°，
【小结】本题是折叠变换问题，思路分两类：①一类是利用外角定理得结论；②一类是利用平角定义和多边形内角和相结合得结论；字母书写要细心，角度比较复杂，是易错题．

必考点9 全等三角形的性质（线段的和差）
解决此类问题要抓住全等三角形的对应边相等，利用线段相等进行等量代换即可求解.
例题10 如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，则BD的长为（　　）

A．12 B．7 C．2 D．14
【分析】根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解析】如图，△ABC≌△DEC，A和D，B和E是对应点，B、C、D在同一直线上，且CE＝5，AC＝7，
∴BC＝EC＝5，CD＝AC＝7，∴BD＝BC+CD＝12．选A．
【小结】本题主要考查的是全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键．

变式28 如图，若△ABC≌△DEF，四个点B、E、C、F在同一直线上，BC＝7，EC＝5，则CF的长是（　　）

A．2 B．3 C．5 D．7
【分析】根据全等三角形的对应边相等得到EF＝BC＝7，计算即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴BC＝EF，
又BC＝7，∴EF＝7，
∵EC＝5，∴CF＝EF﹣EC＝7﹣5＝2．选A．
【小结】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、全等三角形的对应角相等是解题的关键．

变式29 如图，点B、E、A、D在同一条直线上，△ABC≌△DEF，AB＝7，AE＝2，则AD的长是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7
【分析】根据全等三角形的性质可得AB＝ED，再根据等式的性质可得EB＝AD，进而可得答案．
【解析】∵△ABC≌△DEF，∴AB＝ED，∴AB﹣AE＝DE﹣AE，∴EB＝AD，
∵AB＝7，AE＝2，∴EB＝5，∴AD＝5．选B．
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应边相等．

变式30 若△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，且△DEF的周长为奇数，则EF的值为（　　）
A．3 B．4 C．1或3 D．3或5
【分析】根据全等求出DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，根据△DEF的周长为奇数求出EF的长为奇数，再根据EF长为奇数和三角形三边关系定理逐个判断即可．
【解析】∵△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4，∴DE＝AB＝2，DF＝AC＝4，
∵△DEF的周长为奇数，∴EF的长为奇数，
D、当EF＝3或5时，符合EF的长为奇数和三角形的三边关系定理，故本选项正确；
A、当EF＝3时，由选项D知，此选项错误；
B、当EF＝4时，不符合EF为奇数，故本选项错误；
C、当EF＝1或3时，其中1无法构成三角形，故本选项错误；
选D．
【小结】本题考查了全等三角形的性质和三角形三边关系定理的应用，能正确根据全等三角形的性质进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．

必考点10 全等三角形的性质（角的计算）
解决此类问题要抓住全等三角形的对应角相等，利用角度之间的关系进行等量代换即可求解.
例题11 如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，若△EDC≌△ABC，且A，C，D在同一条直线上，则∠BCE＝（　　）

A．20° B．30° C．40° D．50°
【分析】根据在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，可以得到∠DCB的度数，再根据△EDC≌△ABC，可以得到∠ECA的度数，从而可以求得∠BCE的度数．
【解析】∵在△ABC中，∠A＝30°，∠ABC＝50°，∴∠BCD＝80°，
∵△EDC≌△ABC，∴∠DCE＝∠BCA，
∵∠DCE＝∠DCB+∠BCE，∠BCA＝∠BCE+∠ECA，∴∠DCB＝∠ECA，∴∠ECA＝80°，
∴∠BCE＝180°﹣∠DCB﹣∠ECA＝180°﹣80°﹣80°＝20°，选A．
【小结】考查全等三角形性质，解答本题关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．

变式31 如图所示，已知△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于F，∠B＝∠D＝25°，∠ACB＝∠AED＝105°，∠DAC＝10°，则∠DFB为（　　）

A．40° B．50° C．55° D．60°
【分析】设AD与BF交于点M，要求∠DFB的大小，可以在△DFM中利用三角形的内角和定理求解，转化为求∠AMC的大小，再转化为在△ACM中求∠ACM就可以．
【解析】设AD与BF交于点M，∵∠ACB＝105，
∴∠ACM＝180°﹣105°＝75°，∠AMC＝180°﹣∠ACM﹣∠DAC＝180°﹣75°﹣10°＝95°，
∴∠FMD＝∠AMC＝95°，∴∠DFB＝180°﹣∠D﹣∠FMD＝180°﹣95°﹣25°＝60°．选D．
【小结】本题考查全等三角形性质，由已知条件，联想到所学定理，充分挖掘题目中的结论是解题的关键．
变式32 如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（　　）

A．54° B．63° C．64° D．68°
【分析】直接利用全等三角形的性质结合三角形内角和定理得出∠BAE＝54°，进而得出答案．
【解析】∵△ABC≌△AED，∠D＝135°∴∠C＝∠D＝135°，AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，
∵∠ABC＝15°，∠D＝∠C＝135°，∴∠BAC＝30°，
∵∠EAC＝24°，∴∠BAE＝54°，
则∠BEA的度数为：12×（180°﹣54°）＝63°．选B．
【小结】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出∠BAE＝54°是解题关键．

变式33 如图，△ABC≌△ADE，且AE∥BD，∠BAD＝130°，则∠BAC度数的值为　 　．

【分析】根据全等三角形的性质，可以得到AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，从而可以得到∠ABD＝∠ADB，再根据AE∥BD，∠BAD＝130°，即可得到∠DAE的度数，从而可以得到∠BAC的度数．
【解析】∵△ABC≌△ADE，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAE，∴∠ABD＝∠ADB，
∵∠BAD＝130°，∴∠ABD＝∠ADB＝25°，
∵AE∥BD，∴∠DAE＝∠ADB，∴∠DAE＝25°，∴∠BAC＝25°，
【小结】本题考查全等三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

必考点11 全等三角形的判定（选择条件）
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例题12 如图，点C、D分别在BO、AO上，AC、BD相交于点E，若CO＝DO，则再添加一个条件，仍不能证明△AOC≌△BOD的是（　　）

A．∠A＝∠B B．AC＝BD C．∠ADE＝∠BCE D．AD＝BC
【分析】根据题目给出的条件结合全等三角形的判定定理分别分析即可．
【解析】A、可利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
B、不可利用SSA证明△AOC≌△BOD，故此选项符合题意；
C、根据三角形外角的性质可得∠A＝∠B，再利用AAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意；
D、根据线段的和差关系可得OA＝OB，再利用SAS证明△AOC≌△BOD，故此选项不合题意．
选B．
【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．


变式34 如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的一组条件是（　　）

A．BC＝EC，∠B＝∠E B．BC＝EC，AC＝DC
C．∠B＝∠E，∠A＝∠D D．BC＝DC，∠A＝∠D
【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．
【解析】A、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，∠B＝∠E可利用SAS证明△ABC≌△DEC，不合题意；
B、已知AB＝DE，再加上条件BC＝EC，AC＝DC可利用SSS证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
C、已知AB＝DE，再加上条件∠B＝∠E，∠A＝∠D可利用ASA证明△ABC≌△DEC，故此选项不合题意；
D、已知AB＝DE，再加上条件BC＝DC，∠A＝∠D不能证明△ABC≌△DEC，故此选项符合题意；
选D．
【小结】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．

变式35 如图，AB＝DC，BF＝CE，需要补充一个条件，就能使△ABE≌△DCF，小明给出了四个答案：①AE＝DF；②AE∥DF；③AB∥DC；④∠A＝∠D，其中正确的是（　　）

A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④
【分析】先求出BE＝CF，根据平行线的性质得出∠AEF＝∠DFC，再根据全等三角形的判定定理推出即可．
【解析】∵BF＝CE，∴BE＝CF．
①AE＝DF时，
在△ABE和△DCF中，AB=DCAE=DFBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SSS）故①正确；
②∵AE∥DF，∴∠AEF＝∠DFC．
在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠AEF＝∠DFC．
不能判定△ABE与△DCF全等，故②不正确；
③∵AB∥DC，∴∠B＝∠C，
在△ABE和△DCF中，AB=DC∠B=∠CBE=CF，∴△ABE≌△DCF（SAS）；故③正确；
④在△ABE和△DCF中，AB＝DC，BE＝CF，∠A＝∠D．不能判定△ABE与△DCF全等，故④不正确；
选A．
【小结】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定的应用，能正确运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键．


变式36 如图，已知：在△AFD和△CEB，点A、E、F、C在同一直线上，在给出的下列条件中，①AE＝CF，②∠D＝∠B，③AD＝CB，④DF∥BE，选出三个条件可以证明△AFD≌△CEB的有（　　）组．

A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据题目中的条件，先把AE＝CF和DF∥BE能够得到的条件写出来，然后再根据题意，写出其中的三个为条件，是否可以证明△AFD≌△CEB，本题得以解决．
【解析】∵AE＝CF，∴AE+EF＝CF+EF，∴AF＝CE，
∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC，
∴若①②③为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若①②④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），
若①③④为条件，不能证明△AFD≌△CEB，
若②③④为条件，能证明△AFD≌△CEB（AAS），
选C．
【小结】本题考查全等三角形的判定，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的判定方法解答．

必考点12 全等三角形的判定（判定依据）
判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
例题13 如图，在∠AOB的两边上，分别取OM＝ON，再分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP，则OP平分∠AOB的依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】利用判定方法“HL”证明Rt△OMP和Rt△ONP全等，进而得出答案．
【解析】在Rt△OMP和Rt△ONP中，OM=ONOP=OP，∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL），∴∠MOP＝∠NOP，
∴OP是∠AOB的平分线．选D．
【小结】本题考查全等三角形应用以及基本作图，掌握三角形全等判定方法并读懂题目信息是解题的关键．

变式37 工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM＝ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点M，N重合，过角尺顶点C作射线OC．由此作法便可得△MOC≌△NOC，其依据是（　　）

A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
【分析】由作图过程可得MO＝NO，NC＝MC，再加上公共边CO＝CO可利用SSS定理判定△MOC≌△NOC．
【解析】∵在△ONC和△OMC中ON=OMCO=CONC=MC，∴△MOC≌△NOC（SSS），∴∠BOC＝∠AOC，选A．
【小结】主要考查全等三角形的判定，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
变式38 如图，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，PA＝PB．则△OAP≌△OBP的依据不可能是（　　）

A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
【分析】先根据角平分线的性质定理的逆定理得到∠POA＝∠POB，然后根据三角形全等的判定方法对各选项进行判断．
【解析】∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
而PA＝PB，∴OP平分∠AOB，即∠POA＝∠POB，
∴可根据：“SAS”或“AAS”或“AAS”判断△OAP≌△OBP．
选A．
【小结】本题考查了全等三角形的判定：熟练掌握全等三角形的5种判定方法．

变式39 一块三角形玻璃被小红碰碎成四块，如图，小红只带其中的两块去玻璃店，买了一块和以前一样的玻璃，你认为她带哪两块去玻璃店了（　　）

A．带其中的任意两块 B．带1，4或3，4就可以了
C．带1，4或2，4就可以了 D．带1，4或2，4或3，4均可
【分析】要想买一块和以前一样的玻璃，只要确定一个角及两条边的长度或两角及一边即可，
即简单的全等三角形在实际生活中的应用．
【解析】由图可知，带上1，4相当于有一角及两边的大小，即其形状及两边长确定，所以两块玻璃一样；
同理，3，4中有两角夹一边，同样也可得全等三角形；
2，4中，4确定了上边的角的大小及两边的方向，又由2确定了底边的方向，进而可得全等．
选D．
【小结】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定，能够联系实际，灵活应用所学知识．
必考点13 全等三角形的判定与性质（基础证明）
全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
例题14 已知：如图，点A、E、C同一条直线上，AB⊥BC，AD⊥DC，AB＝AD．求证：BE＝DE．

【分析】根据HL证明Rt△ABC与Rt△ADC全等，利用全等三角形的性质得出∠BAE＝∠DAE，进而利用SAS证明△ABE≌△ADE，进而解答即可．
【解析】证明：∵AB⊥BC，AD⊥DC，
∴在Rt△ABC与Rt△ADC中AB=ADAC=AC，∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL），∴∠BAE＝∠DAE，
在△ABE与△ADE中AB=AD∠BAE=∠DAEAE=AE，∴△ABE≌△ADE（SAS），∴BE＝DE．
【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．

变式40 如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，点E，F分别在AB，AD上，AE＝AF，CE＝CF，求证：CB＝CD．

【分析】先证明△AEC≌△AFC，根据全等三角形性质得出∠CAE＝∠CAF，利用角平分线的性质解答即可
【答案】证明：连接AC，

在△AEC与△AFC中AC=ACCE=CFAE=AF，∴△AEC≌△AFC（SSS），∴∠CAE＝∠CAF，
∵∠B＝∠D＝90°，∴CB＝CD．
【小结】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质，属于中考常考题型．

变式41 如图，已知AB⊥CF于点B，DE⊥CF于点E，BH＝EG，AH＝DG，∠C＝∠F．
（1）求证：△ABH≌△DEG；
（2）求证：CE＝FB．

【分析】（1）由HL可证明△ABH≌△DEG；
（2）证明△ABC≌△DEF（AAS）．得出BC＝EF，则可得出结论．
【解析】（1）证明：∵AB⊥CF，DE⊥CF，
∴∠DEG＝∠ABH＝90°，
在Rt△ABH和Rt△DEG中，∵BH=EGAH=DG，∴Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．
（2）∵Rt△ABH≌Rt△DEG（HL）．∴AB＝DE，
在△ABC和△DEF中，∵∠ABC=∠DEF=90°∠C=∠FAB=DE，∴△ABC≌△DEF（AAS）．∴BC＝EF，∴CE＝FB．
【小结】本题考查全等三角形性质和判定、垂直的定义；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

变式42 如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：∠ABE＝∠ACE；
（2）如图2，若BE的延长线交AC于点F，CE的延长线交AB于点G．求证：EF＝EG．

【分析】（1）根据已知条件可以证明△ABD和△ACD全等，可得∠BAD＝∠CAD，再证明△ABE和△ACE全等，即可得结论；
（2）结合（1）根据△ABE和△ACE全等可得BE＝CE，再证明△BEG≌△CEF，即可得结论．
【解析】（1）证明：∵点D是BC的中点，
∴BD＝CD，
在△ABD和△ACD中，AB=ACAD=ADBD=CD，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABE和△ACE中，AB=AC∠BAE=∠CAEAE=AE，∴△ABE≌△ACE（SAS），∴∠ABE＝∠ACE；
（2）如图，

由（1）知，△ABE≌△ACE，
∴BE＝CE，∠ABE＝∠ACE，
在△BEG和△CEF中，∠GBE=∠FCEBE=CE∠GEB=∠FEC，∴△BEG≌△CEF（ASA），∴EG＝EF．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．
必考点14 全等三角形的判定与性质（多结论）
例题15 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF；②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　）

A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
【分析】根据△ABD≌△ACD即可得到BD＝CD，AD⊥BC，故②③正确；通过△CDE≌△DBF即可得到DE＝DF，CE＝BF，故①④正确．
【解析】∵BF∥AC，∴∠C＝∠CBF，
∵BC平分∠ABF，∴∠ABC＝∠CBF，∴∠C＝∠ABC，
∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD，
又∵AD＝AD，∴△ABD≌△ACD（AAS），∴BD＝CD，故②正确，
∠ADB＝∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，故③正确，
在△CDE与△DBF中，∠C=∠CBFCD=BD∠EDC=∠BDF，∴△CDE≌△DBF（ASA），∴DE＝DF，CE＝BF，故①正确，
∵AE＝2BF，∴AE＝2CE，∴AC＝AE+CE＝3CE＝3BF，故④正确；
选D．

【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题关键.

变式43 如图，在△ABC中，P，Q分别是BC，AC上的点，PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别是R，S，若AQ＝PQ，PR＝PS，那么下面四个结论：①AS＝AR；②QP∥AR；③△BRP≌△QSP；④BR＝QS，其中一定正确的是（填写编号）　 　．

【分析】通过证明△APR≌△APS，可得AS＝AR，∠BAP＝∠PAS，可证QP∥AR，可求解．
【解析】如图，连接AP，

①∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR＝PS，
∴点P在∠A的平分线上，∠ARP＝∠ASP＝90°，
∴∠SAP＝∠RAP，且AP＝AP，∠ARP＝∠ASP＝90°，∴△APR≌△APS（AAS），∴AR＝AS，∴①正确；
②∵AQ＝QP，∴∠QAP＝∠QPA，
∵∠QAP＝∠BAP，∴∠QPA＝∠BAP，∴QP∥AR，∴②正确；
③④在Rt△BRP和Rt△QSP中，只有PR＝PS，不满足三角形全等的条件，故③④错误；
故答案为：①②
【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．

变式44 如图，EB交AC于点M，交C于点D，AB交FC于点N，∠E＝∠F＝90°，∠B＝∠C，AE＝AF，给出下列结论：①∠1＝∠2；②CD＝DN；③△ACN≌△ABM；④BE＝CF．其中正确的结论有　 　．（填序号）

【分析】①根据已知条件可以证明在△ABE和△ACF全等，即可得∠1＝∠2；
②没有条件可以证明CD＝DN，即可判断；
③结合①和已知条件即可得△ACN≌△ABM；
④根据△ABE≌△ACF，可得BE＝CF，
【解析】①在△ABE和△ACF中，∠E=∠F∠B=∠CAE=AF，∴△ABE≌△ACF（AAS），∴∠EAB＝∠FAC，
∴∠EAB﹣∠BAC＝∠FAC﹣∠BAC，∴∠1＝∠2．∴①正确；
没有条件可以证明CD＝DN，∴②错误；
∵△ABE≌△ACF，∴AB＝AC，
在△ACN和△ABM中，∠C=∠BAC=AB∠CAB=BAC，∴△ACN≌△ABM（ASA），∴③正确；
∵△ABE≌△ACF，∴BE＝CF，∴④正确．
∴其中正确的结论有①③④．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质．

变式45 如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，下列说法正确的是　 　．（填写正确的序号）
①DF＝BE，②△ADF≌△ABE，③FA平分∠DFE，④AE平分∠FAB，⑤BE+DF＝EF，⑥CF+CE＞FD+EB．

【分析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，根据全等三角形的判定定理求出△ADF≌△ABG，根据全等三角形的性质得出AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，求出∠FAE＝∠EAG＝70°，根据全等三角形的判定定理得出△FAE≌△GAE，根据全等三角形的性质得出∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，再进行判断即可．
【解析】延长EB到G，使BG＝DF，连接AG，
∵AB⊥CB，AD⊥CD，∴∠D＝∠ABG＝90°，
△ADF和△ABG中，AD=AB∠D=∠ABGDF=BG，∴△ADF≌△ABG（SAS），∴AF＝AG，∠G＝∠DFA，∠DAF＝∠BAG，
∵∠EAF＝70°，∠DAB＝140°，
∴∠DAF+∠EAB＝∠DAB﹣∠FAE＝140°﹣70°＝70°，
∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠FAD＝70°，
∴∠FAE＝∠EAG＝70°，
△FAE和△GAE中AE=AE∠FAE=∠EAGAF=AG，∴△FAE≌△GAE（SAS），∴∠FEA＝∠GEA，∠G＝∠EFA，EF＝EG，
∴EF＝EB+DF，∠FAE≠∠EAB，故⑤正确，④错误；
∴∠G＝∠EFA＝∠DFA，即AF平分∠DFE，故③正确；
∵CF+CE＞EF，EF＝DF+BE，∴CF+CE＞DF+BE，故⑥正确；
根据已知不能推出△ADF≌△ABE，故①错误，②错误；故答案为：③⑤⑥．
【小结】本题考查了全等三角形的性质和判定定理，角平分线的定义，三角形的三边关系定理，垂直定义等知识点，能灵活运用全等三角形的判定和性质定理进行推理是解此题的关键．
必考点15 全等三角形的判定与性质（动点问题）
例题16 如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．
（1）用含t的式子表示PC的长为　 　；
（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；
（3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，请求出点Q的运动速度是多少时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等？

【分析】（1）先表示出BP，根据PC＝BC﹣BP，可得出答案；
（2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据SAS判定两个三角形全等．
（3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程＝速度×时间公式，先求得点P运动的时间，再求得点Q的运动速度．
【解析】（1）BP＝2t，则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；
（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，
∵BD＝8厘米．又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，∴PC＝12﹣4＝8厘米，∴PC＝BD，
又∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△BPD和△CQP中，BD=PC∠B=∠CBP=CQ，∴△BPD≌△CQP（SAS）；
③∵vP≠vQ，∴BP≠CQ，又∵△BPD≌△CPQ，∠B＝∠C，∴BP＝PC＝6cm，CQ＝BD＝8cm，
∴点P，点Q运动的时间t=PB2=62=3秒，∴VQ=CQt=83厘米/秒．
即点Q的运动速度是83厘米/秒时，能够使三角形BPD与三角形CQP全等．
【小结】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程＝速度×时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质．
变式46 如图，在△ABC中，∠ACB＝90，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC﹣﹣CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：
（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；
（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；
（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【分析】（1）由题意得t+3t＝6+8，即可求得P、Q两点相遇时，t的值；
（2）根据题意即可得出CP的长为6-t(t≤6)t-6(6＜t≤14)；
（3）分两种情况讨论得出关于t的方程，解方程求得t的值，进而即可求得CQ的长．
【解析】（1）由题意得t+3t＝6+8，解得t=72（秒），
当P、Q两点相遇时，t的值为72秒；
（2）由题意可知AP＝t，则CP的长为6-t(t≤6)t-6(6＜t≤14)；
（3）当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB＝90，
∴∠PCE+∠QCF＝90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠EPC+∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，∴∠EPC＝∠QCF，∴△PCE≌△CQF，∴PC＝CQ，
∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，∴CQ＝8﹣3t＝5；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，
由题意得，6﹣t＝3t﹣8，解得t＝3.5，∴CQ＝3t﹣8＝2.5，
当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，
综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．
【小结】本题考查了三角形全等的判定和性质，根据题意得出关于t的方程是解题的关键．
变式47 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝9cm，AC＝12cm，AB＝15cm，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边AC→CB→BA运动，回到点A停止，速度为3cm/s，设运动时间为ts．

（1）如图（1），当t＝　112或192　时，△APC的面积等于△ABC面积的一半；
（2）如图（2），在△DEF中，∠E＝90°，DE＝4cm，DF＝5cm，∠D＝∠A．在△ABC的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边AB→BC→CA运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，求点Q的运动速度．
【分析】（1）分两种情况进行解答，①当点P在BC上时，②当点P在BA上时，分别画出图形，利用三角形的面积之间的关系，求出点P移动的距离，从而求出时间即可；
（2）由△APQ≌△DEF，可得对应顶点为A与D，P与E，Q与F；于是分两种情况进行解答，①当点P在AC上，②当点P在AB上，分别求出P移动的距离和时间，进而求出Q的移动速度．

【解析】（1）①当点P在BC上时，如图①﹣1，
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则CP=12BC=92cm，
此时，点P移动的距离为AC+CP＝12+92=332，
移动的时间为：332÷3=112秒，


②当点P在BA上时，如图①﹣2
若△APC的面积等于△ABC面积的一半；则PD=12BC，即点P为BA中点，
此时，点P移动的距离为AC+CB+BP＝12+9+152=572cm，移动的时间为：572÷3=192秒，
（2）△APQ≌△DEF，即，对应顶点为A与D，P与E，Q与F；

①当点P在AC上，如图②﹣1所示：此时，AP＝4，AQ＝5，∴点Q移动的速度为5÷（4÷3）=154cm/s，

②当点P在AB上，如图②﹣2所示：此时，AP＝4，AQ＝5，
即，点P移动的距离为9+12+15﹣4＝32cm，点Q移动的距离为9+12+15﹣5＝31cm，
∴点Q移动的速度为31÷（32÷3）=9332cm/s，
综上所述，两点运动过程中的某一时刻，恰好△APQ≌△DEF，点Q的运动速为154cm/s或9332cm/s．
【小结】考查直角三角形性质，全等三角形的判定，画出相应图形，求出各点移动的距离是正确解答关键．
变式48 如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
（2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为xcm/s，其它条件不变，当点P、Q运动到何处时有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x的值．
【分析】（1）利用AP＝BQ＝2，BP＝AC，可根据“SAS”证明△ACP≌△BPQ；则∠C＝∠BPQ，然后证明∠APC+∠BPQ＝90°，从而得到PC⊥PQ；
（2）讨论：若△ACP≌△BPQ，则AC＝BP，AP＝BQ，即5＝7﹣2t，2t＝xt；②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，即5＝xt，2t＝7﹣2t，然后分别求出x即可．
【解析】（1）△ACP≌△BPQ，PC⊥PQ．
理由如下：∵AC⊥AB，BD⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°，
∵AP＝BQ＝2，∴BP＝5，∴BP＝AC，
在△ACP和△BPQ中，AP=BQ∠A=∠BAC=BP，∴△ACP≌△BPQ（SAS）；∴∠C＝∠BPQ，
∵∠C+∠APC＝90°，∴∠APC+∠BPQ＝90°，∴∠CPQ＝90°，∴PC⊥PQ；
（2）①若△ACP≌△BPQ，
则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt，解得：x＝2，t＝1；
②若△ACP≌△BQP，则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t，解得：x=207，t=74．
综上所述，当△ACP与△BPQ全等时x的值为2或207．
【小结】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．
必考点16 全等三角形的判定与性质（添辅助线）
例题17 如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．
（1）求证：△ABC≌△ADE；（2）求∠FAE的度数；（3）求证：CD＝2BF+DE．

【分析】（1）根据题意和题目中的条件可以找出△ABC≌△ADE的条件；
（2）根据（1）中的结论和等腰直角三角形的定义可以得到∠FAE的度数；
（3）根据题意和三角形全等的知识，作出合适的辅助线即可证明结论成立．
【解析】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝90°，∠CAD+∠DAE＝90°，∴∠BAC＝∠DAE，
在△BAC和△DAE中，AB=AD∠BAC=∠DAEAC=AE，∴△BAC≌△DAE（SAS）；
（2）∵∠CAE＝90°，AC＝AE，∴∠E＝45°，
由（1）知△BAC≌△DAE，∴∠BCA＝∠E＝45°，
∵AF⊥BC，∴∠CFA＝90°，∴∠CAF＝45°，∴∠FAE＝∠FAC+∠CAE＝45°+90°＝135°；
（3）延长BF到G，使得FG＝FB，∵AF⊥BG，∴∠AFG＝∠AFB＝90°，
在△AFB和△AFG中，BF=GF∠AFB=∠AFGAF=AF，∴△AFB≌△AFG（SAS），∴AB＝AG，∠ABF＝∠G，
∵△BAC≌△DAE，∴AB＝AD，∠CBA＝∠EDA，CB＝ED，∴AG＝AD，∠ABF＝∠CDA，∴∠G＝∠CDA，
∵∠GCA＝∠DCA＝45°，△CGA和△CDA中，∠GCA=∠DCA∠CGA=∠CDAAG=AD，∴△CGA≌△CDA（AAS），∴CG＝CD，
∵CG＝CB+BF+FG＝CB+2BF＝DE+2BF，∴CD＝2BF+DE．
【小结】本题考查全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．

变式49 如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═12∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连结CF．
（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：EF＝BE+CF．
（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：CF＝BF+2BE．

【分析】（1）在EF上截取EH＝BE，由“SAS”可证△ACF≌△AHF，可得CF＝HF，可得结论；
（2）在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，由“SAS”可证△ACF≌△ANF，可得CF＝NF，可得结论．
【解析】证明：（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，

∵EB＝EH，AE⊥BF，∴AB＝AH，
∵AB＝AH，AE⊥BH，∴∠BAE＝∠EAH，
∵AB＝AD，∴AC＝AH，
∵∠EAF═12∠BAC，∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，∴∠CAF＝∠HAF，
在△ACF和△AHF中，AC=AH∠CAF=∠HAFAF=AF，∴△ACF≌△AHF（SAS），∴CF＝HF，∴EF＝EH+HF＝BE+CF；

（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，

∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，∴AN＝AB＝AC，
∵AN＝AB，AE⊥BN，∴∠BAE＝∠NAE，
∵∠EAF═12∠BAC∴∠EAF+∠NAE=12（∠BAC+2∠NAE）∴∠FAN=12∠CAN，∴∠FAN＝∠CAF，
在△ACF和△ANF中，AC=AN∠CAF=∠NAFAF=AF，∴△ACF≌△ANF（SAS），∴CF＝NF，∴CF＝BF+2BE．
【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．

变式50 在∠MAN内有一点D，过点D分别作DB⊥AM，DC⊥AN，垂足分别为B，C．且BD＝CD，点E，F分别在边AM和AN上．
（1）如图1，若∠BED＝∠CFD，请说明DE＝DF；
（2）如图2，若∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，猜想EF，BE，CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的理由．

【分析】（1）根据题目中的条件和∠BED＝∠CFD，可以证明△BDE≌△CDF，从而可以得到DE＝DF；
（2）作辅助线，过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，从而可以得到△BDE≌△CDG，然后即可得到DE＝DG，BE＝CG，再根据题目中的条件可以得到△EDF≌△GDF，即可得到EF＝GF，然后即可得到EF，BE，CF具有的数量关系．
【解析】（1）∵DB⊥AM，DC⊥AN，∴∠DBE＝∠DCF＝90°，
在△BDE和△CDF中，∵∠BED=∠CFD，∠DBE=∠DCF，BD=CD，∴△BDE≌△CDF（AAS）．∴DE＝DF；
（2）EF＝FC+BE，
理由：过点D作∠CDG＝∠BDE，交AN于点G，
在△BDE和△CDG中，∠EBD=∠GCDBD=CD∠BDE=∠CDG，∴△BDE≌△CDG（ASA），∴DE＝DG，BE＝CG．
∵∠BDC＝120°，∠EDF＝60°，
∴∠BDE+∠CDF＝60°．∴∠FDG＝∠CDG+∠CDF＝60°，∴∠EDF＝∠GDF．
在△EDF和△GDF中，DE=DG∠EDF=∠GDFDF=DF，∴△EDF≌△GDF（SAS）．∴EF＝GF，∴EF＝FC+CG＝FC+BE．
【小结】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

变式51 已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．
（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？
（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．
（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC 的数量关系，并加以说明．

【分析】（1）由SAS证得△ABD≌△CBD，得出∠BAD＝∠BCD，由∠BAD+∠BCD＝180°，则∠BAD＝∠BCD＝90°，即可得出结果；
（2）延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，由SAS证得△BAP≌△BCK，得出∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，推出PQ＝QK，由SSS证得△PBQ≌△KBQ，得出∠PBQ＝∠QBC+∠CBK，即可得出结果；
（3）延长CD至点K，使CK＝AP，连接BK，由SAS证得△BAP≌△BCK，得出∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，证得∠PBK＝∠ABC，由SSS证得△PBQ≌△KBQ，得出∠PBQ＝∠KBQ，则2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，即2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）＝360°，即可得出结果．
【解析】（1）AB与AD的位置关系为：AB⊥AD，理由如下：
在△ABD和△CBD中，AB=CB∠ABD=∠CBDBD=BD，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴∠BAD＝∠BCD，
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠BAD＝∠BCD=12×180°＝90°，∴AB⊥AD；

（2）∠PBQ与∠ABP+∠QBC相等，理由如下：
延长DC至点K，使CK＝AP，连接BK，如图2所示：
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BCD+∠BCK＝180°，∴∠BAD＝∠BCK，
在△BAP和△BCK中，AP=CK∠BAP=∠BCKAB=BC，∴△BAP≌△BCK（SAS），∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∵PQ＝AP+CQ，QK＝CK+CQ，∴PQ＝QK，
在△PBQ和△KBQ中，BP=BKPQ=QKBQ=BQ，∴△PBQ≌△KBQ（SSS），∴∠PBQ＝∠QBC+∠CBK，
∴∠PBQ＝∠ABP+∠QBC；

（3）∠PBQ与∠ADC 的数量关系为：∠PBQ＝90°+12∠ADC，理由如下：
延长CD至点K，使CK＝AP，连接BK，如图3所示：
∵∠BAD+∠BCD＝180°，∠BAD+∠PAB＝180°，
∴∠PAB＝∠BCK，
在△BAP和△BCK中，AP=CK∠PAB=∠BCKAB=BC，∴△BAP≌△BCK（SAS），∴∠ABP＝∠CBK，BP＝BK，
∴∠PBK＝∠ABC，
∵PQ＝AP+CQ，∴PQ＝QK，
在△PBQ和△KBQ中，BP=BKBQ=BQPQ=QK，∴△PBQ≌△KBQ（SSS），∴∠PBQ＝∠KBQ，
∴2∠PBQ+∠PBK＝2∠PBQ+∠ABC＝360°，∴2∠PBQ+（180°﹣∠ADC）＝360°，
∴∠PBQ＝90°+12∠ADC．
【小结】本题考查了全等三角形的判定与性质等知识；通过作辅助线构建全等三角形是解题的关键．
必考点17 线段垂直平分线的应用
线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键
例题18 如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的中垂线交AB于点D，交BC的延长线于点E，交AC于点F，若AB+BC＝6，则△BCF的周长为（　　）

A．4.5 B．5 C．5.5 D．6
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得AF＝BF，然后根据三角形的周长推出△BCF的周长＝AC+BC，即可得解．
【解析】∵DF为AB的垂直平分线，∴AF＝BF，∴△BCF的周长＝CF+BF+BC＝CF+AF+BC＝AC+BC，
∵AB＝AC，AB+BC＝6，∴AC+BC＝6，∴△BCF的周长为6．选D．
【小结】本题主要考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．

变式52 如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AB边的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AC边的垂直平分线交AC于点F，交BC于点G，连接AE，AG．则∠EAG的度数为（　　）

A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵AB边的垂直平分线交AB于点D，AC边的垂直平分线交AC于点F，∴AG＝CG，AE＝BE，
∴∠C＝∠CAG，∠B＝∠BAE，∴∠BAE+∠CAG＝∠B+∠C＝180°﹣∠BAC＝100°，
∴∠EAG＝∠BAE+∠CAG﹣∠BAC＝100°﹣80°＝20°，选B．
【小结】此题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
变式53 如图，△ABC中，∠ABC＝30°，∠ACB＝50°，DE、FG分别为AB、AC的垂直平分线，E、G分别为垂足．
（1）直接写出∠BAC的度数；
（2）求∠DAF的度数，并注明推导依据；
（3）若△DAF的周长为20，求BC的长．

【分析】（1）根据三角形内角和定理计算，得到答案；
（2）根据线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质计算；
（3）根据线段垂直平分线的性质、三角形的周长公式计算，得到答案．
【解析】（1）∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣30°﹣50°＝100°；
（2）∵DE是线段AB的垂直平分线，
∴DA＝DB，∴∠DAB＝∠ABC＝30°，
同理可得，∠FAC＝∠ACB＝50°，
∴∠DAF＝∠BAC﹣∠DAB﹣∠FAC＝100°﹣30°﹣50°＝20°；
（3）∵△DAF的周长为20，∴DA+DF+FA＝20，
由（2）可知，DA＝DB，FA＝FC，
∴BC＝DB+DF＝FC＝DA+DF+FA＝20．
【小结】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

变式54 如图，在四边形ABCD中，M，N分别是CD，BC的中点，且AM⊥CD，AN⊥BC．
（1）求证：∠BAD＝2∠MAN；
（2）连接BD，若∠MAN＝70°，∠DBC＝40°，求∠ADC．

【分析】（1）连接AC，根据线段垂直平分线的性质得到AC＝AD，根据等腰三角形的三线合一得到∠3＝∠4，同理得到∠1＝∠2，证明结论；
（2）根据四边形内角和等于360°求出∠BCD，根据三角形内角和定理、等腰三角形性质计算，得到答案．

【解答】（1）证明：连接AC，
∵M是CD的中点，AM⊥CD，∴AM是线段CD的垂直平分线，∴AC＝AD，又AM⊥CD，∴∠3＝∠4，
同理，∠1＝∠2，
∴∠2+∠3=12∠BAD，即∠BAD＝2∠MAN；
（2）∵AM⊥CD，AN⊥BC．∠MAN＝70°，
∴∠BCD＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，
∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠BCD＝30°，
∠BAD＝2∠MAN＝140°，
∵AB＝AC，AD＝AC，∴AB＝AD，
∴∠ADB＝∠ABD＝20°，
∴∠ADC＝∠ADB+∠BDC＝50°．
【小结】本题考查的是线段垂直平分线的判定和性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
必考点18 角平分线性质的应用
掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键
例题19 如图，AD∥BC，∠ABC的平分线BP与∠BAD的平分线AP相交于点P，作PE⊥AB于点E，若PE＝2.5，则两平行线AD与BC间的距离为（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】作GH⊥AD，根据角平分线的性质分别求出PG、PH，得到答案．
【解析】过点P作GH⊥AD交AD于G，交BC于H，
∵AD∥BC，∴GH⊥BC，
∵AP平分∠BAD，PE⊥AB，PG⊥AD，∴PG＝PE＝2.5，同理可得，PH＝PE＝2.5，
∴GH＝PG+PH＝5，即两平行线AD与BC间的距离为5，选C．

【小结】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．


变式55 如图，△ABC的角平分线AE，BF交于O点．
（1）若∠ACB＝70°，则∠BOA＝　 　；
（2）求证：点O在∠ACB的角平分线上．
（3）若OE＝OF，求∠ACB的度数．

【分析】（1）根据三角形的内角和定理得到∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°，根据角平分线的定义即可得到结论；
（2）过O作OD⊥BC于D，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，根据角平分线的性质健康得到结论；
（3）连接OC，根据角平分线的性质得到OD＝OH，根据全等三角形的性质得到∠EOD＝∠FOH，根据角平分线的定义即可得到结论；
【解析】（1）∵∠ACB＝70°，
∴∠ABC+∠BAC＝180°﹣70°＝110°，
∵△ABC的角平分线AE，BF交于O点，
∴∠BAO=12∠BAC，∠ABO=12∠ABC，∴∠ABO+∠BAO=12（∠ABC+∠ACB）＝55°，
∴∠AOB＝180°﹣（∠ABO+∠BAO）＝125°，
（2）过O作OD⊥BC于D，OG⊥AB于G，OH⊥AC于H，
∵AE平分∠BAC，BF平分∠ABC，∴OG＝OH，OG＝OD，∴OD＝OH，∴点O在∠ACB的角平分线上．
（3）连接OC，
在Rt△OED与Rt△OFH中OE=OFOD=OH，∴Rt△OED≌Rt△OFH，（HL），∴∠EOD＝∠FOH，
∴∠DOH＝∠EOF＝180°﹣∠ACB，
∵AE、BF是角平分线，∴∠AOB＝90°+12∠ACB，即90°+12∠ACB＝180°﹣∠ACB，∴∠ACB＝60°；

【小结】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式56 如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．
（1）说明BE＝CF的理由；
（2）如果AB＝5，AC＝3，求AE、BE的长．

【分析】（1）连接BD，CD，由AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线的性质，即可得DE＝DF，又由DG⊥BC且平分BC，根据线段垂直平分线的性质，可得BD＝CD，继而可证得Rt△BED≌Rt△CFD，则可得BE＝CF；
（2）首先证得△AED≌△AFD，即可得AE＝AF，然后设BE＝x，由AB﹣BE＝AC+CF，即可得方程5﹣x＝3+x，解方程即可求得答案．

【解答】（1）证明：连接BD，CD，
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF，∠BED＝∠CFD＝90°，
∵DG⊥BC且平分BC，∴BD＝CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，BD=CDDE=DF，∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），∴BE＝CF；
（2）在△AED和△AFD中，∠AED=∠AFD=90°∠EAD=∠FADAD=AD，∴△AED≌△AFD（AAS），∴AE＝AF，
设BE＝x，则CF＝x，
∵AB＝5，AC＝3，AE＝AB﹣BE，AF＝AC+CF，∴5﹣x＝3+x，解得：x＝1，
∴BE＝1，AE＝AB﹣BE＝5﹣1＝4．
【小结】此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅助线，利用方程思想与数形结合思想求解．
变式57 如图，△ABC的外角∠DAC的平分线交BC边的垂直平分线于P点，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若AB＝6cm，AC＝10cm，求AD的长．

【分析】（1）连接BP、CP，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得BP＝CP，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝EP，然后利用“HL”证明Rt△BDP和Rt△CEP全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）利用“HL”证明Rt△ADP和Rt△AEP全等，根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，再根据AB、AC的长度表示出AD、CE，然后解方程即可．
【解答】（1）证明：连接BP、CP，
∵点P在BC的垂直平分线上，∴BP＝CP，
∵AP是∠DAC的平分线，∴DP＝EP，
在Rt△BDP和Rt△CEP中，BP=CPDP=EP，∴Rt△BDP≌Rt△CEP（HL），∴BD＝CE；
（2）在Rt△ADP和Rt△AEP中，AP=APDP=EP，∴Rt△ADP≌Rt△AEP（HL），∴AD＝AE，
∵AB＝6cm，AC＝10cm，∴6+AD＝10﹣AE，即6+AD＝10﹣AD，解得AD＝2cm．

【小结】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．

必考点19 尺规作图
例题20 尺规作图题：
已知：∠α、∠β，线段a．
求作：△ABC，使∠B＝∠α，∠C＝∠β，BC＝a．
（注：不写作法，保留作图痕迹）

【分析】作射线BD，在射线BD上截取BC，使得BC＝a，在线段BC的上方作∠EBC＝α，∠FCB＝β，射线BE交射线CF于A，△ABC即为所求．
【解析】如图，△ABC即为所求．

【小结】本题考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．


变式58 如图，直线l1，l2，l3表示三条相互交叉的公路，现在要建设一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，请确定中转站P的位置．要求：用尺规作图，保留作图痕迹，标注字母P，不写作法．

【分析】利用角平分线的性质定理解决问题即可，注意到三条公路的距离相等的点有四个．
【解析】如图，满足条件的点P有四个，如图所示：

【小结】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．


变式59 尺规作图．如图所示，已知A、B、C是三个新建的居民小区．现要在到三个小区距离相等的地方修建一所学校D，试确定学校D的位置．（保留作图痕迹，不写作法）

【分析】作线段AB的垂直平分线MN，作线段BC的垂直平分线EF，MN交EF于点D，点D即为所求．
【解析】如图，点D即为所求．

【小结】本题考查作图﹣应用与设计，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．

变式60 如图，求作一点P，使PC＝PD，并且点P到∠AOB两边的距离相等（不写作法，保留作图痕迹）．

【分析】连CD，作线段CD垂直平分线EF，作∠AOB的角平分线OM，OM交EF于点P，点P即为所求．
【解析】如图，点P即为所求．

【小结】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．