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初中数学 章节考点梳理：初中勾股定理章节必考点全梳理 学案
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必考点1： 赵爽弦图求值
解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
例题1： “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，∴大正方形的面积为：4×12ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．选C．
【小结】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，基础题型．
变式1： 如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求ab即可．
【解析】由题意：大正方形面积9，小正方形的面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，所以ab=12[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]=12（9﹣1）＝4，即ab＝4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则12ab＝2；所以ab＝4，选A．
【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．
变式2： 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解析】∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．选C．
【小结】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
变式3： 如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为 ．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．
【解析】根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．
【小结】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
必考点2： 勾股定理的验证
勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.
例题2： 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解析】A、∵12ab+c2+12ab=12（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；
B、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4×12ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
变式4： “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示） ， ．
【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．
【解析】如图所示：①S＝c2+12ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+12ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
【小结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
变式5： 如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
【解析】（1）如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即 12ab+12ab+12c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
变式6： （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也利用表示为12ab+12c2+12ab，∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h，∴h=125
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：
【小结】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
必考点3： 勾股定理的应用之求面积
解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
例题3： 如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．
∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．选A．
【小结】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
变式7： 如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解析】如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．选D．
【小结】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式8： 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解析】设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．选D．
【小结】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键
变式9： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积 B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和 D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，选D．
【小结】考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
必考点4： 勾股定理的应用之面积法求斜边高
解决此类问题要善于利用等积法求解.
例题4： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C．125 D．245
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=42+32=5，
∵12×AC×BC=12×CD×AB，∴12×3×4=12×5×CD，解得CD=125．选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
变式10： 如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．125
【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解析】作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，
∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=AC2-AF2=4，
∵CD⋅AE2=AD⋅CF2，∴5AE2=6×42，解得．AE=245，
∵BD=52，CD＝5，∴BC=152，∴△ABC的面积是：BC⋅AE2=152×2452=18，选A．
【小结】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式11： 如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【分析】作CP⊥AB于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出PC．
【解析】作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB=BC2+AC2=42+32=5，
S△ABC=12×AC×BC=12×AB×PC，即12×3×4=12×5×PC，解得，PC=125，故答案为：125．
【小结】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
变式12： 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．
【解析】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．
BD=AB2-AD2=9，CD=AC2-AD2=5
∴△ABC的面积为12×（9+5）×12＝84；
（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．
方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为12×（9﹣5）×12＝24．选C．
【小结】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论．
必考点5： 勾股定理的应用之方程思想
解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法.
例题5： 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
【分析】由题意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解析】根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，
∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．
∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，
设AB＝x，则AC＝4+x．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．
∴S=12×6×8=24．
【小结】本题考查了勾股定理以及三角形面积；熟练掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解题的关键．
变式13： 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
【分析】设AD＝x，根据CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，构建方程即可解决问题．
【解析】设AD＝x
∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x=75，
∴AD=75．
【小结】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
变式14： 已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【解析】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．
∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2=5．所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．
∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．
【小结】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
变式15： 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则由勾股定理得到：AC=AB2-BC2=102-62=8（cm）
设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=254，∴当t=254时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=323，
∴当t=323时，P在△ABC的角平分线上．
【小结】考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点6： 勾股定理的逆定理之判断直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
例题6： 下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝10
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解析】A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C=52+3+5×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；选D．
【小结】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
变式16： 在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3
C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝4：5：6
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解析】A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；选D．
【小结】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
变式17： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
C、如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
D、如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；选D．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
变式18： 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】如图所示：
格点C的个数是8，选C．
【小结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
必考点7： 勾股定理的逆定理之求面积）
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
例题7： 如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD求解即可．
【解析】∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，
∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AC•BC+12AD•CD=12×5×12+12×3×4＝36．
【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形是解题关键．
变式19： 如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．
【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．
【解析】在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=202-122=16，
∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积=12×7×12＝42．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
变式20： 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．
【解析】连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD=AD2+AB2=32+42=5（cm）
∴S△ABD=12AB•AD＝6（cm2）．
在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，
∴S△DBC=12BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
变式21： 如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：
（1）∠A+∠C的度数；（2）四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根据四边形内角和为360°可得∠A+∠C的度数；
（2）利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC=AB2+BC2=400+225=25，
∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACB=12×24×7+12×20×15＝234．
【小结】考查勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
必考点8： 勾股数相关问题
勾股数的求法：
（1） 如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
（2） 如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
变式1： 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，9
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．选D．
【小结】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．
变式22： 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．162 B．200 C．242 D．288
【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．
【解析】根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，选B．
【小结】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．
变式23： 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，选C．
【小结】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
变式24： 三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ．
【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．
【解析】与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
【小结】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
必考点9： 勾股定理的实际应用之梯子问题
例题8： 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=2．42+0．72=2.5（米），∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，BD=A'B2-A'D2=2．52-1．52=2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
变式25： 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）
A．10米 B．6米 C．7米 D．8米
【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．
【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，
AB=82+62=10（米），选A．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式26： 如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【分析】（1）由题意OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根据OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端离墙有多远；
（2）由题意此时CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此时OD，继而能和（1）的OB进行比较．
【解析】（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2，解得：OB＝20，
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：OD=CD2-OC2=252-72=24，∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
【小结】考查勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式27： 如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，
∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．
【小结】考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想应用．
必考点10： 勾股定理的实际应用之九章算术
例题9： 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（ ）
A．3尺 B．4.2尺 C．5尺 D．4尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．解得：x＝4.2，∴折断处离地面的高度为4.2尺，选B．
【小结】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题
．
变式28： 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r，DE＝10，OE=12CD＝1，AE＝r﹣1，
Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，选C
【小结】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
变式29： 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为 尺．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解析】设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10。答：绳索长为10尺．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式30： 【变式10-3】（2020•吉州区一模）《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）DF为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）EF即为2寸（注：一尺为10寸），则门宽AB为 尺．
【分析】解答此题的关键是弄清题意，体会古代语言和现代语言的区别，将问题转化为勾股定理来解答．
【解析】设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，解得：x＝5.05，则2x＝10.1尺，
【小结】考查勾股定理的应用，此题的难点在于理解题意，能够找到直角三角形，根据勾股定理进行计算．
必考点11： 勾股定理的实际应用之范围影响
例题10： 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
【解析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB=1002-802=60（m），∴CD＝2CB＝120m，则该校受影响时间为：120÷5＝24（s）．
【小结】考查勾股定理应用，解答本题关键是掌握勾股定理，画出示意图，另外需掌握时间＝路程÷速度．
变式31： 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC=12AB•CD=12BC•AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．
【解析】公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以AB=8002+6002=1000（米）．
因为S△ABC=12AB•CD=12BC•AC，所以CD=BC⋅ACAB=800×6001000=480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
变式32： 某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC=AB2-AC2=502-302=40（m）
∴小汽车的速度为v=402=20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．
【小结】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
变式33： 为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【解析】（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=10002-6002=800米，∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
必考点12： 勾股定理的实际应用（最短路径）
解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.
例题11： 如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解析】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC=12×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=25π．
故答案为：25π．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．
变式34： 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解析】如图是其侧面展开图：AD＝π⋅20π=20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=202+152=25（m）．
故他滑行的最短距离约为25m．故答案为：25．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为20πm的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
变式35： 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B长度即为所求．
【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202-162=12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．选D．
【小结】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
变式36： 如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少？
【分析】分三种情况：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理计算各情况下AB，再进行大小比较．
【解析】将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+AD2=152+152=152cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+AH2=202+102=105cm，
则需要爬行的最短距离是152cm．
连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=BB'2+AB'2=252+52=526cm，
∵152＜105＜526，∴则需要爬行的最短距离是152cm．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
必考点1： 赵爽弦图求值
解决此类问题要熟练运用勾股定理及完全平方公式，结合赵爽弦图利用面积之间的关系即可解决问题.
例题1： “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若ab＝8，小正方形的面积为9，则大正方形的边长为（ ）
A．9 B．6 C．5 D．4
【分析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的边长．
【解析】由题意可知：中间小正方形的边长为：a﹣b，∵每一个直角三角形的面积为：12ab=12×8＝4，∴大正方形的面积为：4×12ab+（a﹣b）2＝16+9＝25，∴大正方形的边长为5．选C．
【小结】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，基础题型．
变式1： 如图，由4个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形，若大正方形面积是9，小正方形面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，则ab的值是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据小正方形、大正方形的面积可以列出方程组，通过完全平方公式的变形公式来求ab即可．
【解析】由题意：大正方形面积9，小正方形的面积是1，直角三角形较长直角边为a，较短直角边为b，
即a2+b2＝9，a﹣b＝1，所以ab=12[（a2+b2）﹣（a﹣b）2]=12（9﹣1）＝4，即ab＝4．
解法2，4个三角形的面积和为9﹣1＝8；每个三角形的面积为2；则12ab＝2；所以ab＝4，选A．
【小结】本题考查了勾股定理在直角三角形中的灵活运用，考查了正方形面积的计算，本题中列出方程组并求解是解题的关键．
变式2： 如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH等于（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】根据面积的差得出a+b的值，再利用a﹣b＝2，解得a，b的值代入即可．
【解析】∵AB＝10，EF＝2，∴大正方形的面积是100，小正方形的面积是4，
∴四个直角三角形面积和为100﹣4＝96，设AE为a，DE为b，即4×12ab＝96，
∴2ab＝96，a2+b2＝100，∴（a+b）2＝a2+b2+2ab＝100+96＝196，
∴a+b＝14，∵a﹣b＝2，解得：a＝8，b＝6，∴AE＝8，DE＝6，∴AH＝8﹣2＝6．选C．
【小结】此题考查勾股定理的证明，关键是应用直角三角形中勾股定理的运用解得ab的值．
变式3： 如图，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短的直角边长为a，较长的直角边长为b，那么a+b的值为 ．
【分析】根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2＝a2+2ab+b2，即可求得a+b的值．
【解析】根据勾股定理可得a2+b2＝13，
四个直角三角形的面积是：12ab×4＝13﹣1＝12，即：2ab＝12，
则（a+b）2＝a2+2ab+b2＝13+12＝25，则a+b＝5．故答案为：5．
【小结】本题考查勾股定理，以及完全平方式，正确根据图形的关系求得a2+b2和ab的值是关键．
必考点2： 勾股定理的验证
勾股定理的验证，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此类题的关键.
例题2： 下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】先表示出图形中各个部分的面积，再判断即可．
【解析】A、∵12ab+c2+12ab=12（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；
B、∵4×12ab+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；
C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；
D、∵4×12ab+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，能根据图形中各个部分的面积列出等式是解此题的关键．
变式4： “赵爽弦图”巧妙地利用“出入相补”的方法证明了勾股定理．小明受此启发，探究后发现，若将4个直角边长分别为a、b，斜边长为c的直角三角形拼成如图所示的五边形，用等积法也可以证明勾股定理，则小明用两种方法表示五边形的面积分别是（用含有a、b、c的式子表示） ， ．
【分析】五边形的面积＝边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，或五边形的面积＝边长为c的正方形面积+边长为c的正方形面积+2个全等的直角边分别为a，b的直角三角形的面积，依此列式计算即可求解．
【解析】如图所示：①S＝c2+12ab×2＝c2+ab，②S＝a2+b2+12ab×2＝a2+b2+ab．
故答案为：c2+ab，a2+b2+ab．
【小结】本题考查利用图形面积的关系证明勾股定理，解题关键是利用三角形和正方形边长的关系进行组合图形．
变式5： 如图（1）是用硬板纸做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．
（1）画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理；
（2）假设图（1）中的直角三角形有若干个，你能运用图（1）中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗？请画出拼后的示意图（无需证明）
【分析】（1）此题要由图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为a+b；此题主要是利用梯形的面积和三角形的面积公式进行计算，根据图中可知，由此列出等式即可求出勾股定理；
（2）此题的方法很多，这里只举一种例子，即把四个直角三角形组成一个正方形．
【解析】（1）如图所示，是梯形；
由上图我们根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=12（a+b）（a+b）．
从上图我们还发现梯形的面积＝三个三角形的面积，即 12ab+12ab+12c2．
两者列成等式化简即可得：a2+b2＝c2；
（2）画边长为（a+b）的正方形，如图，其中a、b为直角边，c为斜边．
【小结】本题考查了勾股定理的证明，此题的关键是找等量关系，由等量关系求证勾股定理．
变式6： （1）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法可以帮助我们直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c），大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为4×12ab+（a﹣b）2，所以4×12ab+（a﹣b）2＝c2，即a2+b2＝c2．由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2．图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．
（2）试用勾股定理解决以下问题：
如果直角三角形ABC的两直角边长为3和4，则斜边上的高为 ．
（3）试构造一个图形，使它的面积能够解释（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，画在上面的网格中，并标出字母a，b所表示的线段．
【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
（2）由两直角边，利用勾股定理求出斜边长，再利用面积法即可求出斜边上的高；
（3）已知图形面积的表达式，即可根据表达式得出图形的边长的表达式，即可画出图形．
【解析】（1）梯形ABCD的面积为12（a+b）（a+b）=12a2+ab+12b2，
也利用表示为12ab+12c2+12ab，∴12a2+ab+12b2=12ab+12c2+12ab，即a2+b2＝c2；
（2）∵直角三角形的两直角边分别为3，4，∴斜边为5，
∵设斜边上的高为h，直角三角形的面积为12×3×4=12×5×h，∴h=125
（3）∵图形面积为：（a﹣2b）2＝a2﹣4ab+4b2，∴边长为a﹣2b，由此可画出的图形为：
【小结】此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个物体的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．
必考点3： 勾股定理的应用之求面积
解决此类问题要善于将面积中的平方式子与勾股定理中的平方式子建立联系.
例题3： 如图，分别以直角△ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，若S2＝7，S3＝2，那么S1＝（ ）
A．9 B．5 C．53 D．45
【分析】根据勾股定理与正方形的性质解答．
【解析】在Rt△ABC中，AB2＝BC2+AC2，∵S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝AC2，∴S1＝S2+S3．
∵S2＝7，S3＝2，∴S1＝7+2＝9．选A．
【小结】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
变式7： 如图，所有的四边形是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形边长为13cm，则图中所有的正方形的面积之和为（ ）
A．169cm2 B．196cm2 C．338cm2 D．507cm2
【分析】根据勾股定理有S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形2，S正方形A+S正方形B＝S正方形3，等量代换即可求所有正方形的面积之和．
【解析】如右图所示，根据勾股定理可知，S正方形2+S正方形3＝S正方形1，S正方形C+S正方形D＝S正方形，
S正方形A+S正方形E＝S正方形2，∴S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝S正方形1，
则S正方形1+正方形2+S正方形3+S正方形C+S正方形D+S正方形A+S正方形E＝3S正方形1＝3×132＝3×169＝507（cm2）．选D．
【小结】本题考查了勾股定理．有一定难度，注意掌握直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式8： 有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了下图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（ ）
A．1 B．2018 C．2019 D．2020
【分析】根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2×1＝2；“生长”2次后，所有的正方形的面积和是3×1＝3，推而广之即可求出“生长”2019次后形成图形中所有正方形的面积之和．
【解析】设直角三角形的是三条边分别是a，b，c．根据勾股定理，得a2+b2＝c2，
即正方形A的面积+正方形B的面积＝正方形C的面积＝1．
推而广之，“生长”了2019次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2020×1＝2020．选D．
【小结】能够根据勾股定理发现每一次得到新正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解本题的关键
变式9： 勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算术《周髀算经》中早有记载．以直角三角形纸片的各边分别向外作正方形纸片，再把较小的两张正方形纸片按如图的方式放置在最大正方形纸片内．若已知图中阴影部分的面积，则可知（ ）
A．直角三角形纸片的面积 B．最大正方形纸片的面积
C．最大正方形与直角三角形的纸片面积和 D．较小两个正方形纸片重叠部分的面积
【分析】根据勾股定理得到c2＝a2+b2，根据正方形的面积公式、长方形的面积公式计算即可．
【解析】设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，
阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），
较小两个正方形重叠部分的宽＝a﹣（c﹣b），长＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），
∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，选D．
【小结】考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
必考点4： 勾股定理的应用之面积法求斜边高
解决此类问题要善于利用等积法求解.
例题4： 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，CD⊥AB于D，则CD的长是（ ）
A．5 B．7 C．125 D．245
【分析】首先利用勾股定理计算出AB的长，再根据三角形的面积公式计算出CD的长即可．
【解析】∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，∴AB=42+32=5，
∵12×AC×BC=12×CD×AB，∴12×3×4=12×5×CD，解得CD=125．选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理，以及三角形的面积，关键是熟练掌握勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．
变式10： 如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC＝CD＝5，AD＝6，BD=52，则△ABC的面积是（ ）
A．18 B．36 C．72 D．125
【分析】先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．
【解析】作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，
∵AC＝CD＝5，AD＝6，CF⊥AD，∴AF＝3，∠AFC＝90°，∴CF=AC2-AF2=4，
∵CD⋅AE2=AD⋅CF2，∴5AE2=6×42，解得．AE=245，
∵BD=52，CD＝5，∴BC=152，∴△ABC的面积是：BC⋅AE2=152×2452=18，选A．
【小结】本题考查勾股定理、等腰三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
变式11： 如图，三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，P为直线AB上一动点，连接PC，则线段PC的最小值是 ．
【分析】作CP⊥AB于P，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出PC．
【解析】作CP⊥AB于P，由垂线段最短可知，此时PC最小，
由勾股定理得，AB=BC2+AC2=42+32=5，
S△ABC=12×AC×BC=12×AB×PC，即12×3×4=12×5×PC，解得，PC=125，故答案为：125．
【小结】本题考查的是勾股定理、垂线段最短，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．
变式12： 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，BC上的高AD长为12，则△ABC的面积为（ ）
A．84 B．24 C．24或84 D．42或84
【分析】由于高的位置是不确定的，所以应分情况进行讨论．
【解析】（1）△ABC为锐角三角形，高AD在△ABC内部．
BD=AB2-AD2=9，CD=AC2-AD2=5
∴△ABC的面积为12×（9+5）×12＝84；
（2）△ABC为钝角三角形，高AD在△ABC外部．
方法同（1）可得到BD＝9，CD＝5
∴△ABC的面积为12×（9﹣5）×12＝24．选C．
【小结】本题需注意当高的位置是不确定的时候，应分情况进行讨论．
必考点5： 勾股定理的应用之方程思想
解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法.
例题5： 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°．点D为BC边上一点，线段AD将Rt△ABC分为两个周长相等的三角形．若CD＝2，BD＝6，求△ABC的面积．
【分析】由题意得出AC+CD+AD＝AD+BD+AB．得出AC＝AB+4，设AB＝x，则AC＝4+x．在Rt△ABC中，由勾股定理得出方程，解方程得出AB＝6，由三角形面积公式即可得出答案．
【解析】根据题意可知，△ACD与△ADB的周长相等，
∴AC+CD+AD＝AD+BD+AB．∴AC+CD＝BD+AB．
∵CD＝2，BD＝6，∴AC+2＝6+AB，BC＝CD+BD＝8，∴AC＝AB+4，
设AB＝x，则AC＝4+x．
在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，∴x2+82＝（x+4）2．∴x2+64＝16+x2+8x．∴x＝6．
∴S=12×6×8=24．
【小结】本题考查了勾股定理以及三角形面积；熟练掌握勾股定理，求出AC＝AB+4是解题的关键．
变式13： 如图所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，CD是AB边上的高．求线段AD的长．
【分析】设AD＝x，根据CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，构建方程即可解决问题．
【解析】设AD＝x
∵CD⊥AB，∴∠D＝90°，∴CD2＝BC2﹣BD2＝AC2﹣AD2，∴82﹣（5+x）2＝52﹣x2，∴x=75，
∴AD=75．
【小结】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题．
变式14： 已知在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣AE2＝AC2．
（1）求∠A的度数；
（2）若DE＝3，BD＝4，求AE的长．
【分析】（1）连接CE，根据线段垂直平分线的性质转化线段BE到△AEC中，利用勾股定理的逆定理可求∠A度数；
（2）设AE＝x，则AC可用x表示，在Rt△ABC中利用勾股定理得到关于x的方程求解AE值．
【解析】（1）连接CE，∵D是BC的中点，DE⊥BC，∴CE＝BE．
∵BE2﹣AE2＝AC2，∴AE2+AC2＝CE2．∴△AEC是直角三角形，∠A＝90°；
（2）在Rt△BDE中，BE=BD2+DE2=5．所以CE＝BE＝5．
设AE＝x，则在Rt△AEC中，AC2＝CE2﹣AE2，所以AC2＝25﹣x2．
∵BD＝4，∴BC＝2BD＝8．
在Rt△ABC中，根据BC2＝AB2+AC2，即64＝（5+x）2+25﹣x2，解得x＝1.4．即AE＝1.4．
【小结】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是利用勾股定理求解线段长度，选择直角三角形借助勾股定理构造方程是解这类问题通用方法．
变式15： 如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发以每秒1cm的速度沿折线A﹣C﹣B﹣A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．
（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；
（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上（但不与A点重合），求t的值．
【分析】（1）设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，根据勾股定理列方程即可得到结论；
（2）当点P在∠CAB的平分线上时，如图1，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，根据勾股定理列方程即可得到结论．
【解析】（1）在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，
则由勾股定理得到：AC=AB2-BC2=102-62=8（cm）
设存在点P，使得PA＝PB，此时PA＝PB＝t，PC＝8﹣t，
在Rt△PCB中，PC2+CB2＝PB2，即：（8﹣t）2+62＝t2，解得：t=254，∴当t=254时，PA＝PB；
（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，
此时BP＝14﹣t，PE＝PC＝t﹣8，BE＝10﹣8＝2，
在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（t﹣8）2+22＝（14﹣t）2，解得：t=323，
∴当t=323时，P在△ABC的角平分线上．
【小结】考查了勾股定理，角平分线的性质，此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
必考点6： 勾股定理的逆定理之判断直角三角形
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
例题6： 下列条件中，不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．a：b：c＝5：12：13 B．∠A+∠B＝∠C
C．∠A：∠B：∠C＝2：3：5 D．a＝6，b＝12，c＝10
【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是90°即可．
【解析】A、∵52+122＝132，∴△ABC是直角三角形，故能判定△ABC是直角三角形；
B、∵∠A+∠B＝∠C，∴∠C＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
C、∵∠A：∠B：∠C＝2：3：5，∴∠C=52+3+5×180°＝90°，故能判定△ABC是直角三角形；
D、∵62+102≠122，∴△ABC不是直角三角形，故不能判定△ABC是直角三角形；选D．
【小结】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断．
变式16： 在△ABC中，BC＝a，AB＝c，AC＝b，则不能作为判定△ABC是直角三角形的条件的是（ ）
A．∠A＝∠B﹣∠C B．∠A：∠B：∠C＝1：4：3
C．a：b：c＝7：24：25 D．a：b：c＝4：5：6
【分析】由直角三角形的定义，只要验证最大角是否是90°；由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可．
【解析】A、由∠A＝∠B﹣∠C得到：∠B＝∠A+∠C，所以∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
B、∠A：∠B：∠C＝1：4：3，又∠A+∠B+∠C＝180°，则∠B＝90°，故能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
C、因为72+242＝252，所以能判定△ABC是直角三角形，故本选项不符合题意；
D、因为42+52≠62，所以不能判定△ABC是直角三角形，故本选项符合题意；选D．
【小结】本题主要考查三角形内角和及勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．
变式17： 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（ ）
A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC 是直角三角形
B．如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，那么△ABC 是直角三角形
C．如果 a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC 是直角三角形
D．如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠A＝90°
【分析】根据直角三角形的判定和勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】A、如果∠A﹣∠B＝∠C，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
B、如果∠A：∠B：∠C＝1：2：3，由∠A+∠B+∠C＝180°，可得∠A＝90°，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
C、如果 a2：b2：c2＝9：16：25，满足a2+b2＝c2，那么△ABC 是直角三角形，选项正确；
D、如果 a2＝b2﹣c2，那么△ABC 是直角三角形且∠B＝90°，选项错误；选D．
【小结】本题考查的是勾股定理的逆定理，即如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
变式18： 在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是直角三角形，则这样的格点C的个数是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据勾股定理的逆定理解答即可．
【解析】如图所示：
格点C的个数是8，选C．
【小结】此题考查勾股定理的逆定理，关键是根据△ABC是直角三角形得出多种情况解答．
必考点7： 勾股定理的逆定理之求面积）
如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.
例题7： 如图，四边形ABCD的四边，AB＝13，BC＝12，CD＝4，AD＝3，对角线AC⊥BC．求四边形ABCD的面积．
【分析】先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，然后利用S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD求解即可．
【解析】∵AB＝13，BC＝12，AC⊥BC，∴AC2＝AB2﹣BC2＝132﹣122＝25，
∵CD2+AD2＝42+32＝25，∴CD2+AD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形，且∠D＝90°，
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD=12AC•BC+12AD•CD=12×5×12+12×3×4＝36．
【小结】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积；熟练掌握直角三角形面积的求法，利用勾股定理的逆定理判断△ACD为直角三角形是解题关键．
变式19： 如图，在△ABC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，点B是CD延长线上一点，连接AB，若AB＝20．求：△ABD的面积．
【分析】由勾股定理的逆定理证明△ADC是直角三角形，∠C＝90°，再由勾股定理求出BC，得出BD，即可得出结果．
【解析】在△ADC中，AD＝15，AC＝12，DC＝9，AC2+DC2＝122+92＝152＝AD2，即AC2+DC2＝AD2，
∴△ADC是直角三角形，∠C＝90°，在Rt△ABC中，BC=AB2-AC2=202-122=16，
∴BD＝BC﹣DC＝16﹣9＝7，∴△ABD的面积=12×7×12＝42．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握勾股定理，由勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形是解决问题的关键．
变式20： 如图，四边形ABCD中，AB⊥AD，已知AD＝3cm，AB＝4cm，CD＝12cm，BC＝13cm，求四边形ABCD的面积．
【分析】连接BD，利用勾股定理求出BD的长，在△BDC中，判断它的形状，并求出它的面积，最后求出四边形ABCD的面积．
【解析】连接BD，∵AD＝4cm，AB＝3cm，AB⊥AD，∴BD=AD2+AB2=32+42=5（cm）
∴S△ABD=12AB•AD＝6（cm2）．
在△BDC中，∵52+122＝132，即BD2+BC2＝CD2，∴△BDC为直角三角形，即∠DBC＝90°，
∴S△DBC=12BD•BC＝30（cm2）．∴S四边形ABCD＝S△BDC﹣S△ABD＝30﹣6＝24（cm2）．
【小结】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理及三角形的面积公式．掌握勾股定理及其逆定理，连接AC，说明△ABC是直角三角形是解决本题的关键．
变式21： 如图，在四边形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°，求：
（1）∠A+∠C的度数；（2）四边形ABCD的面积．
【分析】（1）连接AC，根据勾股定理计算出AC长，再利用勾股定理逆定理判定△ACD是直角三角形，然后再根据四边形内角和为360°可得∠A+∠C的度数；
（2）利用△ACD和△ABC的面积求和即可．
【解析】（1）连接AC，∵∠B＝90°，∴AC=AB2+BC2=400+225=25，
∵242+72＝252，∴∠D＝90°，∴∠DAC+∠DCB＝360°﹣90°×2＝180°；
（2）四边形ABCD的面积＝S△ACD+S△ACB=12×24×7+12×20×15＝234．
【小结】考查勾股定理和勾股定理逆定理，关键是掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．
必考点8： 勾股数相关问题
勾股数的求法：
（1） 如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；
（2） 如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.
变式1： 下列各组数据中，不是勾股数的是（ ）
A．3，4，5 B．7，24，25 C．8，15，17 D．5，6，9
【分析】根据勾股数的定义：满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数解答即可．
【解析】A、32+42＝52，是勾股数；B、72+242＝252，是勾股数；
C、82+152＝172，是勾股数；D、52+62≠92，不是勾股数．选D．
【小结】本题考查了勾股数的定义，关键是掌握三个数必须是正整数，且满足a2+b2＝c2．
变式22： 在学习“勾股数”的知识时，爱动脑的小明发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中：
a
6
8
10
12
14
…
b
8
15
24
35
48
…
c
10
17
26
37
50
…
则当a＝20时，b+c的值为（ ）
A．162 B．200 C．242 D．288
【分析】根据表格中数据确定a、b、c的关系，然后再代入a＝20求出b、c的值，进而可得答案．
【解析】根据表格中数据可得：a2+b2＝c2，并且c＝b+2，则a2+b2＝（b+2）2，
当a＝20时，202+b2＝（b+2）2，解得：b＝99，则c＝99+2＝101，∴b+c＝200，选B．
【小结】此题主要考查了勾股数，关键是注意观察表格中的数据，确定a、b、c的数量关系．
变式23： 如果正整数a、b、c满足等式a2+b2＝c2，那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为（ ）
A．47 B．62 C．79 D．98
【分析】依据每列数的规律，即可得到a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，进而得出x+y的值．
【解析】由题可得，3＝22﹣1，4＝2×2，5＝22+1，……
∴a＝n2﹣1，b＝2n，c＝n2+1，
∴当c＝n2+1＝65时，n＝8，∴x＝63，y＝16，∴x+y＝79，选C．
【小结】本题主要考查了勾股数，满足a2+b2＝c2 的三个正整数，称为勾股数．
变式24： 三个正整数a，b，c，如果满足a2+b2＝c2，那么我们称这三个数a，b，c叫做一组勾股数．如32+42＝52，则3，4，5就是一组勾股数．请写出与3，4，5不同的一组勾股数 ．
【分析】根据题中所给勾股数的定义写出一组即可，注意答案不唯一．
【解析】与3，4，5不同的一组勾股数可以为6，8，10．
故答案为6，8，10（答案不唯一）．
【小结】本题考查了勾股数：满足a2+b2＝c2的三个正整数，称为勾股数．注意：
①三个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足a2+b2＝c2，但是它们不是正整数，所以它们不是勾股数．
②一组勾股数扩大相同的整数倍得到的三个数仍是一组勾股数．
③记住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…
必考点9： 勾股定理的实际应用之梯子问题
例题8： 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A'D为1.5米，则小巷的宽为（ ）
A．2.5米 B．2.6米 C．2.7米 D．2.8米
【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在Rt△A′BD中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长．
【解析】在Rt△ABC中，AB=AC2+BC2=2．42+0．72=2.5（米），∴A′B＝2.5米，
在Rt△A′BD中，BD=A'B2-A'D2=2．52-1．52=2（米），∴BC+BD＝2+0.7＝2.7（米），选C．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法．
变式25： 如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（ ）
A．10米 B．6米 C．7米 D．8米
【分析】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．
【解析】由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，
设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，
AB=82+62=10（米），选A．
【小结】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式26： 如图1，一架云梯斜靠在一竖直的墙上，云梯的顶端距地面15米，梯子的长度比梯子底端离墙的距离大5米．
（1）这个云梯的底端离墙多远？
（2）如图2，如果梯子的顶端下滑了8m，那么梯子的底部在水平方向滑动了多少米？
【分析】（1）由题意OA＝15米，AB﹣OB＝5米，根据OA2+OB2＝AB2，可求出梯子底端离墙有多远；
（2）由题意此时CO＝7米，CD＝AB＝25米，由勾股定理可得出此时OD，继而能和（1）的OB进行比较．
【解析】（1）根据题意可得OA＝15米，AB﹣OB＝5米，
由勾股定理OA2+OB2＝AB2，可得：152+OB2＝（5+OB）2，解得：OB＝20，
（2）由（1）可得：AB＝20+5＝25米，根据题意可得：CO＝7米，CD＝AB＝25米，
由勾股定理OC2+OD2＝CD2，可得：OD=CD2-OC2=252-72=24，∴BD＝24﹣20＝4米，
答：梯子的底部在水平方向滑动了4米．
【小结】考查勾股定理得应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
变式27： 如图，小巷左石两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为1.5米，求小巷有多宽．
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，同理可得出BD的长，进而可得出结论．
【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．
在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B′2，
∴BD2+1.52＝6.25，∴BD2＝4．∵BD＞0，∴BD＝2米．∴CD＝BC+BD＝0.7+2＝2.7米．
【小结】考查勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想应用．
必考点10： 勾股定理的实际应用之九章算术
例题9： 《九章算术》是我国古代第一部数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．“折竹抵地”问题源自《九章算术》中：“今有竹高一丈，末折抵地，去本四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB＝10尺，BC＝4尺，求AC的长．AC的长为（ ）
A．3尺 B．4.2尺 C．5尺 D．4尺
【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，利用勾股定理解题即可．
【解析】设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，
根据勾股定理得：x2+42＝（10﹣x）2．解得：x＝4.2，∴折断处离地面的高度为4.2尺，选B．
【小结】此题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用题目信息构造直角三角形，从而运用勾股定理解题
．
变式28： 《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（ ）
A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸
【分析】画出直角三角形，根据勾股定理即可得到结论．
【解析】如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，则AB＝2r，DE＝10，OE=12CD＝1，AE＝r﹣1，
Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，选C
【小结】本题考查了勾股定理的应用，弄懂题意，构建直角三角形是解题的关键．
变式29： 《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长为 尺．
【分析】设绳索长为x尺，根据勾股定理列出方程解答即可．
【解析】设绳索长为x尺，根据题意得：x2﹣（x﹣4）2＝82，解得：x＝10。答：绳索长为10尺．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
变式30： 【变式10-3】（2020•吉州区一模）《九章算术》第九章勾股篇中记载：“今有开门去阃（kun）一尺，不合二寸，问门广几何？”其大意是：今推开双门，门框到门槛的距离（称为“去阃”）DF为一尺，双门之间的缝隙（称为“不合”）EF即为2寸（注：一尺为10寸），则门宽AB为 尺．
【分析】解答此题的关键是弄清题意，体会古代语言和现代语言的区别，将问题转化为勾股定理来解答．
【解析】设单门的宽度是x米，根据勾股定理，得x2＝1+（x﹣0.1）2，解得：x＝5.05，则2x＝10.1尺，
【小结】考查勾股定理的应用，此题的难点在于理解题意，能够找到直角三角形，根据勾股定理进行计算．
必考点11： 勾股定理的实际应用之范围影响
例题10： 如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m，现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间多长？
【分析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由拖拉机的速度可得出所需时间．
【解析】设拖拉机开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．则有CA＝DA＝100m，
在Rt△ABC中，CB=1002-802=60（m），∴CD＝2CB＝120m，则该校受影响时间为：120÷5＝24（s）．
【小结】考查勾股定理应用，解答本题关键是掌握勾股定理，画出示意图，另外需掌握时间＝路程÷速度．
变式31： 在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破．已知点C与公路上的停靠站A的距离为600米，与公路上另一停靠站B的距离为800米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径400米范围内不得进入．问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
【分析】过C作CD⊥AB于D．根据CA⊥CB，得出∠ACB＝90°，利用根据勾股定理有AB＝1000米．利用S△ABC=12AB•CD=12BC•AC得到CD＝480米．再根据480米＞400米可以判断没有危险．
【解析】公路AB不需要暂时封锁．理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，∴∠ACB＝90°，因为BC＝800米，AC＝600米，所以AB=8002+6002=1000（米）．
因为S△ABC=12AB•CD=12BC•AC，所以CD=BC⋅ACAB=800×6001000=480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，因此AB段公路不需要暂时封锁．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是利用直角三角形的性质求出CD的长．
变式32： 某条道路限速70km/h，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方30m的C处，过了2s，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m，这辆小汽车超速了吗？
【分析】求小汽车是否超速，其实就是求BC的距离，直角三角形ABC中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了．
【解析】在Rt△ABC中，AC＝30m，AB＝50m；据勾股定理可得：BC=AB2-AC2=502-302=40（m）
∴小汽车的速度为v=402=20（m/s）＝20×3.6（km/h）＝72（km/h）；
∵72（km/h）＞70（km/h）；∴这辆小汽车超速行驶．答：这辆小汽车超速了．
【小结】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一．
变式33： 为了积极响应国家新农村建设，遂宁市某镇政府采用了移动宣讲的形式进行宣传动员．如图，笔直公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄A到公路MN的距离为600米，假使宣讲车P周围1000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路MN上沿PN方向行驶时：
（1）请问村庄能否听到宣传，请说明理由；
（2）如果能听到，已知宣讲车的速度是200米/分钟，那么村庄总共能听到多长时间的宣传？
【分析】（1）根据村庄A到公路MN的距离为600米＜1000米，于是得到结论；
（2）根据勾股定理得到BP＝BQ＝800米，求得PQ＝1600米，于是得到结论．
【解析】（1）村庄能否听到宣传，理由：∵村庄A到公路MN距离为600米＜1000米，∴村庄能听到宣传；
（2）如图：假设当宣讲车行驶到P点开始影响村庄，行驶QD点结束对村庄的影响，
则AP＝AQ＝1000米，AB＝600米，∴BP＝BQ=10002-6002=800米，∴PQ＝1600米，
∴影响村庄的时间为：1600÷200＝8分钟，∴村庄总共能听到8分钟的宣传．
【小结】本题考查了勾股定理的应用，解题时结合生活实际，便于更好的理解题意．
必考点12： 勾股定理的实际应用（最短路径）
解决此类问题需先将立体图形进行展开，在平面上利用两点之间线段最短作图，利用勾股定理即可求解.
例题11： 如图，圆柱的底面半径为24，高为7π，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B的最短路程是 ．
【分析】沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，求出AC和BC的长，根据勾股定理求出斜边AB即可．
【解析】如图所示：沿过A点和过B点的母线剪开，展成平面，连接AB，
则AB的长是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程，
AC=12×2π×24＝24π，∠C＝90°，BC＝7π，
由勾股定理得：AB=AC2+BC2=25π．
故答案为：25π．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，关键是知道求出AB的长就是蚂蚁在圆柱表面从A点爬到B点的最短路程．
变式34： 如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为40πm的半圆，其边缘AB＝CD＝20m，点E在CD上，CE＝5m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为 m．（边缘部分的厚度忽略不计）
【分析】要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．
【解析】如图是其侧面展开图：AD＝π⋅20π=20m，AB＝CD＝20m．DE＝CD﹣CE＝20﹣5＝15（m），
在Rt△ADE中，AE=AD2+DE2=202+152=25（m）．
故他滑行的最短距离约为25m．故答案为：25．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径为20πm的半圆的弧长，矩形的长等于AB＝CD＝20m．本题就是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．
变式35： 如图，透明的圆柱形玻璃容器（容器厚度忽略不计）的高为16cm，在容器内壁离容器底部4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，位于离容器上沿4cm的点A处，若蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为20cm，则该圆柱底面周长为（ ）
A．12cm B．14cm C．20cm D．24cm
【分析】将容器侧面展开，建立A关于EG的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B长度即为所求．
【解析】如图：将圆柱展开，EG为上底面圆周长的一半，
作A关于E的对称点A'，连接A'B交EG于F，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为AF+BF的长，即AF+BF＝A'B＝20cm，
延长BG，过A'作A'D⊥BG于D，
∵AE＝A'E＝DG＝4cm，∴BD＝16cm，Rt△A'DB中，由勾股定理得：A'D=202-162=12cm，
∴则该圆柱底面周长为24cm．选D．
【小结】本题考查了平面展开最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．
变式36： 如图，长方体的长为20cm，宽为10cm，高为15cm，点B与点C之间的距离为5cm．一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，那么需要爬行的最短距离是多少？
【分析】分三种情况：把左侧面展开到水平面上，连结AB，如图1；把右侧面展开到正面上，连结AB，如图2；把向上面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理计算各情况下AB，再进行大小比较．
【解析】将长方体沿CF、FG、GH剪开，向右翻折，使面FCHG和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图1，由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm，
在Rt△ABD中，根据勾股定理得：AB=BD2+AD2=152+152=152cm；
将长方体沿DE、EF、FC剪开，向上翻折，使面DEFC和面ADCH在同一个平面内，
连接AB，如图2，由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AB=BH2+AH2=202+102=105cm，
则需要爬行的最短距离是152cm．
连接AB，如图3，由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm，
在Rt△AB′B中，根据勾股定理得：AB=BB'2+AB'2=252+52=526cm，
∵152＜105＜526，∴则需要爬行的最短距离是152cm．
【小结】本题考查了平面展开﹣最短路径问题：先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．
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