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初中数学 章节考点梳理：相似三角形章节涉及的16个必考点全梳理 学案
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考点1 比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
例题1 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a=2，b=3，c＝3，d=2
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、3×3≠2×2，故选项错误．选B．
【小结】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
变式1 已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解析】因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d=2×63=4cm，选A．
【小结】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
变式2 若a是2，4，6的第四比例项，则a＝ ；若x是4和16的比例中项，则x＝ ．
【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；
根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．
【解析】∵a是2，4，6的第四比例项，∴2：4＝6：a，∴a＝12；
∵x是4和16的比例中项，∴x2＝4×16，解得x＝±8．
【小结】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式．
变式3 已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 ．
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解析】∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a，解得a＝3．
【小结】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
考点2 黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
例题2 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是 ．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种情况，根据黄金比值计算．
【解析】当PM＞PN时，PM=5-12MN=5-12，
当PM＜PN时，PM＝MN-5-12MN=3-52，故答案为：5-12或3-52．
【小结】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是5-12是解题的关键．
变式4 如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是5-12的为（ ）
A．ACBC B．BCAC C．BCAB D．ABBC
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5-12）叫做黄金比作出判断．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），
则ACAB=BCAC=5-12；或BC2＝AB•AC（AC＜BC），
则ACBC=BCAB=5-12．故只有ABBC的值不可能是5-12．选D．
【小结】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
变式5 如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A．5-12 B．5+12 C．3-52 D．3+52
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB，进行计算即可．
【解析】如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF=5-12，∴BE＝FH＝AB﹣AE=3-52，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（5-12×3-52）：（1×3-52）=5-12．选A．
【小结】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
变式6 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=5-12BC＝25-2，则计算出HE＝25-4，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32-22=5，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=5-12BC＝2（5-1）＝25-2，
∴HE＝BE﹣BH＝25-2﹣2＝25-4，∴DE＝2HE＝45-8
∴S△ADE=12×（45-8）×5=10﹣45．选A．
【小结】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
考点3 比例的基本性质
解决此类问题通常利用设k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
例题3 已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c的值；
（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则3a-b+c2a+3b-c=6k-3k+5k4k+9k-5k=1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．
【小结】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
变式7 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c＝12，探索△ABC的形状．
【分析】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．
【解析】设a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．
【小结】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
变式8 已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k值．
【分析】依据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【解析】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d≠0时，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k=2ab+c+d=2a-a=-2；
综上所述，k的值为23或﹣2．
【小结】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
变式9 已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
【解析】当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，则原式＝﹣1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或﹣1．
【小结】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点4 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
例题4 如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴DEDF=ABAC，即33+6=4AC，解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，∴BECF=OBOC=13，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴OBAB=24=12．
【小结】考查平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式10 如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A．103 B．203 C．52 D．152
【分析】根据平行线分线段成比例定理ADDF=BCCE=3，则BC＝3CE，利用BC+CE＝BE＝10可计算出CE长
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF=BCCE=3，∴BC＝3CE，
∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝10，∴CE=52．选C．
【小结】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式11 如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于
点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．AEBE=AFCF B．AGGF=DGEG C．AGGF=AEEB D．AEAB=AFAC
【分析】由AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得出对应线段成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案．
【解析】∵EF∥BC∴AEBE=AFCF，∴答案A正确；
根据合比性质，则有AEAE+BE=AFAF+CF 即：AEAB=AFAC，∴答案D正确；
又∵AD∥EF，∴AGGF=DGEG，∴答案B正确；
而AGGF=DGEG=ADEF，∴答案C错误．选C．
【小结】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，把握定理中对应线段成比例的“对应”两个字是解决本题的关键．
变式12 已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．ADDB=AEDH B．CFDE=DHCG C．FDFG=ECCG D．CHBC=AEAC
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解析】∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，∴DEBC=AEAC，∴CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，
选B．
【小结】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点5 相似三角形的判定
相似三角形的判定方法汇总：
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
例题5 如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解析】根据题意得：AC=12+22=5，AB=12+12=2，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：2：5，
A、三边之比为1：2：5，选项A符合题意；
B、三边之比2：5：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：5：17，选项C不符合题意；
D、三边之比为5：5：4，选项D不符合题意．
选A．
【小结】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
变式13 在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解析】当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
变式14 如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【解析】由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ABBC=ADDE=FHAF=22，∴ABAD=BCDE，ABFH=BCAF，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，选A．
【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式15 如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐标得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解析】∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵ABCD=BCEC=3，∠ABC＝∠ECD，∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD=BCED=3，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD≠BCED，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABED=BCCD=32，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC．
选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了坐标与图形性质．
考点6 相似三角形的性质（周长）
掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.
例题6 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．4：9
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=94S△ABE即可求得．
【解析】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题关键．
变式16 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解析】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG=AB2-BG2=102-82=6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE周长等于10+10+12＝32，
四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF周长为16
【小结】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
变式17 如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE=FDAB=12，
∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．选C．
【小结】考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答
变式18 如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3． 选D．
【小结】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
考点7 相似三角形的性质（面积）
掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.
例题7 如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【分析】易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例平方即可解题．
【解析】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
变式19 如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=13AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．35 B．53 C．57 D．34
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到S△AEGS△BCG=19，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到S△EAGS△EDC=116，所以S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴S△AEGS△BCG=（AEBC）2＝（AEAD）2＝（13）2=19，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴S△EAGS△EDC=（EAED）2＝（EAEA+AD）2＝（14）2=116，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．选A．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
变式20 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得S△DOES△COA=（ODOC）2=125，可求ODOC=15，即可求解．
【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴S△DOES△COA=（ODOC）2=125，∴ODOC=15，
∴S△DOE与S△COE的比为1：5，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
变式21 已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝ ．
【分析】连结AP并延长交BC于点F，则S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，则S△CPE：S△ABC＝1：8．
【解析】连结AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8
【小结】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
考点8 相似基本模型（A字型）
基础模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
例题8 已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CDAC=CECB，由CD2＝CF•CA，可得CFCD=CECB，可证EF∥BD；
（2）通过证明△BAD∽△DBE，可得BABD=BDDE，即可得结论．
【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC=CECB，
∵CD2＝CF•CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD2＝BA•DE
【小结】考查相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式22 如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；
（2）求FG的长．
【分析】（1）由EG∥AD可得出△BAD∽△BEF，利用相似三角形的性质可求出EB的长；
（2）由EG∥∥BC可得出△AEG∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合FG＝EG﹣EF可求出FG的长．
【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴BEBA=EFAD，即BEBE+6=26，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EGBC=AEAB，即EG8=66+3，∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF=103．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，求出EB的长；（2）利用相似三角形的性质，求出EG的长．
变式23 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求CE的长．
（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．
【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，所以ADAD+BD=AEAE+EC，代入数据即可求出CE的长度．
（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，所以△ADP∽△ABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．
（2）结论正确，理由如下，
在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，
同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ
【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
变式24 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若ADAC=37，求AFFG的值．
【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；
（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，
又∵ADAC=DFCG，∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，
∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．
【小结】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．
考点9 相似基本模型（X字型）
基础模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例题9 如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．
【分析】（1）证明△OAB∽△ODC，可得出结论；
（2）证得AB∥CD，可得AEDF=OEOF，BECF=OEOF，则结论得证．
【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC=AODO，
∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF=BECF．
∵AE＝BE，∴CF＝DF．
【小结】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握定理内容是解题的关键．
变式25 如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG×FE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=ECEB，即CG3=22+4，
解得，CG＝1；
（2）证明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，∴AFFE=DFFB，∴FGFA=AFFE，即AF2＝FG×FE．
【小结】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式26 如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【解析】∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AFBF=12，
∵BCCD=2，∴CD=13BD，∴AGCD=32，
∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴GEED=AGCD=32．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
变式27 如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD2＝BD•DE．
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC即可；
（2）由相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再利用相似三角形的性质证明即可．
【解析】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，
∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，
∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝BD•DE．
【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
考点10 相似基本模型（AX型）
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
例题10 如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
【解析】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=13，∴FC＝6．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DE∥BC．
变式28 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=23，求FEEG的值．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质结合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，利用相似三角形的性质可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF=BEDA．
又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE=25-2AE=23×83EF=169EF，
∴FEEG=916．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE=83EF及GE=23AE是解题的关键．
变式29 已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）求证：△AFG∽△CMG；
（2）求证：GFGM=EFEM．
【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，则结论得证；
（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，证明△AEF∽△BEM，可得出AFBM=EFEM，由BM＝CM，则结论得出．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，
∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；
（2）证明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM
∵AD∥BC，∴△AEF∽△BEM，∴AFBM=EFEM
又∵CM＝BM，∴AFCM=EFEM，∴GFGM=EFEM．
【小结】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式30 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．
【分析】（1）只要证明BEED=BFFC=12，即可推出EF∥CD解决问题；
（2）设△ABE的面积为m．利用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE，△ECD的面积即可解决问题；
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，
∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF∥CD，∴AB∥EF．
（2）设△ABE的面积为m．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴S△CDE＝4m，
∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，
∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
【小结】本题考查平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
考点11 相似基本模型（作平行线）
解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.
基础模型：
例题11 如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFC为（ ）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【分析】过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：CDCB=CGCF=12，CG=12FC＝FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=12AG＝FG，所以AF＝FG＝GC，即：AFFC=AFFG+GC=12．
【解析】过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，∴∠CGD＝∠CFB，又∵∠C＝∠C，∴△CDG∽△CBF
∴CGCF=CDCB=12，即：CG=12CF＝FG
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF
同理可得：△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG=12，即：AF=12AG＝FG
∴AF＝FG＝GC，∴AFFC=AF2AF=12=1：2，选D．
【小结】本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．
变式31 如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF＝ ．
【分析】作EH∥BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD=AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】作EH∥BC交AD于H，则△AEH∽△ABD，∴HEBD=AEAB=16，
∵BD=13BC，∴CD＝2BD，∴HECD=112，
∵EH∥BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF=CDHE=12，即CF：EF＝12，
【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．
变式32 如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE=13AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝ cm．
【分析】过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AGDC=AEDE=12，进而得出BF＝4AF＝8cm，可得AB的长度．
【解析】如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，
∵AE=13AD，AG∥BC，∴△AEG∽△DEC，∴AGDC=AEDE=12，
又∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD，∴AGBC=14，
∵AG∥BC，∴△AFG∽△BFC，∴AFBF=AGBC=14，∴BF＝4AF＝8cm，∴AB＝AF+BF＝10cm，
【小结】本题考查相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG∥BC，构造相似三角形是解决此题的关键．
变式33 如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为 ．
【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝3，∴∠ABD＝120°，
①当点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，如图1所示：则△EFC是等边三角形．
∴∠CFE＝60°，EF＝CF＝CE，∴∠BFE＝120°＝∠ABD，
∵∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DFE，∴ABBD=DFEF，即31=DFEF，∴DF＝3EF，∴DF＝3CF，∴CD＝4CF，
∵BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC+BD＝4，∴CF＝1，∴CE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝2；
②点E在AC的延长线上时．如图2所示：
∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE，即34=1CE，解得：CE=43，
∴AE＝AC+CE＝3+43=133；
综上所述，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为2或133；
【小结】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
考点12 相似基本模型（双垂直型）
直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
例题12 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可解决问题．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32，∴BCAC=23，选B．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式34 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于（ ）
A．116 B．15 C．14 D．125
【分析】根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC=5a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC求得CE=5a5，AE=45a5，得到CEAE=14，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=5a，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a，
∴CE=5a5，AE=45a5，∴CEAE=14，
∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2=116，选A．
【小结】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．
变式35 边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为316，则CE的长为 ．
【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出∠BAE+∠AEB＝90°，结合∠AEB+∠CEF＝90°可得出∠BAE＝∠CEF，由∠B＝∠C，∠BAE＝∠CEF可证出△ABE∽△ECF，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，∴CEBA=CFBE，即CE1=3161-CE，∴CE=14或CE=34．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出△ABE∽△ECF是解题的关键．
变式36 如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为 ．
【分析】设AF＝x，所以FD＝2﹣x，由题意可知：EF＝FD＝2﹣x，易证△AFE∽△CBE，所以BE=2(2-x)x，再证明△AFE∽△BFA，根据相似三角形的性质即可列出方程求出x的值．
【解析】设AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC=EFBE，∴x2=2-xBE，∴BE=2(2-x)x，∴BF＝BE+EF=4-x2x，
∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，
∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF•BF，∴x2=4-x2x•（2﹣x），解得：x=5-1，
【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
考点13 相似基本模型（手拉手型）
基础模型：
旋转放缩变换， 图中必有两对相似三角形.
例题13 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3
【分析】根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而证明△AEC与△ABD相似，利用相似三角形的性质解答即可．
【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，选A．
【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似．
变式37 如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
【分析】证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，结合图形解答即可．
【解析】ACAE=23，ABAD=34.5=23，BCDE=46=23，∴ACAE=ABAD=BCDE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，
【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．
变式38 如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．
【解析】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=OAOE，
∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正确，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，
∵△ABC∽△ADE，∴DEAE=BCAC=53，∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF=56AE，故④正确，
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故①错误．选D．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式39 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．
【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证∠ADF＝∠C，即可解决
（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可；
【解析】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，∴AEDE=EFCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．
（2）∵AE•BD＝EF•AF，∴AEAF=EFBD，
∵AD＝AF，∴AEAD=EFBD，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．
【小结】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点14 相似基本模型（一线三等角型）
基础模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
例题14 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED＝∠B，则CE的长为（ ）
A．152 B．223 C．365 D．649
【分析】证明△BAE∽△CED，推出BACE=BECD可得结论．
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，
∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，
∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，∴6CE=523，∴CE=365，选C．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式40 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，
∵BP＝2，CD＝1，∴ABAB-2=21，∴AB＝4，∴△ABC的边长为4．选B．
【小结】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
变式41 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到结论；
（3）当∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根据平行线的性质得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根据等腰三角形的性质得到CF＝2；当∠DFE＝∠BED，推出点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，得到AE是∠BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，
∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；
（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，
∵F是线段AC中点，∴CF=12AC＝3，∴25-BE=BE3，∴BE＝2或3；
（3）∵△DEF与△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，
当∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，
∵AC＝6，∴CF＝2；
当∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，
∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，
过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，∴EM＝EG＝EN，
∴AE是∠BAC的角平分线，∴BE＝CE=52，
∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，即252=52CF，∴CF=258．
综上所述，FC的长为2或258．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式42 已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE2DF2=BECF．
【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF，得出BECD⋅BDCF=(DEDF)2，由BD＝CD，即可得出结论．
【解析】证明：（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵点D是边BC的中点，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°
∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．
∴BECD=BDCF=DEDF，∴BECD⋅BDCF=(DEDF)2，又∵BD＝CD，∴DE2DF2=BECF．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
考点15 相似三角形中的动点问题
例题15 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【分析】（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的25，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
【解析】（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的25，
12⋅2x⋅(8-x)=12×10×8×25，解得：x1＝x2＝4，
答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25；
（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
因为∠C＝∠C，所以分为两种情况：
①PCBC=CQAC，2t8=8-t10，解得：t=167；
②PCAC=CQBC，2t10=8-t8，解得：t=4013；
答：经过167秒或4013秒时，△PCQ与△ABC相似．
【小结】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键．
变式43 如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【解析】（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，DFAG=BDAB
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴DF6=10-t10。解得DF=35（10﹣t）
∵S△BDE=12BE•DF＝7.5，∴35（10﹣t）•t＝15，解得t＝5．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BDBC即t10=10-t16，解得t=5013，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，BEBC=BDAB即t16=10-t10，解得t=8013．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
变式44 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）当AD＝AE时，则∠1＝∠AED＝45°，得到∠DAE＝90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA＝ED时，如图1，则∠EAD＝∠1＝45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD＝1；当DA＝DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC＝CA=2，于是有BD＝BC﹣DC＝2-2．
【解析】（1）证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，∴∠1＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝1；
当DA＝DE时，如图2，∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，∴DC＝CA=2，∴BD＝BC﹣DC＝2-2，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2-2．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
变式45 如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AD＝6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值．
【分析】（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，由点A、E关于直线BP对称，得出∠APB＝∠BPE，由平行线性质得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM=BE2-EM2=7，证出△BME∽△ENP，得出BMEN=MENP，求出NP=377，即可得出结果；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE=BE2-BH2=7，证得△AHE∽△PAB，得出AHAP=HEAB，即可得出结果．
【解析】（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，如图1所示：
∵点A、E关于直线BP对称，∴∠APB＝∠BPE，
∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∵P、E、C共线，∴∠BPC＝∠PBC，∴CP＝BC＝AD＝6，
在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，即：42+（6﹣t）2＝62，解得：t＝6﹣25或6+25（不合题意舍去），
∴t＝（6﹣25）s时，P、E、C共线；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：
则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM=BE2-EM2=42-32=7，
∵点A、E关于直线BP对称，∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，∴∠PEN＝∠EBM，∴△BME∽△ENP，
∴BMEN=MENP，即71=3NP，∴NP=377，∴t＝AP＝AN﹣NP=7-377=477；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3所示：
则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，
在Rt△BHE中，HE=BE2-BH2=42-32=7，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，∴△AHE∽△PAB，∴AHAP=HEAB，即7AP=74，解得：t＝AP＝47，
综上所述，t=477或47．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
考点16 相似三角形中的折叠问题
例题16 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC＝12，AB＝20，则CD的长为（ ）
A．193 B．254 C．258 D．6
【分析】由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE＝∠ECF＝∠B，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF＝10，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出CD的长．
【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝20，∴AC=AB2-BC2=202-122=16，
由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，∴CF＝BF，
同理可得CF＝AF，
∴F是AB的中点，∴CF=12AB＝10，
又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，∴CFCD=CACF，∴CF2＝CD×CA，即102＝CD×16，∴CD=254，选B．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
变式46 在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE•AF．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′＝AD；
②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；
③假设∠ADB′＝75°成立，则可计算出∠AB′B＝60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾；
④根据直角三角形的性质即可得到结论；⑤根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB＝AB′，
∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正确；
②如图，连接EB′．则BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．
则∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C为直角三角形．
∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C＝2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，∴FEFB'=EB'AB'，即FEFB'=EBAB=12，故FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．
∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．
③设∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y度，
则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．
又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故③正确．
④∵∠BB′C＝90°，∴BB′＜BC，故④错误；
⑤∵∠ABE＝90°，BF⊥AE，∴∠ABE＝∠AFB＝90°，
∵∠BAF＝∠BAF，∴△ABF∽△AEB，∴ABAE=AFAB，∴AB2＝AE•AF；故⑤正确，选C．
【小结】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式47 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，根据折叠得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，AG＝GH，BC＝BF＝10，AB＝BH＝6，根据勾股定理求出AG＝GH＝3，再逐个判断即可．
【解析】∵根据折叠得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，∴∠EBG=12×90°=45°，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴根据折叠得∠BFE＝∠C＝90°，∴∠ABG+∠BGA＝90°，∠EFD+∠BFA＝90°，
∵∠BGA＞∠BFA，∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB＝∠A＝90°，∠EFB＝∠C＝90°，∴∠GHB＝∠EFB，∴GH∥EF，∴∠EFD＝∠HGF，
根据已知不能推出∠AGB＝∠HGF，∴∠AGB≠∠EFD，即△DEF和△ABG不全等，∴②错误；
∵根据折叠得：AB＝BH＝6，BC＝BF＝10，∴由勾股定理得：AF=102-62=8，
∴DF＝10﹣8＝2，HF＝10﹣6＝4，
设AG＝HG＝x，在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2＝GF2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
即AG＝HG＝3，
∴S△ABG=12×AB×AG=12×6×3=9，S△FHG=12×GH×HF=12×3×4=6，∴③错误；
∵AG+DF＝3+2＝5，GF＝10﹣3﹣2＝5，∴④正确；故答案为：①④．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
变式48 已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；
（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．
【分析】（1）由勾股定理求出BD＝5，证明△DEF∽△DBA，得出比例线段EDBD=EFAB，设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，则得出4-x5=x3，解方程求出x即可；
（2）证明△BEM∽△DMN，由相似三角形的性质得出DNBM=DMBE，则可得出结论．
【解析】（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，∴∠EFD＝90°，∴∠EFD＝∠BAD，
∵∠EDF＝∠ADB，∴△DEF∽△DBA，∴EDBD=EFAB，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，∴4-x5=x3解得x=32，∴AE=32；
（2）证明：∵F为BD的中点，∠A＝∠BFE＝90°，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，
∵MN∥BE，∴∠NME＝∠BEM，
又∵MN平分∠EMD，∴∠NMD＝∠NME，∴∠NMD＝∠BEM
∴△BEM∽△DMN，∴DNBM=DMBE，∴DNBM=DMDE，∴DN•DE＝DM•BM．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法是解题的关键
考点17 相似三角形的实际应用
解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.
例题17 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解析】设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC，∴ABED=BCDC，∴x1.5=y2，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，∴y2=y+103，解得：y＝20，
把y＝20代入x1.5=y2中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
【小结】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
变式49 “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，∴1.6AB=1.16.6．解得AB＝9.6．
【小结】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
变式50 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解析】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，∴EFBC=AKAD，∴x120=80-x80，解得：x＝48．
【小结】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
变式51 20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
【分析】通过证明△CAB∽△CPQ可得126×3=x-10x，可求解．
【解析】设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，21.6km/h＝21.6×518=6m/s，
∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴ABPQ=x-10x，∴126×3=x-10x，∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
【小结】本题考查了相似三角形的应用，证明△CAB∽△CPQ是本题的关键．
考点18 作图—位似变换
掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
例题18 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．
请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，进而得出C1点的坐标；
（2）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出△ABC放大后的图形△A2B2C2，进而得到C2点的坐标；
（3）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出对应点D2的坐标．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（﹣3，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，C2（6，4）；
（3）∵原点O为位似中心，位似比为1：2，
∴点D（a，b）的对应点D2的坐标为（2a，2b）．
【小结】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键．
变式52 已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标 ；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【解析】（1）如图所示：点P（0，﹣2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）．
故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
【小结】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
变式53 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2坐标为（8，﹣6）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比．
【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
【小结】此题主要考查了位似变换以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
变式54 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，网格中画出△A1B1C1位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．
【小结】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
考点1 比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
例题1 下面四组线段中，成比例的是（ ）
A．a＝2，b＝3，c＝4，d＝5 B．a＝1，b＝2，c＝2，d＝4
C．a＝4，b＝6，c＝5 d＝10 D．a=2，b=3，c＝3，d=2
【分析】如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积，则四条线段叫成比例线段．对选项一一分析，排除错误答案．
【解析】A、2×5≠3×4，故选项错误；
B、1×4＝2×2，故选项正确；
C、4×10≠5×6，故选项错误；
D、3×3≠2×2，故选项错误．选B．
【小结】此题考查了比例线段，根据成比例线段的概念，注意在相乘的时候，最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等．同时注意单位要统一．
变式1 已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3cm，b＝2cm，c＝6cm，则d的长度为（ ）
A．4cm B．5cm C．6cm D．9cm
【分析】由a、b、c、d四条线段是成比例的线段，根据成比例线段的定义计算即可．
【解析】因为a，b，c，d是成比例线段，
可得：d=2×63=4cm，选A．
【小结】此题考查了成比例线段的定义．此题比较简单，解题的关键是注意掌握比例线段的定义．
变式2 若a是2，4，6的第四比例项，则a＝ ；若x是4和16的比例中项，则x＝ ．
【分析】根据第四比例项的概念，得2：4＝6：a，则a可求；
根据比例中项的概念，得x2＝4×16，则x可求．
【解析】∵a是2，4，6的第四比例项，∴2：4＝6：a，∴a＝12；
∵x是4和16的比例中项，∴x2＝4×16，解得x＝±8．
【小结】考查了比例线段，此题的重点是理解第四比例项、比例中项的概念，根据概念正确写出比例式．
变式3 已知四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，则a的值为 ．
【分析】根据对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如 a：b＝c：d（即ad＝bc），这四条线段是成比例线段，简称比例线段．
【解析】∵四条线段a，3，a+1，4是成比例线段，
∴a：3＝（a+1）：4即3（a+1）＝4a，解得a＝3．
【小结】本题考查了比例线段，解决本题的关键是掌握比例线段的定义．
考点2 黄金分割
黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．
例题2 在线段AB上，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果ACAB=BCAC，那么点C叫做线段AB的黄金分割点．若点P是线段MN的黄金分割点，当MN＝1时，PM的长是 ．
【分析】分PM＞PN和PM＜PN两种情况，根据黄金比值计算．
【解析】当PM＞PN时，PM=5-12MN=5-12，
当PM＜PN时，PM＝MN-5-12MN=3-52，故答案为：5-12或3-52．
【小结】本题考查的是黄金分割，掌握黄金比值是5-12是解题的关键．
变式4 如果点C是线段AB的黄金分割点，那么下列线段比的值不可能是5-12的为（ ）
A．ACBC B．BCAC C．BCAB D．ABBC
【分析】根据把一条线段分成两部分，使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项，这样的线段分割叫做黄金分割，他们的比值（5-12）叫做黄金比作出判断．
【解析】∵点C是线段AB的黄金分割点，∴AC2＝AB•BC（AC＞BC），
则ACAB=BCAC=5-12；或BC2＝AB•AC（AC＜BC），
则ACBC=BCAB=5-12．故只有ABBC的值不可能是5-12．选D．
【小结】此题主要考查了黄金分割比的概念，找出黄金分割中成比例的对应线段是解决问题的关键．
变式5 如图，已知点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，若S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，则S3：S2的值为（ ）
A．5-12 B．5+12 C．3-52 D．3+52
【分析】根据黄金分割的定义：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB，进行计算即可．
【解析】如图，设AB＝1，
∵点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，
∴AE＝GF=5-12，∴BE＝FH＝AB﹣AE=3-52，
∴S3：S2＝（GF•FH）：（BC•BE）＝（5-12×3-52）：（1×3-52）=5-12．选A．
【小结】本题考查了黄金分割、矩形的性质、正方形的性质，解决本题的关键是掌握黄金分割定义．
变式6 古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：点G将一线段MN分为两线段MG，GN，使得其中较长的一段MG是全长MN与较短的一段GN的比例中项，即满足MGMN=GNMG=5-12，后人把5-12这个数称为“黄金分割”数，把点G称为线段MN的“黄金分割”点．如图，在△ABC中，已知AB＝AC＝3，BC＝4，若D，E是边BC的两个“黄金分割”点，则△ADE的面积为（ ）
A．10﹣45 B．35-5 C．5-252 D．20﹣85
【分析】作AH⊥BC于H，如图，根据等腰三角形的性质得到BH＝CH=12BC＝2，则根据勾股定理可计算出AH=5，接着根据线段的“黄金分割”点的定义得到BE=5-12BC＝25-2，则计算出HE＝25-4，然后根据三角形面积公式计算．
【解析】作AH⊥BC于H，如图，
∵AB＝AC，∴BH＝CH=12BC＝2，
在Rt△ABH中，AH=32-22=5，
∵D，E是边BC的两个“黄金分割”点，∴BE=5-12BC＝2（5-1）＝25-2，
∴HE＝BE﹣BH＝25-2﹣2＝25-4，∴DE＝2HE＝45-8
∴S△ADE=12×（45-8）×5=10﹣45．选A．
【小结】本题考查了黄金分割：把线段AB分成两条线段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中项（即AB：AC＝AC：BC），叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点．其中AC=5-12AB≈0.618AB，并且线段AB的黄金分割点有两个．也考查了等腰三角形的性质．
考点3 比例的基本性质
解决此类问题通常利用设k法即可有效解决，注意方程思想以及分类讨论思想的灵活运用.
例题3 已知：a：b：c＝2：3：5
（1）求代数式3a-b+c2a+3b-c的值；
（2）如果3a﹣b+c＝24，求a，b，c的值．
【分析】（1）根据比例设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后代入比例式进行计算即可得解；
（2）先设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），然后将其代入3a﹣b+c＝24，即可求得a、b、c的值．
【解析】（1）∵a：b：c＝2：3：5，
∴设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则3a-b+c2a+3b-c=6k-3k+5k4k+9k-5k=1；
（2）设a＝2k，b＝3k，c＝5k（k≠0），则6k﹣3k+5k＝24，解得k＝3．则a＝2k＝6，b＝3k＝9，c＝5k＝15．
【小结】本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．
变式7 已知a、b、c是△ABC的三边，且满足a+43=b+32=c+84，且a+b+c＝12，探索△ABC的形状．
【分析】令第一个等式等于k，表示出a，b，c，代入第二个等式求出k的值，即可作出判断．
【解析】设a+43=b+32=c+84=k，可得a＝3k﹣4，b＝2k﹣3，c＝4k﹣8，
代入a+b+c＝12得：9k﹣15＝12，解得：k＝3，∴a＝5，b＝3，c＝4，则△ABC为直角三角形．
【小结】此题考查了比例的性质，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．
变式8 已知2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，求k值．
【分析】依据等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，分两种情况讨论，即可得到k的值．
【解析】∵2ab+c+d=2ba+c+d=2ca+b+d=2da+b+c=k，
∴由等比性质可得，2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=k，当a+b+c+d≠0时，k=2(a+b+c+d)3(a+b+c+d)=23；
当a+b+c+d＝0时，b+c+d＝﹣a，∴k=2ab+c+d=2a-a=-2；
综上所述，k的值为23或﹣2．
【小结】本题主要考查了比例的性质的运用，解决问题的关键是掌握比例的性质．
变式9 已知a、b、c均为非零的实数，且满足a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca，求(a+b)(b+c)(c+a)abc的值．
【分析】已知等式利用比例的性质化简表示出a+b，a+c，b+c，代入原式计算即可得到结果．
【解析】当a+b+c≠0时，
利用比例的性质化简已知等式得：a+b-cc=a-b+cb=-a+b+ca=a+b-c+a-b+c-a+b+ca+b+c=a+b+ca+b+c=1，
即a+b﹣c＝c，a﹣b+c＝b，﹣a+b+c＝a，
整理得：a+b＝2c，a+c＝2b，b+c＝2a，此时原式=8abcabc=8；
当a+b+c＝0时，可得：a+b＝﹣c，a+c＝﹣b，b+c＝﹣a，则原式＝﹣1．
综上可知，(a+b)(b+c)(c+a)abc的值为8或﹣1．
【小结】此题考查了比例的性质，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
考点4 平行线分线段成比例
平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
例题4 如图，直线l1∥l2∥l3，AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F；AC与DF交于点O．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4．
（1）求AC的长；（2）若BE：CF＝1：3，求OB：AB．
【分析】（1）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
（2）利用平行线分线段成比例定理，列出比例式解答即可．
【解析】（1）∵l1∥l2∥l3，∴DEDF=ABAC，即33+6=4AC，解得：AC＝12；
（2）∵l1∥l2∥l3，∴BECF=OBOC=13，∵AB＝4，AC＝12，∴BC＝8，∴OB＝2，∴OBAB=24=12．
【小结】考查平行线分线段成比例定理，解题时注意：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式10 如图，已知AB∥CD∥EF，它们依次交直线l1、l2于点A、D、F和点B、C、E，如果AD：DF＝3：1，BE＝10，那么CE等于（ ）
A．103 B．203 C．52 D．152
【分析】根据平行线分线段成比例定理ADDF=BCCE=3，则BC＝3CE，利用BC+CE＝BE＝10可计算出CE长
【解析】∵AB∥CD∥EF，∴ADDF=BCCE=3，∴BC＝3CE，
∵BC+CE＝BE，∴3CE+CE＝10，∴CE=52．选C．
【小结】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．
变式11 如图，在△ABC中，AD∥BC，点E在AB边上，EF∥BC，交AC边于点F，DE交AC边于
点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．AEBE=AFCF B．AGGF=DGEG C．AGGF=AEEB D．AEAB=AFAC
【分析】由AD∥EF∥BC，根据平行线分线段成比例定理可得出对应线段成比例，逐一检查每个选项即可得出正确答案．
【解析】∵EF∥BC∴AEBE=AFCF，∴答案A正确；
根据合比性质，则有AEAE+BE=AFAF+CF 即：AEAB=AFAC，∴答案D正确；
又∵AD∥EF，∴AGGF=DGEG，∴答案B正确；
而AGGF=DGEG=ADEF，∴答案C错误．选C．
【小结】本题考查的是平行线分线段成比例定理的应用，把握定理中对应线段成比例的“对应”两个字是解决本题的关键．
变式12 已知，在△ABC中，点D为AB上一点，过点D作DE∥BC，DH∥AC分别交AC、BC于点E、H，点F是BC延长线上一点，连接FD交AC于点G，则下列结论中错误的是（ ）
A．ADDB=AEDH B．CFDE=DHCG C．FDFG=ECCG D．CHBC=AEAC
【分析】首先证明四边形DECH是平行四边形，再利用平行线分线段成比例定理一一判断即可．
【解析】∵DE∥BC，DH∥AC，∴四边形DECH是平行四边形，∴DH＝CE，DE＝CH，
∵DE∥BC，∴ADDB=AEEC=AEDH，故选项A正确，不符合题意，
∵DH∥CG，∴DFFG=DHGC=ECCG，故C正确，不符合题意，
∵DE∥BC，∴DEBC=AEAC，∴CHBC=AEAC，故D正确，不符合题意，
选B．
【小结】本题考查平行线分线段成比例定理，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
考点5 相似三角形的判定
相似三角形的判定方法汇总：
1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角
形与原三角形相似．
3、判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两
个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹
角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．
5、判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这
两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似
例题5 如图，下面图形及各个选项均是由边长为1的小方格组成的网格，三角形的顶点均在小方格的顶点上，下列四个选项中哪一个阴影部分的三角形与已知△ABC相似（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据网格中的数据求出AB，AC，BC的长，求出三边之比，利用三边对应成比例的两三角形相似判断即可．
【解析】根据题意得：AC=12+22=5，AB=12+12=2，BC＝1，∴BC：AB：AC＝1：2：5，
A、三边之比为1：2：5，选项A符合题意；
B、三边之比2：5：3，选项B不符合题意；
C、三边之比为2：5：17，选项C不符合题意；
D、三边之比为5：5：4，选项D不符合题意．
选A．
【小结】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
变式13 在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是
（ ）
A． B． C． D．
【分析】如果△ACD∽△CBD，可得∠CDA＝∠BDC＝90°，即CD是AB的垂线，根据作图痕迹判断即可．
【解析】当CD是AB的垂线时，△ACD∽△CBD．
∵CD⊥AB，∴∠CDA＝∠BDC＝90°，
∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠ACD＝∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠A＝∠BCD，∴△ACD∽△CBD．
A选项中，CD是∠ACB的角平分线，不符合题意；
B选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；
C选项中，CD是AB的垂线，符合题意；
D选项中，CD不与AB垂直，不符合题意；选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
变式14 如图，在正方形网格上有5个三角形（三角形的顶点均在格点上）：①△ABC，②△ADE，③△AEF，④△AFH，⑤△AHG，在②至⑤中，与①相似的三角形是（ ）
A．②④ B．②⑤ C．③④ D．④⑤
【分析】根据两边成比例夹角相等两三角形相似即可判断．
【解析】由题意：①②④中，∠ABC＝∠ADE＝∠AFH＝135°，
又∵ABBC=ADDE=FHAF=22，∴ABAD=BCDE，ABFH=BCAF，∴△ABC∽△ADE∽△HFA，选A．
【小结】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
变式15 如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C、D、E为顶点的三角形与△ABC相似，则点E的坐标不可能是（ ）
A．（4，2） B．（6，0） C．（6，3） D．（6，5）
【分析】利用A、B、C的坐标得到AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，然后利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似对各选项进行判断．
【解析】∵点A、B、C的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），∴AB＝6，BC＝3，∠ABC＝90°，
当E点坐标为（4，2），而D（6，1），则CE＝1，CD＝2，∠ECD＝90°，
∵ABCD=BCEC=3，∠ABC＝∠ECD，∴△ABC∽△DCE；
当E点坐标为（6，0），而D（6，1），则ED＝1，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD=BCED=3，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC；
当E点坐标为（6，3），而D（6，1），则ED＝2，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABCD≠BCED，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC与△ECD不相似；
当E点坐标为（6，5），而D（6，1），则ED＝4，CD＝2，∠EDC＝90°，
∵ABED=BCCD=32，∠ABC＝∠EDC，∴△ABC∽△EDC．
选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；也考查了坐标与图形性质．
考点6 相似三角形的性质（周长）
掌握相似三角形周长比等于对应边的比是解题关键.
例题6 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AD上，如果∠ABE＝∠C，AE＝2ED，那么△ABE与△ADC的周长比为（ ）
A．1：2 B．2：3 C．1：4 D．4：9
【分析】根据已知条件先求得S△ABE：S△BED＝2：1，再根据三角形相似求得S△ACD=94S△ABE即可求得．
【解析】∵AD：ED＝3：1，∴AE：AD＝2：3，
∵∠ABE＝∠C，∠BAE＝∠CAD，∴△ABE∽△ACD，∴L△ABE：L△ACD＝2：3，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，不同底等高的三角形面积的求法等，等量代换是本题关键．
变式16 如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（ ）
A．16 B．17 C．24 D．25
【分析】先计算出△ABE的周长，然后根据相似比的知识进行解答即可．
【解析】∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，
∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，
同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，
在Rt△ABG中，AG=AB2-BG2=102-82=6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE周长等于10+10+12＝32，
四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF周长为16
【小结】本题意在综合考查平行四边形、相似三角形和勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，相似三角形的周长比等于相似比，难度较大．
变式17 如图，点E是▱ABCD的边AD上的一点，且DEAE=12，连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE＝3，DF＝4，则▱ABCD的周长为（ ）
A．21 B．28 C．34 D．42
【分析】根据平行四边形的性质得AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得AB，AE，进而根据平行四边形的周长公式求得结果．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，AB＝CD，∴△ABE∽△DFE，∴DEAE=FDAB=12，
∵DE＝3，DF＝4，∴AE＝6，AB＝8，∴AD＝AE+DE＝6+3＝9，
∴平行四边形ABCD的周长为：（8+9）×2＝34．选C．
【小结】考查相似三角形的判定和性质，关键是根据平行四边形的性质和相似三角形的判定和性质解答
变式18 如图，已知平行四边形ABCD，点E在DC上，DE：EC＝2：1，连接AE交BD于点F，则△DEF与△BAF的周长之比为（ ）
A．4：9 B．1：3 C．1：2 D．2：3
【分析】可证明△DFE∽△BFA，根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得出答案．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，∴△DFE∽△BFA，
∵DE：EC＝2：1，∴DE：DC＝2：3，∴DE：AB＝2：3，∴C△DFE：C△BFA＝2：3． 选D．
【小结】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定和性质，注：相似三角形的面积之比等于相似比的平方．
考点7 相似三角形的性质（面积）
掌握相似三角形面积比是对应边比的平方的性质是解题关键.
例题7 如图，在△ABC中，DE∥BC，BE和CD相交于点F，且S△EFC＝3S△EFD，则S△ADE：S△ABC的值为（ ）
A．1：3 B．1：8 C．1：9 D．1：4
【分析】易证△DEF∽△CBF同理可证△ADE∽△ABC，根据相似三角形面积比是对应边比例平方即可解题．
【解析】∵S△EFC＝3S△DEF，
∴DF：FC＝1：3 （两个三角形等高，面积之比就是底边之比），
∵DE∥BC，∴△DEF∽△CBF，∴DE：BC＝DF：FC＝1：3
同理△ADE∽△ABC，∴S△ADE：S△ABC＝1：9，选C．
【小结】本题考查了相似三角形的判定，考查了相似三角形面积比是对应边比例的平方的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
变式19 如图，在平行四边形ABCD中，点E在DA的延长线上，且AE=13AD，连接CE交BD于点F，交AB于点G，则S△BGC：S四边形ADCG的值是（ ）
A．35 B．53 C．57 D．34
【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，再证明△AEG∽△BCG，利用相似的性质得到S△AEGS△BCG=19，证明△EAG∽△EDC，利用相似比得到S△EAGS△EDC=116，所以S四边形ADCG＝15S△EAG，然后计算S△BGC：S四边形ADCG的值．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，AB∥CD，
∵AE∥BC，∴△AEG∽△BCG，∴S△AEGS△BCG=（AEBC）2＝（AEAD）2＝（13）2=19，即S△BCG＝9S△AEG，
∵AG∥CD，∴△EAG∽△EDC，∴S△EAGS△EDC=（EAED）2＝（EAEA+AD）2＝（14）2=116，即S△EDC＝16S△EAG，
∴S四边形ADCG＝15S△EAG，∴S△BGC：S四边形ADCG＝9S△AEG：15S△EAG＝3：5．选A．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系；也考查了平行四边形的性质．
变式20 如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则S△DOE与S△COE的比是（ ）
A．1：25 B．1：5 C．1：4 D．1：3
【分析】通过证明△DOE∽△COA，可得S△DOES△COA=（ODOC）2=125，可求ODOC=15，即可求解．
【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴S△DOES△COA=（ODOC）2=125，∴ODOC=15，
∴S△DOE与S△COE的比为1：5，选B．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的性质是本题的关键．
变式21 已知如图，DE是△ABC的中位线，点P是DE的中点，CP的延长线交AB于点Q，那么S△CPE：S△ABC＝ ．
【分析】连结AP并延长交BC于点F，则S△CPE＝S△AEP，S△AEP＝S△ADP，可得S△CPE：S△ADE＝1：2，由DE∥BC可得△ADE∽△ABC，可得S△ADE：S△ABC＝1：4，则S△CPE：S△ABC＝1：8．
【解析】连结AP并延长交BC于点F，
∵DE是△ABC的中位线，∴E是AC的中点，∴S△CPE＝S△AEP，
∵点P是DE的中点，∴S△AEP＝S△ADP，∴S△CPE：S△ADE＝1：2，
∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE：BC＝1：2，∴△ADE∽△ABC，
∴S△ADE：S△ABC＝1：4，∴S△CPE：S△ABC＝1：8
【小结】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
考点8 相似基本模型（A字型）
基础模型：
A字型（平行） 反A字型（不平行）
例题8 已知：如图，点D，F在△ABC边AC上，点E在边BC上，且DE∥AB，CD2＝CF•CA．
（1）求证：EF∥BD；
（2）如果AC•CF＝BC•CE，求证：BD2＝DE•BA．
【分析】（1）由平行线分线段成比例可得CDAC=CECB，由CD2＝CF•CA，可得CFCD=CECB，可证EF∥BD；
（2）通过证明△BAD∽△DBE，可得BABD=BDDE，即可得结论．
【解析】证明：（1）∵DE∥AB，∴CDAC=CECB，
∵CD2＝CF•CA．∴CDAC=CFCD，∴CFCD=CECB，∴EF∥BD；
（2）∵EF∥BD，∴∠CEF＝∠CBD，
∵AC•CF＝BC•CE，∴ACBC=CECF，且∠C＝∠C，∴△CEF∽△CAB，∴∠CEF＝∠A，∴∠DBE＝∠A，
∵DE∥AB，∴∠EDB＝∠DBA，且∠DBE＝∠A，∴△BAD∽△DBE，∴BABD=BDDE∴BD2＝BA•DE
【小结】考查相似三角形判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式22 如图：AD∥EG∥BC，EG交DB于点F，已知AD＝6，BC＝8，AE＝6，EF＝2．
（1）求EB的长；
（2）求FG的长．
【分析】（1）由EG∥AD可得出△BAD∽△BEF，利用相似三角形的性质可求出EB的长；
（2）由EG∥∥BC可得出△AEG∽△ABC，利用相似三角形的性质可求出EG的长，再结合FG＝EG﹣EF可求出FG的长．
【解析】（1）∵EG∥AD，∴△BAD∽△BEF，∴BEBA=EFAD，即BEBE+6=26，∴EB＝3．
（2）∵EG∥∥BC，∴△AEG∽△ABC，∴EGBC=AEAB，即EG8=66+3，∴EG=163，∴FG＝EG﹣EF=103．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）利用相似三角形的性质，求出EB的长；（2）利用相似三角形的性质，求出EG的长．
变式23 如图所示，在△ABC中，DE∥BC，AD＝5，BD＝10，AE＝3．
（1）求CE的长．
（2）在△ABC中，点D，E，Q分别是AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P．小明认为DPBQ=PEQC，你认为小明的结论正确吗？请说明你的理由．
【分析】（1）证明△ADE∽△ABC，所以ADAD+BD=AEAE+EC，代入数据即可求出CE的长度．
（2）在△ABQ中，由于DP∥BQ，所以△ADP∽△ABQ，根据相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】（1）由DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAD+BD=AEAE+EC，
∵AD＝5，BD＝10，AE＝3，∴CE＝6．
（2）结论正确，理由如下，
在△ABQ中，由于DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴DPBQ=APAQ，
同理可得：EPCQ=APAQ，∴DPBQ=EPCQ
【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
变式24 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，线段AG分别交线段DE，BC于点F，G，且ADAC=DFCG．
（1）求证：△ADF∽△ACG；
（2）若ADAC=37，求AFFG的值．
【分析】（1）由∠AED＝∠B、∠DAE＝∠CAB利用相似三角形的判定即可证出△ADE∽△ACB；根据相似三角形的性质再得出∠ADF＝∠C，即可证出△ADF∽△ACG；
（2）由（1）的结论以及相似三角形的性质即可求出答案．
【解析】（1）证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠CAB，∴△AED∽△ABC，∴∠ADF＝∠C，
又∵ADAC=DFCG，∴△ADF∽△ACG；
（2）∵△ADF∽△ACG，∴ADAC=AFAG，
∵ADAC=37，∴AFAG=37，∴AFFG=34．
【小结】本题考查相似三角形的性质和判定，记住相似三角形的判定方法是解决问题的关键，属于基础题．
考点9 相似基本模型（X字型）
基础模型：
X字型（平行） 反X字型（不平行）
例题9 如图，AD与BC交于点O，EF过点O，交AB与点E，交CD与点F，BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．
（1）求证：∠A＝∠D．
（2）若AE＝BE，求证：CF＝DF．
【分析】（1）证明△OAB∽△ODC，可得出结论；
（2）证得AB∥CD，可得AEDF=OEOF，BECF=OEOF，则结论得证．
【解析】证明：（1）∵BO＝1，CO＝3，AO=32，DO=92．∴OBOC=AODO，
∵∠AOB＝∠COD，∴△OAB∽△ODC，∴∠A＝∠D．
（2）∵∠A＝∠D，∴AB∥CD，∴AEDF=OEOF，BECF=OEOF，∴AEDF=BECF．
∵AE＝BE，∴CF＝DF．
【小结】本题考查相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理．熟练掌握定理内容是解题的关键．
变式25 如图：已知▱ABCD，过点A的直线交BC的延长线于E，交BD、CD于F、G．
（1）若AB＝3，BC＝4，CE＝2，求CG的长；
（2）证明：AF2＝FG×FE．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得到AB∥CD，证明△EGC∽△EAB，根据相似三角形的性质列出比例式，代入计算即可；
（2）分别证明△DFG∽△BFA，△AFD∽△EFB，根据相似三角形的性质证明．
【解析】（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△EGC∽△EAB，∴CGAB=ECEB，即CG3=22+4，
解得，CG＝1；
（2）证明：∴AB∥CD，∴△DFG∽△BFA，∴FGFA=DFFB，∴AD∥CB，
∴△AFD∽△EFB，∴AFFE=DFFB，∴FGFA=AFFE，即AF2＝FG×FE．
【小结】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
变式26 如图，AG∥BD，AF：FB＝1：2，BC：CD＝2：1，求GEED的值
【分析】证明△AFG∽△BFD，可得AGBD=AFBF=12，由AG∥BD，可得△AEG∽△CED，则结论得出．
【解析】∵AG∥BD，∴△AFG∽△BFD，∴AGBD=AFBF=12，
∵BCCD=2，∴CD=13BD，∴AGCD=32，
∵AG∥BD，∴△AEG∽△CED，∴GEED=AGCD=32．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
变式27 如图，已知在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于E，点D在BE延长线上，且BA•BC＝BD•BE．
（1）求证：△ABD∽△EBC；
（2）求证：AD2＝BD•DE．
【分析】（1）根据相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC即可；
（2）由相似三角形的判定证明△ABD∽△EBC，△ADE∽△BEC，△AED∽△ABD，再利用相似三角形的性质证明即可．
【解析】证明：（1）∵BE平分∠ABC，∴∠ABD＝∠EBC，
∵BA•BC＝BD•BE．即ABBC=BDBE，∴△ABD∽△EBC；
（2）∵△ABD∽△EBC，∴∠BAD＝∠BEC，∠ADB＝∠BCE，
∵∠AED＝∠BEC，∴∠BAD＝∠AED，∴△ADE∽△BEC，
∴△AED∽△ABD，∴ADBD=DEAD，即AD2＝BD•DE．
【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定方法解答．
考点10 相似基本模型（AX型）
A字型及X字型两者相结合，通过线段比进行转化.
例题10 如图，△ABC中，D．E分别是AB、AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE．
（1）求证：△ADE∽△ABC；
（2）若DF＝2，求FC的长度．
【分析】（1）由BD＝2AD，CE＝2AE可得出ADAB=AEAC，结合∠DAE＝∠BAC可证出△ADE∽△ABC；
（2）由△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质可得出DEBC=13及∠ADE＝∠ABC，利用“同位角相等，两直线平行”可得出DE∥BC，进而可得出△DEF∽△CBF，再利用相似三角形的性质可求出FC的长．
【解析】（1）证明：∵BD＝2AD，CE＝2AE，∴ADAB=AEAC=13，
又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC；
（2）∵△ADE∽△ABC，∴DEBC=ADAB=13，∠ADE＝∠ABC，∴DE∥BC，
∴△DEF∽△CBF，∴DFCF=DECB，即2CF=13，∴FC＝6．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出△ADE∽△ABC；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出DE∥BC．
变式28 如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BC上，连结AE并延长，交对角线BD于点F、DC的延长线于点G．如果CEBE=23，求FEEG的值．
【分析】由平行四边形的性质可得出AD∥BC，AD＝BC，由AD∥BE可得出△BEF∽△DAF，利用相似三角形的性质结合CEBE=23可得出AE=83EF，由CE∥AD可得出△CEG∽DAG，利用相似三角形的性质可得出GE=25GA=23AE，代入AE=83EF即可得出FEEG=916．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC．
∵AD∥BE，∴△BEF∽△DAF，∴EFAF=BEDA．
又∵BC＝BE+CE，CEBE=23，∴BE=35BC=35DA，∴EF=35AF，∴AE=3+53EF=83EF．
∵CE∥AD，△CEG∽DAG，∴GEGA=CEDA=22+3，∴GE=25GA，∴GE=25-2AE=23×83EF=169EF，
∴FEEG=916．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，利用相似三角形的性质，找出AE=83EF及GE=23AE是解题的关键．
变式29 已知，如图，在平行四边形ABCD中，M是BC边的中点，E是边BA延长线上的一点，连接EM，分别交线段AD于点F、AC于点G．
（1）求证：△AFG∽△CMG；
（2）求证：GFGM=EFEM．
【分析】（1）可得出∠FAG＝∠MCG，又∠AGF＝∠CGM，则结论得证；
（2）由（1）可得出GFGM=AFCM，证明△AEF∽△BEM，可得出AFBM=EFEM，由BM＝CM，则结论得出．
【解析】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠FAG＝∠MCG，
∵∠AGF＝∠CGM，∴△AFG∽△CMG；
（2）证明：∵△AFG∽△CMG，∴GFGM=AFCM
∵AD∥BC，∴△AEF∽△BEM，∴AFBM=EFEM
又∵CM＝BM，∴AFCM=EFEM，∴GFGM=EFEM．
【小结】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式30 如图，已知AB∥CD，AC与BD相交于点E，点F在线段BC上，ABCD=12，BFCF=12．
（1）求证：AB∥EF；
（2）求S△ABE：S△EBC：S△ECD．
【分析】（1）只要证明BEED=BFFC=12，即可推出EF∥CD解决问题；
（2）设△ABE的面积为m．利用相似三角形的性质，等高模型求出△BCE，△ECD的面积即可解决问题；
【解析】（1）证明：∵AB∥CD，∴ABCD=BEED=12，
∵BFCF=12，∴BEED=BFFC，∴EF∥CD，∴AB∥EF．
（2）设△ABE的面积为m．
∵AB∥CD，∴△ABE∽△CDE，∴S△ABES△EDC=（ABCD）2=14，∴S△CDE＝4m，
∵AECE=ABCD=12，∴S△BEC＝2m，
∴S△ABE：S△EBC：S△ECD＝m：2m：4m＝1：2：4．
【小结】本题考查平行线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．
考点11 相似基本模型（作平行线）
解决此类问题的关键是作平行线去构造相似三角形从而利用相似三角形的性质去解决问题.
基础模型：
例题11 如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则AFFC为（ ）
A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2
【分析】过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：CDCB=CGCF=12，CG=12FC＝FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=12AG＝FG，所以AF＝FG＝GC，即：AFFC=AFFG+GC=12．
【解析】过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：
∵D为BC中点，DG∥BF，∴∠CGD＝∠CFB，又∵∠C＝∠C，∴△CDG∽△CBF
∴CGCF=CDCB=12，即：CG=12CF＝FG
又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF
同理可得：△AEF∽△ADG，∴AEAD=AFAG=12，即：AF=12AG＝FG
∴AF＝FG＝GC，∴AFFC=AF2AF=12=1：2，选D．
【小结】本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．
变式31 如图，D、E分别是△ABC的边BC、AB上的点，AD、CE相交于点F，AE=15EB，BD=13BC，则CF：EF＝ ．
【分析】作EH∥BC，根据△AEH∽△ABD，得到HEBD=AEAB=16，证明△CFD∽△EFH，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．
【解析】作EH∥BC交AD于H，则△AEH∽△ABD，∴HEBD=AEAB=16，
∵BD=13BC，∴CD＝2BD，∴HECD=112，
∵EH∥BC，∴△CFD∽△EFH，∴CFEF=CDHE=12，即CF：EF＝12，
【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握作辅助线构造相似三角形的一般方法是解题的关键．
变式32 如图，AD是△ABC的中线，点E是线段AD上的一点，且AE=13AD，CE交AB于点F．若AF＝2cm，则AB＝ cm．
【分析】过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，依据相似三角形的对应边成比例，即可得到AGDC=AEDE=12，进而得出BF＝4AF＝8cm，可得AB的长度．
【解析】如图所示，过A作AG∥BC，交CF的延长线于G，
∵AE=13AD，AG∥BC，∴△AEG∽△DEC，∴AGDC=AEDE=12，
又∵AD是△ABC的中线，∴BC＝2CD，∴AGBC=14，
∵AG∥BC，∴△AFG∽△BFC，∴AFBF=AGBC=14，∴BF＝4AF＝8cm，∴AB＝AF+BF＝10cm，
【小结】本题考查相似三角形的判定与性质的运用，过A作AG∥BC，构造相似三角形是解决此题的关键．
变式33 如图，等边三角形ABC中，AB＝3，点D是CB延长线上一点，且BD＝1，点E在直线AC上，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为 ．
【分析】分两种情形分别画出图形，利用相似三角形的性质解决问题即可．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AC＝BC＝AB＝3，∴∠ABD＝120°，
①当点E在边AC上时．作EF∥AB交BC于F，如图1所示：则△EFC是等边三角形．
∴∠CFE＝60°，EF＝CF＝CE，∴∠BFE＝120°＝∠ABD，
∵∠BAD＝∠CDE，∴△ABD∽△DFE，∴ABBD=DFEF，即31=DFEF，∴DF＝3EF，∴DF＝3CF，∴CD＝4CF，
∵BC＝3，BD＝1，∴CD＝BC+BD＝4，∴CF＝1，∴CE＝1，∴AE＝AC﹣CE＝2；
②点E在AC的延长线上时．如图2所示：
∵∠ABD＝∠DCE＝120°，∠BAD＝CDE，∴△ABD∽△DCE，∴ABCD=BDCE，即34=1CE，解得：CE=43，
∴AE＝AC+CE＝3+43=133；
综上所述，当∠BAD＝∠CDE时，AE的长为2或133；
【小结】本题考查了等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题．
考点12 相似基本模型（双垂直型）
直角三角形被斜边上的高分成两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.
例题12 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（ ）
A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．2：13．
【分析】只要证明△ACD∽△CBD，可得ACBC=CDBD=64=32，由此即可解决问题．
【解析】∵∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，
∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，
∴ACBC=CDBD=64=32，∴BCAC=23，选B．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式34 如图，矩形ABCD中，F是DC上一点，BF⊥AC，垂足为E，ADAB=12，△CEF的面积为S1，△AEB的面积为S2，则S1S2的值等于（ ）
A．116 B．15 C．14 D．125
【分析】根据已知条件设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，由勾股定理得到AC=5a，根据相似三角形的性质得到BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC求得CE=5a5，AE=45a5，得到CEAE=14，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】∵ADAB=12，∴设AD＝BC＝a，则AB＝CD＝2a，∴AC=5a，
∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，
∴BC2＝CE•CA，AB2＝AE•AC
∴a2＝CE•5a，4a2＝AE•5a，
∴CE=5a5，AE=45a5，∴CEAE=14，
∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）2=116，选A．
【小结】本题考查了矩形的性质及相似三角形的判定，能够牢记射影定理的内容对解决本题起到至关重要的作用，难度不大．
变式35 边长为1的正方形ABCD，在BC边上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交CD边于点F，若CF的长为316，则CE的长为 ．
【分析】由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出∠BAE+∠AEB＝90°，结合∠AEB+∠CEF＝90°可得出∠BAE＝∠CEF，由∠B＝∠C，∠BAE＝∠CEF可证出△ABE∽△ECF，再利用相似三角形的性质可求出CE的长．
【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°．
∵EF⊥AE，∴∠AEF＝90°，∴∠AEB+∠CEF＝90°，∴∠BAE＝∠CEF，
∴△ABE∽△ECF，∴CEBA=CFBE，即CE1=3161-CE，∴CE=14或CE=34．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及三角形内角和定理，利用“两角对应相等的三角形相似”找出△ABE∽△ECF是解题的关键．
变式36 如图，AC是矩形ABCD的对角线，过点B作BE⊥AC于点E，BE的延长线交AD于点F，若DF＝EF，BC＝2，则AF的长为 ．
【分析】设AF＝x，所以FD＝2﹣x，由题意可知：EF＝FD＝2﹣x，易证△AFE∽△CBE，所以BE=2(2-x)x，再证明△AFE∽△BFA，根据相似三角形的性质即可列出方程求出x的值．
【解析】设AF＝x，∴FD＝2﹣x，∴EF＝FD＝2﹣x，
∵AD∥BC，∴△AFE∽△CBE，∴AFBC=EFBE，∴x2=2-xBE，∴BE=2(2-x)x，∴BF＝BE+EF=4-x2x，
∵∠AFE＝AFB，∠AEF＝∠BAF＝90°，
∴△AFE∽△BFA，∴AF2＝EF•BF，∴x2=4-x2x•（2﹣x），解得：x=5-1，
【小结】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于中等题型．
考点13 相似基本模型（手拉手型）
基础模型：
旋转放缩变换， 图中必有两对相似三角形.
例题13 如图，在△ABC与△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，连接BD、CE，若AC：BC＝3：4，则BD：CE为（ ）
A．5：3 B．4：3 C．5：2 D．2：3
【分析】根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似，利用相似三角形的性质得出∠BAC＝∠DAE，进而证明△AEC与△ABD相似，利用相似三角形的性质解答即可．
【解析】∵∠ACB＝∠AED＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，ACAB=AEAD，
∵∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠BAD，
∵ACAB=AEAD，∴△ACE∽△ABD，∴BDCE=ABAC，
∵AC：BC＝3：4，∠ACB＝∠AED＝90°，∴AC：BC：AB＝3：4：5，∴BD：CE＝5：3，选A．
【小结】此题考查相似三角形的判定和性质，关键是根据相似三角形的判定得出△ABC与△ADE相似．
变式37 如图，AB＝3，AC＝2，BC＝4，AE＝3，AD＝4.5，DE＝6，∠BAD＝20°，则∠CAE的度数为（ ）
A．10° B．20° C．40° D．无法确定
【分析】证明△ABC∽△ADE，根据相似三角形的性质得到∠BAC＝∠DAE，结合图形解答即可．
【解析】ACAE=23，ABAD=34.5=23，BCDE=46=23，∴ACAE=ABAD=BCDE，
∴△ABC∽△ADE，∴∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，∴∠CAE＝∠BAD＝20°，
【小结】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握三边对应成比例的两个三角形相似是解题的关键．
变式38 如图，△ABC∽△ADE，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB与DE交于点O，AB＝4，AC＝3，F是DE的中点，连接BD，BF，若点E是射线CB上的动点，下列结论：①△AOD∽△FOB，②△BOD∽△EOA，③∠FDB+∠FBE＝90°，④BF=56AE，其中正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．②③ D．②③④
【分析】首先证明△AOD∽△EOB，推出△BOD∽△EOA，再证明∠DBE＝90°，可得②③正确，利用直角三角形斜边中线的性质即可判断④正确．
【解析】∵△ABC∽△ADE，∴∠ADO＝∠OBE，∵∠AOD＝∠BOE，∴△AOD∽△EOB，∴ODOB=OAOE，
∴ODOA=OBOE，∵∠BOD＝∠AOE，∴△BOD∽△EOA，故②正确，
∵△AOD∽△EOB，△BOD∽△EOA，∴∠ADO＝∠EBO，∠AEO＝∠DBO，
∵∠ADO+∠AEO＝90°，∴∠DBE＝∠DBO+∠EBO＝90°，
∵DF＝EF，∴FD＝FB＝FE，∴∠FDB＝∠FBD，∴∠FDB+∠FBE＝∠FBD+∠FBE＝90°，故③正确，
在Rt△ABC中，∵AB＝4，AC＝3，∴BC=32+42=5，
∵△ABC∽△ADE，∴DEAE=BCAC=53，∵BF=12DE，∴2BFAE=53，∴BF=56AE，故④正确，
∵∠ADO＝∠OBE，∴∠ADO≠∠OBF，∴无法判断△AOD∽△FOB，故①错误．选D．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
变式39 已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD＝AF，AE•CE＝DE•EF．
（1）求证：△ADE∽△ACD；
（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．
【分析】（1）由AE•CE＝DE•EF，推出△AEF∽△DEC，可得∠F＝∠C，再证∠ADF＝∠C，即可解决
（2）欲证明AB＝AC，利用相似三角形的性质证明∠B＝∠C即可；
【解析】证明：（1）∵AD＝AF，∴∠ADF＝∠F，
∵AE•CE＝DE•EF，∴AEDE=EFCE，
又∵∠AEF＝∠DEC，∴△AEF∽△DEC，∴∠F＝∠C，∴∠ADF＝∠C，
又∵∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD．
（2）∵AE•BD＝EF•AF，∴AEAF=EFBD，
∵AD＝AF，∴AEAD=EFBD，
∵∠AEF＝∠EAD+∠ADE，∠ADB＝∠EAD+∠C，∴∠AEF＝∠ADB，
∴△AEF∽△ADB，∴∠F＝∠B，∴∠C＝∠B，∴AB＝AC．
【小结】本题考查等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
考点14 相似基本模型（一线三等角型）
基础模型：
如图1，∠B=∠C=∠EDF推出△BDE∽△CFD（一线三等角）
如图2，∠B=∠C=∠ADE推出△ABD∽△DCE（一线三等角）
如图3，特别地，当D时BC中点时：△BDE∽△DFE∽△CFD推出ED平分∠BEF，FD平分∠EFC.
例题14 如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，D是AC中点，E是BC上一点，BE=52，∠AED＝∠B，则CE的长为（ ）
A．152 B．223 C．365 D．649
【分析】证明△BAE∽△CED，推出BACE=BECD可得结论．
【解析】∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠B，∴∠DEC＝∠BAE，
∴△BAE∽△CED，∴BACE=BECD，
∵AB＝AC＝6，AD＝DC＝3，BE=52，∴6CE=523，∴CE=365，选C．
【小结】本题考查相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．
变式40 如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝2，CD＝1，则△ABC的边长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据等边三角形性质求出AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，推出∠BAP＝∠DPC，即可证得△ABP∽△PCD，据此解答即可，．
【解析】∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∠B＝∠C＝60°，
∴∠BAP+∠APB＝180°﹣60°＝120°，
∵∠APD＝60°，∴∠APB+∠DPC＝180°﹣60°＝120°，∴∠BAP＝∠DPC，
即∠B＝∠C，∠BAP＝∠DPC，∴△ABP∽△PCD；ABPC=BPCD，
∵BP＝2，CD＝1，∴ABAB-2=21，∴AB＝4，∴△ABC的边长为4．选B．
【小结】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，关键是推出△ABP∽△PCD，主要考查了学生的推理能力和计算能力．
变式41 如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝6，BC＝5，D是AB上一点，BD＝2，E是BC上一动点，联结DE，并作∠DEF＝∠B，射线EF交线段AC于F．
（1）求证：△DBE∽△ECF；
（2）当F是线段AC中点时，求线段BE的长；
（3）联结DF，如果△DEF与△DBE相似，求FC的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠C，由三角形的内角和和平角的定义得到∠DEF＝∠B，根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到结论；
（3）当∠BED＝∠EDF，得到DF∥BC，根据平行线的性质得到∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，根据等腰三角形的性质得到CF＝2；当∠DFE＝∠BED，推出点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，得到AE是∠BAC的角平分线，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解析】（1）∵AB＝AC＝6，∴∠B＝∠C，
∵∠BDE＝180°﹣∠B﹣∠BED，∠CEF＝180°﹣∠DEF﹣∠BED，
∵∠DEF＝∠B，∴∠BDE＝∠CEF，∴△DBE∽△ECF；
（2）∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，
∵F是线段AC中点，∴CF=12AC＝3，∴25-BE=BE3，∴BE＝2或3；
（3）∵△DEF与△DBE相似，∴∠BED＝∠EDF，或∠DFE＝∠BED，
当∠BED＝∠EDF，∴DF∥BC，∴∠ADF＝∠B，∠AFD＝∠C，∴∠ADF＝∠AFD，∴AD＝AF＝4，
∵AC＝6，∴CF＝2；
当∠DFE＝∠BED，∵△DBE∽△ECF，∴∠BED＝∠CFE，∴∠DFE＝∠CFE，∠BDE＝∠FDE，
∴点E在∠BDF与∠DFC的角平分线上，
过E 作EM⊥AB于M，EN⊥AC于N，EG⊥DF于G，连接AE，∴EM＝EG＝EN，
∴AE是∠BAC的角平分线，∴BE＝CE=52，
∵△DBE∽△ECF，∴BDCE=BECF，即252=52CF，∴CF=258．
综上所述，FC的长为2或258．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，角平分线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
变式42 已知：△ABC，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D是边BC的中点，点E在边AB上（点E不与点A、B重合），点F在边AC上，联结DE、DF．
（1）如图1，当∠EDF＝90°时，求证：BE＝AF；
（2）如图2，当∠EDF＝45°时，求证：DE2DF2=BECF．
【分析】（1）连接AD，证△BDE≌△ADF（ASA），即可得出结论；
（2）证明△BDE∽△CFD．得出BECD=BDCF=DEDF，得出BECD⋅BDCF=(DEDF)2，由BD＝CD，即可得出结论．
【解析】证明：（1）连接AD，如图1所示：
在Rt△ABC中，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°，
∵点D是边BC的中点，∴AD=12BC＝BD，AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，∴∠B＝∠CAD，
∵∠EDF＝90°，∴∠ADF+∠ADE＝90°
∵∠BDE+∠ADE＝90°，∴∠BDE＝∠ADF，
在△BDE和△ADF中，∠B=∠CADBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF（ASA），∴BE＝AF；
（2）∵∠BDF＝∠BDE+∠EDF，∠BDF＝∠C+∠CFD，∴∠BDE+∠EDF＝∠C+∠CFD．
又∵∠C＝∠EDF＝45°，∴∠BDE＝∠CFD，∴△BDE∽△CFD．
∴BECD=BDCF=DEDF，∴BECD⋅BDCF=(DEDF)2，又∵BD＝CD，∴DE2DF2=BECF．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键．
考点15 相似三角形中的动点问题
例题15 如图，Rt△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点P从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，同时点Q从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止．
（1）求经过几秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25？
（2）经过几秒，△PCQ与△ABC相似？
【分析】（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的25，根据三角形的面积和已知列出方程，求出方程的解即可；
（2）根据相似三角形的判定得出两种情况，再求出t即可．
【解析】（1）设经过x秒，△PCQ的面积等于△ABC面积的25，
12⋅2x⋅(8-x)=12×10×8×25，解得：x1＝x2＝4，
答：经过4秒后，△PCQ的面积等于△ABC面积的25；
（2）设经过t秒，△PCQ与△ABC相似，
因为∠C＝∠C，所以分为两种情况：
①PCBC=CQAC，2t8=8-t10，解得：t=167；
②PCAC=CQBC，2t10=8-t8，解得：t=4013；
答：经过167秒或4013秒时，△PCQ与△ABC相似．
【小结】本题考查了三角形的面积，直角三角形，相似三角形的判定等知识点，能得出关于x的方程是解（1）的关键，能求出符合的所有情况是解（2）的关键．
变式43 如图所示，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题：
（1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2；
（2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质和相似三角形的判定和性质求三角形BDE边BE的高即可求解；
（2）根据等腰三角形和相似三角形的判定和性质分两种情况说明即可．
【解析】（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G
如图
∴DF∥AG，DFAG=BDAB
∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6．∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t，
∴DF6=10-t10。解得DF=35（10﹣t）
∵S△BDE=12BE•DF＝7.5，∴35（10﹣t）•t＝15，解得t＝5．
（2）存在．理由如下：
①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA，∴BEAB=BDBC即t10=10-t16，解得t=5013，
②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC，BEBC=BDAB即t16=10-t10，解得t=8013．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是动点变化过程中形成不同的等腰三角形．
变式44 如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且∠B＝∠ADE＝∠C．
（1）证明：△BDA∽△CED；
（2）若∠B＝45°，BC＝2，当点D在BC上运动时（点D不与B、C重合），且△ADE是等腰三角形，求此时BD的长．
【分析】（1）根据相似三角形的判定定理即可得到结论；
（2）当AD＝AE时，则∠1＝∠AED＝45°，得到∠DAE＝90°，则点D与B重合，不合题意舍去；当EA＝ED时，如图1，则∠EAD＝∠1＝45°，所以有AD平分∠BAC，得到AD垂直平分BC，则BD＝1；当DA＝DE时，如图2，由△ADE∽△ACD，易得△CAD为等腰三角形，则DC＝CA=2，于是有BD＝BC﹣DC＝2-2．
【解析】（1）证明：∵∠B＝∠ADE＝∠C，∴∠BAD＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，
∵∠CDE＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，∴△BDA∽△CED；
（2）当AD＝AE时，∴∠1＝∠AED，
∵∠1＝45°，∴∠1＝∠ADE＝45°，∴∠DAE＝90°，∴点D与B重合，不合题意舍去；
当EA＝ED时，如图1，∴∠EAD＝∠1＝45°，
∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAD＝45°，∴AD平分∠BAC，∴AD垂直平分BC，∴BD＝1；
当DA＝DE时，如图2，∵∠1＝∠C，∠DAE＝∠CAD，∴△ADE∽△ACD，
∴DA：AC＝DE：DC，∴DC＝CA=2，∴BD＝BC﹣DC＝2-2，
∴综上所述，当△ADE是等腰三角形时，BD的长为1或2-2．
【小结】本题考查了相似三角形的判定和性质，运用相似比进行线段的计算；熟练掌握等腰直角三角形的性质；学会运用分类讨论的思想解决数学问题．
变式45 如图，已知矩形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，沿AD方向以每秒1个单位的速度运动，连接BP，作点A关于直线BP的对称点E，设点P的运动时间为t（s）．
（1）若AD＝6，P仅在边AD运动，求当P，E，C三点在同一直线上时对应的t的值．
（2）在动点P在射线AD上运动的过程中，求使点E到直线BC的距离等于3时对应的t的值．
【分析】（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，由点A、E关于直线BP对称，得出∠APB＝∠BPE，由平行线性质得出∠APB＝∠PBC，得出∠BPC＝∠PBC，在Rt△CDP中，由勾股定理得出方程，解方程即可得出结果；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，AN＝BM=BE2-EM2=7，证出△BME∽△ENP，得出BMEN=MENP，求出NP=377，即可得出结果；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，HE=BE2-BH2=7，证得△AHE∽△PAB，得出AHAP=HEAB，即可得出结果．
【解析】（1）设AP＝t，则PD＝6﹣t，如图1所示：
∵点A、E关于直线BP对称，∴∠APB＝∠BPE，
∵AD∥BC，∴∠APB＝∠PBC，
∵P、E、C共线，∴∠BPC＝∠PBC，∴CP＝BC＝AD＝6，
在Rt△CDP中，CD2+DP2＝PC2，即：42+（6﹣t）2＝62，解得：t＝6﹣25或6+25（不合题意舍去），
∴t＝（6﹣25）s时，P、E、C共线；
（2）①当点E在BC的上方，点E到BC的距离为3，作EM⊥BC于M，延长ME交AD于N，连接PE、BE，如图2所示：
则EM＝3，EN＝1，BE＝AB＝4，四边形ABMN是矩形，
在Rt△EBM中，AN＝BM=BE2-EM2=42-32=7，
∵点A、E关于直线BP对称，∴∠PEB＝∠PAB＝90°，
∵∠ENP＝∠EMB＝∠PEB＝90°，∴∠PEN＝∠EBM，∴△BME∽△ENP，
∴BMEN=MENP，即71=3NP，∴NP=377，∴t＝AP＝AN﹣NP=7-377=477；
②当点E在BC的下方，点E到BC的距离为3，作EH⊥AB的延长线于H，如图3所示：
则BH＝3，BE＝AB＝4，AH＝AB+BH＝7，
在Rt△BHE中，HE=BE2-BH2=42-32=7，
∵∠PAB＝∠BHE＝90°，AE⊥BP，∴∠APB+∠EAP＝∠HAE+∠EAP＝90°，
∴∠HAE＝∠APB，∴△AHE∽△PAB，∴AHAP=HEAB，即7AP=74，解得：t＝AP＝47，
综上所述，t=477或47．
【小结】本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线的性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，通过作辅助线构建相似三角形是解题的关键．
考点16 相似三角形中的折叠问题
例题16 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点D、E分别在AC，BC上，且∠CDE＝∠B，将△CDE沿DE折叠，点C恰好落在AB边上的点F处，若BC＝12，AB＝20，则CD的长为（ ）
A．193 B．254 C．258 D．6
【分析】由对称性可知CF⊥DE，可得∠CDE＝∠ECF＝∠B，得出CF＝BF，同理可得CF＝AF，由此可得F是AB的中点，求得CF＝10，再判定△CDF∽△CFA，得到CF2＝CD×CA，进而得出CD的长．
【解析】∵∠ACB＝90°，BC＝12，AB＝20，∴AC=AB2-BC2=202-122=16，
由对称性可知CF⊥DE，
又∵∠DCE＝90°，∴∠CDE＝∠ECF＝∠B，∴CF＝BF，
同理可得CF＝AF，
∴F是AB的中点，∴CF=12AB＝10，
又∵∠DFC＝∠ACF＝∠A，∠DCF＝∠FCA，
∴△CDF∽△CFA，∴CFCD=CACF，∴CF2＝CD×CA，即102＝CD×16，∴CD=254，选B．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，相似三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．
变式46 在正方形ABCD中，点E为BC边的中点，把△ABE沿直线AE折叠，B点落在点B′处，B′B与AE交于点F，连接AB′，DB′，FC．下列结论：①AB′＝AD；②△FCB′为等腰直角三角形；③∠CB′D＝135°；④BB′＝BC；⑤AB2＝AE•AF．其中正确的个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】①根据轴对称图形的性质，可知△ABF与△AB′F关于AE对称，即得AB′＝AD；
②连接EB′，根据E为BC的中点和线段垂直平分线的性质，求出∠BB′C为直角三角形；
③假设∠ADB′＝75°成立，则可计算出∠AB′B＝60°，推知△ABB′为等边三角形，B′B＝AB＝BC，与B′B＜BC矛盾；
④根据直角三角形的性质即可得到结论；⑤根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．
【解析】①∵点B′与点B关于AE对称，∴△ABF与△AB′F关于AE对称，∴AB＝AB′，
∵AB＝AD，∴AB′＝AD．故①正确；
②如图，连接EB′．则BE＝B′E＝EC，∠FBE＝∠FB′E，∠EB′C＝∠ECB′．
则∠FB′E+∠EB′C＝∠FBE+∠ECB′＝90°，即△BB′C为直角三角形．
∵FE为△BCB′的中位线，∴B′C＝2FE，
∵△B′EF∽△AB′F，∴FEFB'=EB'AB'，即FEFB'=EBAB=12，故FB′＝2FE．∴B′C＝FB′．
∴△FCB′为等腰直角三角形．故②正确．
③设∠ABB′＝∠AB′B＝x度，∠AB′D＝∠ADB′＝y度，
则在四边形ABB′D中，2x+2y+90°＝360°，即x+y＝135度．
又∵∠FB′C＝90°，∴∠DB′C＝360°﹣135°﹣90°＝135°．故③正确．
④∵∠BB′C＝90°，∴BB′＜BC，故④错误；
⑤∵∠ABE＝90°，BF⊥AE，∴∠ABE＝∠AFB＝90°，
∵∠BAF＝∠BAF，∴△ABF∽△AEB，∴ABAE=AFAB，∴AB2＝AE•AF；故⑤正确，选C．
【小结】此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的判定和性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
变式47 如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6，BC＝10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG＝45°；②△DEF∽△ABG；③S△ABG＝S△FGH；④AG+DF＝FG．
其中正确的是 ．（填写正确结论的序号）
【分析】根据矩形的性质得出∠A＝∠C＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD＝6，BC＝AD＝10，根据折叠得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，AG＝GH，BC＝BF＝10，AB＝BH＝6，根据勾股定理求出AG＝GH＝3，再逐个判断即可．
【解析】∵根据折叠得出∠BAG＝∠FBG，∠CBE＝∠FBE，
又∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAC＝90°，∴∠EBG=12×90°=45°，∴①正确；
∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC＝6，BC＝AD＝10，∠A＝∠C＝∠D＝90°，
∴根据折叠得∠BFE＝∠C＝90°，∴∠ABG+∠BGA＝90°，∠EFD+∠BFA＝90°，
∵∠BGA＞∠BFA，∴∠BAG≠∠EFD，
∵∠GHB＝∠A＝90°，∠EFB＝∠C＝90°，∴∠GHB＝∠EFB，∴GH∥EF，∴∠EFD＝∠HGF，
根据已知不能推出∠AGB＝∠HGF，∴∠AGB≠∠EFD，即△DEF和△ABG不全等，∴②错误；
∵根据折叠得：AB＝BH＝6，BC＝BF＝10，∴由勾股定理得：AF=102-62=8，
∴DF＝10﹣8＝2，HF＝10﹣6＝4，
设AG＝HG＝x，在Rt△FGH中，由勾股定理得：GH2+HF2＝GF2，即x2+42＝（8﹣x）2，解得：x＝3，
即AG＝HG＝3，
∴S△ABG=12×AB×AG=12×6×3=9，S△FHG=12×GH×HF=12×3×4=6，∴③错误；
∵AG+DF＝3+2＝5，GF＝10﹣3﹣2＝5，∴④正确；故答案为：①④．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质等知识点，能灵活运用定理进行推理和计算是解此题的关键．
变式48 已知，矩形ABCD，点E是AD上一点，将矩形沿BE折叠，点A恰好落在BD上点F处．
（1）如图1，若AB＝3，AD＝4，求AE的长；
（2）如图2，若点F恰好是BD的中点，点M是BD上一点，过点M作MN∥BE交AD于点N，连接EM，若MN平分∠EMD，求证：DN•DE＝DM•BM．
【分析】（1）由勾股定理求出BD＝5，证明△DEF∽△DBA，得出比例线段EDBD=EFAB，设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，则得出4-x5=x3，解方程求出x即可；
（2）证明△BEM∽△DMN，由相似三角形的性质得出DNBM=DMBE，则可得出结论．
【解析】（1）∵矩形ABCD中，∠BAD＝90°，AB＝3，AD＝4，∴BD=AB2+AD2=32+42=5，
∵AE＝EF，∠A＝∠EFB＝90°，∴∠EFD＝90°，∴∠EFD＝∠BAD，
∵∠EDF＝∠ADB，∴△DEF∽△DBA，∴EDBD=EFAB，
设AE＝EF＝x，则DE＝4﹣x，∴4-x5=x3解得x=32，∴AE=32；
（2）证明：∵F为BD的中点，∠A＝∠BFE＝90°，∴BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB，
∵MN∥BE，∴∠NME＝∠BEM，
又∵MN平分∠EMD，∴∠NMD＝∠NME，∴∠NMD＝∠BEM
∴△BEM∽△DMN，∴DNBM=DMBE，∴DNBM=DMDE，∴DN•DE＝DM•BM．
【小结】本题考查了勾股定理，折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定与性质及方程的思想方法是解题的关键
考点17 相似三角形的实际应用
解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题，利用相似及方程思想有效解决.
例题17 数学实践小组想利用镜子的反射测量池塘边一棵树的高度AB．测量和计算的部分步骤如下：
①如图，树与地面垂直，在地面上的点C处放置一块镜子，小明站在BC的延长线上，当小明在镜子中刚好看到树的顶点A时，测得小明到镜子的距离CD＝2米，小明的眼睛E到地面的距离ED＝1.5米；
②将镜子从点C沿BC的延长线向后移动10米到点F处，小明向后移动到点H处时，小明的眼睛G又刚好在镜子中看到树的顶点A，这时测得小明到镜子的距离FH＝3米；
③计算树的高度AB；
【分析】根据题意得出△ABF∽△GHF，利用相似三角形的性质得出AB，BC的长进而得出答案．
【解析】设AB＝x米，BC＝y米．
∵∠ABC＝∠EDC＝90°，∠ACB＝∠ECD
∴△ABC∽△EDC，∴ABED=BCDC，∴x1.5=y2，
∵∠ABF＝∠GHF＝90°，∠AFB＝∠GFH，
∴△ABF∽△GHF，∴ABGH=BFHF，
∴x1.5=y+103，∴y2=y+103，解得：y＝20，
把y＝20代入x1.5=y2中，得x＝15，
∴树的高度AB为15米．
【小结】此题主要考查了相似三角形的应用，正确应用相似三角形的判定与性质是解题关键．
变式49 “创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走2.8米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端（点F，M，D，N，B在同一条直线上）．若测得FM＝1.5米，DN＝1.1米，测量者眼睛到地面的距离为1.6米，求大树AB的高度．
【分析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．通过△CND∽△ANB和△EMF∽△AMB的性质求得x的值，然后结合CDAB=DNBN求得大树的高．
【解析】设NB的长为x米，则MB＝x+1.1+2.8﹣1.5＝（x+2.4）米．
由题意，得∠CND＝∠ANB，∠CDN＝∠ABN＝90°，∴△CND∽△ANB，∴CDAB=DNBN．
同理，△EMF∽△AMB，∴EFAB=FMBM．
∵EF＝CD，∴DNBN=FMBM，即1.1x=1.5x+2.4．解得x＝6.6，
∵CDAB=DNBN，∴1.6AB=1.16.6．解得AB＝9.6．
【小结】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．
变式50 如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120mm，高AD＝80mm，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【分析】根据正方形的对边平行得到BC∥EF，利用“平行于三角形的一边的直线截其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为xmm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，根据相似三角形的性质得到比例式，解方程即可得到结果．
【解析】∵四边形EGFH为正方形，∴BC∥EF，∴△AEF∽△ABC；
设正方形零件的边长为x mm，则KD＝EF＝x，AK＝80﹣x，
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，
∵AD⊥BC，∴EFBC=AKAD，∴x120=80-x80，解得：x＝48．
【小结】本题考查了正方形的性质、相似三角形的应用，注意数形结合的运用是解题关键．
变式51 20世纪90年代以来，我国户外广告行业取得了突飞猛进的发展，户外广告装置多设立于城市道路、铁路、公路等主要交通干道边上，面向密集的车流和人流．某天，小芳走到如图所示的C处时，看到正对面一条东西走向的笔直公路．上有一辆汽车从东面驶来，到达Q处时，恰好被公路北侧边上竖着的一个长12m的广告牌AB挡住，3s后在P处又重新看到该汽车的全部车身，已知该汽车的行驶速度是21.6km/h，假设AB∥PQ，公路宽为10m，求小芳所在C处到公路南侧PQ的距离．
【分析】通过证明△CAB∽△CPQ可得126×3=x-10x，可求解．
【解析】设小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为xm，21.6km/h＝21.6×518=6m/s，
∵AB∥PQ，∴△CAB∽△CPQ，∴ABPQ=x-10x，∴126×3=x-10x，∴x＝30，
∴小芳所在C处到公路南侧PQ的距离为30m．
【小结】本题考查了相似三角形的应用，证明△CAB∽△CPQ是本题的关键．
考点18 作图—位似变换
掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
例题18 如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（2，1），B（1，4），C（3，2）．
请解答下列问题：
（1）画出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，并直接写出C1点的坐标；
（2）以原点O为位似中心，位似比为1：2，在y轴的右侧，画出△ABC放大后的图形△A2B2C2，并直接写出C2点的坐标；
（3）如果点D（a，b）在线段BC上，请直接写出经过（2）的变化后对应点D2的坐标．
【分析】（1）依据轴对称的性质，即可得到△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，进而得出C1点的坐标；
（2）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出△ABC放大后的图形△A2B2C2，进而得到C2点的坐标；
（3）依据原点O为位似中心，位似比为1：2，即可得出对应点D2的坐标．
【解析】（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，C1（﹣3，2）；
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，C2（6，4）；
（3）∵原点O为位似中心，位似比为1：2，
∴点D（a，b）的对应点D2的坐标为（2a，2b）．
【小结】此题主要考查了利用位似变换进行作图，正确利用位似的性质得出对应点位置是解题的关键．
变式52 已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．
（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标 ；
（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，则点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为 ．
【分析】（1）直接利用位似图形的性质得出位似中心的位置；
（2）直接利用位似图形的性质得出对应点坐标即可．
【解析】（1）如图所示：点P（0，﹣2）；
（2）如图所示：△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为：（﹣a，﹣b）．
故答案为：（1）（0，﹣2）；（2）（﹣a，﹣b）．
【小结】此题主要考查了位似变换，正确掌握位似图形的性质是解题关键．
变式53 如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为（﹣4，3）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．
（2）以点O为位似中心，在给定网格中画△A2B2C2，使△ABC与△A2B2C2位似，且点A2坐标为（8，﹣6）．
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是 ．
【分析】（1）直接利用关于y轴对称点的性质得出答案；
（2）直接利用对应点的坐标变化得出对应点位置进而得出答案；
（3）直接利用（2）中对应点变化进而得出位似比．
【解析】（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
（3）△ABC与△A2B2C2的位似比是：1：2．
【小结】此题主要考查了位似变换以及关于y轴对称点的性质，正确得出对应点位置是解题关键．
变式54 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（1，﹣2），B（2，﹣1），C（4，﹣3）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）以点O为位似中心，网格中画出△A1B1C1位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2与△A1B1C1相似比为2：1；
（3）设点P（a，b）为△ABC内一点，则依上述两次变换后点P在△A2B2C2内的对应点P2的坐标是 ．
【分析】（1）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用关于原点为位似中心的对应点的坐标之间的关系，把点A1、B1、C1的横纵坐标都乘以2得到A2、B2、C2的坐标，然后描点即可；
（3）利用（2）中的坐标变换规律求解．
【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作；
（3）点P的对应点P2的坐标是（2a，﹣2b）．
【小结】本题考查了作图﹣位似变换：掌握画位似图形的一般步骤为（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）．
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