专题13 不等式选讲-2020年高考数学（理）二轮专项复习

专题13 不等式选讲
不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重点是不等式的证明、绝对值不等式的解法以及数学归纳法在不等式中的应用等，命题的热点是绝对值不等式的解法，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．本部分命题形式单一、稳定，是三道选考题目中最易得分的，所以可重点突破.
【知识要点】
1．含有绝对值的不等式的解法
(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；
(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；
(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法
法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
2．绝对值三角不等式
|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.此性质可用来解不等式或证明不等式．
3．基本不等式
定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．
定理2：如果a，b为正数，则≥，当且仅当a＝b时，等号成立．
定理3：如果a，b，c为正数，则≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．
定理4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．
4．柯西不等式
(1)设a，b，c，d为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．
(2)若ai，bi(i∈N*)为实数，则(a)(b)≥(aibi)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．
(3)柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|a|·|β|≥|α·β|，当且仅当这两个向量同向或反向时等号成立．
【复习要求】
（1）理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：
① ②
（2）会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：

（3）会用不等式①和②证明一些简单问题。能够利用平均值不等式求一些特定函数的极值
（4）了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法
【例题分析】
例1　(1)设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|.
①解不等式f(x)＞2；
②求函数y＝f(x)的最小值．
[解]　①解法一：令2x＋1＝0，x－4＝0分别得x＝－，x＝4.
原不等式可化为：
或或
所以原不等式的解集为：.
解法二：
f(x)＝|2x＋1|－|x－4|＝画出f(x)的图象

y＝2与f(x)图象的交点为(－7,2)，(，2)．由图象知f(x)＞2的解集为.②由①的解法二中的图象知：f(x)min＝－.
解绝对值不等式的步骤和方法：
(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤
①求零点．
②划区间、去绝对值号．
③分别解去掉绝对值的不等式．
④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．
(2)用图象法求解不等式
用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．
例2:设函数f(x)＝|3x－1|＋ax＋3.
①若a＝1，解不等式f(x)≤4；
②若函数f(x)有最小值，求a的取值范围．
[解]　①当a＝1时，f(x)＝|3x－1|＋x＋3.
当x≥时，f(x)≤4可化为3x－1＋x＋3≤4，
解得≤x≤；
当x＜时，f(x)≤4可化为－3x＋1＋x＋3≤4，
解得0≤x＜.
综上可得，原不等式的解集为.
②f(x)＝|3x－1|＋ax＋3＝，
函数f(x)有最小值的充要条件为，即－3≤a≤3.
例3　(1)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.
[解析]　当a＝－1时，f(x)＝3|x＋1|≥0，不满足题意；当a－1时，f(x)＝f(x)min＝f(a)＝－a＋1＋2a＝5，解得a＝4.[答案]　4或－6
例4　已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.
①当a＝1时，求不等式f(x)>1的解集；
②若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．
[解]　①当a＝1时，f(x)>1化为|x＋1|－2|x－1|－1>0.
当x≤－1时，不等式化为x－4>0，无解；
当－12.所以a的取值范围为(2，＋∞)．
1．解决含参数的绝对值不等式问题，常用以下两种方法
(1)将参数分类讨论，将其转化为分段函数解决；
(2)借助于绝对值的几何意义，先求出f(x)的最值或值域，然后再根据题目要求，求解参数的取值范围．
2．解答此类问题应熟记以下转化：f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a；f(x)a；f(x)0，且a＋b＝＋.证明：
①a＋b≥2；
②a2＋a0，得ab＝1.
①由基本不等式及ab＝1，
有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝1时等号成立．
②假设a2＋a