中考数学 专项训练 考点47 三角形中的旋转综合问题

专题47 三角形中的旋转综合问题
1、如图，点P是∠MON内的一点，过点P作PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，且OA＝OB．
（1）求证：PA＝PB；
（2）如图②，点C是射线AM上一点，点D是线段OB上一点，且∠CPD+∠MON＝180°，若OC＝8，OD＝5．求线段OA的长．
（3）如图③，若∠MON＝60°，将PB绕点P以每秒2°的速度顺时针旋转，12秒后，PA开始绕点P以每秒10°的速度顺时针旋转，PA旋转270°后停止，此时PB也随之停止旋转．旋转过程中，PA所在直线与OM所在直线的交点记为G，PB所在直线与ON所在直线的交点记为H．问PB旋转几秒时，PG＝PH？

（1）证明：如图①中，连接OP．∵PA⊥OM，PB⊥ON，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∵OA＝OB，OP＝OP，∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL），∴PA＝PB．
（2）如图②中，

∵∠PAO＝∠PBO＝90°，∴∠AOB+∠APB＝180°，
∵∠CPD+∠AOB＝180°，∴∠CPD＝∠APB，∴∠APC＝∠BPD，
∵PA＝PB，∠PAC＝∠PBD＝90°，∴△PAC≌△PBD（ASA），∴AC＝BD，
∴OC+OD＝OA+AC+OB﹣BD＝2OA＝13，∴OA＝6.5．
（3）设点P的旋转时间为t秒．
①当0＜t＜12时，不存在．
②当12≤t＜21时，如图3﹣1中，∠APG＝（10t﹣120）°，∠BPH＝2t°，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣120＝2t，t＝15．
③当21≤t＜30时，如图3﹣2，∠APG＝180°﹣∠APA′＝180°﹣（10t﹣120）°＝（300﹣10t）°，∠BPH＝2t，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时300﹣10t＝2t，t＝25．
④当30≤t＜39时，如图3﹣3中，∠APG＝（10t﹣300）°，∠BPH＝2t，

当∠APG＝∠BPH时，△PAG≌△PBH，可得PG＝PH，此时10t﹣300＝2t，t＝37.5，
综上所述，满足条件的t的值为15s或25s或37.5s．
2、（1）问题发现：
如图1，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB＝∠COD＝50°，连接AC，BD交于点M．

填空：①的值为　 　；
②∠AMB的度数为　 　．
（2）类比探究：如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，CD＝2OD，AB＝2OB，连接AC交BD的延长线于点M．请求出的值及∠AMB的度数，并说明理由；
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，将△OCD绕点O在平面内旋转，AC、BD所在直线交于点M，若OD＝1，OB＝，请直接写出当点C与点M重合时AC的长．
【解析】（1）问题发现
①如图1，∵∠AOB＝∠COD＝50°，∴∠COA＝∠DOB，
∵OC＝OD，OA＝OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC＝BD，∴＝1，
②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO＝∠DBO，
∵∠AOB＝50°，∴∠OAB+∠ABO＝130°，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）＝180°﹣130°＝50°，
（2）类比探究
如图2，＝，∠AMB＝90°，理由是：
Rt△COD中，∠DOC＝90°，CD＝2DO，∴∠DCO＝30°，∴＝tan30°＝，
同理得：＝tan30°＝，∴，
∵∠AOB＝∠COD＝90°，∴∠AOC＝∠BOD，∴△AOC∽△BOD，
∴，∠CAO＝∠DBO，
在△AMB中，∠AMB＝180°﹣（∠MAB+∠ABM）＝180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO）＝90°；
（3）拓展延伸
①点C与点M重合时，如图1，同（2）得：△AOC∽△BOD，

∴∠AMB＝90°，，设BD＝x，则AC＝x，
Rt△COD中，∠OCD＝30°，OD＝1，∴CD＝2，BC＝x﹣2，
Rt△AOB中，∠OAB＝30°，OB＝，∴AB＝2OB＝2，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴，
整理得：x2﹣x﹣6＝0，
∴（x﹣3）（x+2）＝0，
∴x1＝3，x2＝﹣2，
∴AC＝3；
②点C与点M重合时，如图2，同理得：∠AMB＝90°，，

设BD＝x，则AC＝x，
在Rt△AMB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2，∴+（x+2）2＝，
整理得x2+x﹣6＝0，
∴（x+3）（x﹣2）＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝2，
∴AC＝2；
综上所述，AC的长为3或2．
3、平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0）、C（0，c），a、b、c满足＝0
（1）求△ABC的面积；
（2）将线段BC向右平移至AD（点B对应点A，点C对应点D）．
①当点M为x轴上任意点（不与原点重合），ME、CF分别平分∠CMO与∠DCM，若∠AME＝α，∠DCF＝β，试用含α的代数式表示β；
②点P为线段CD上一点（不与点C、D重合），P的横坐标为t，连接BP、AC，BP交y轴于点E，交AC于点Q，若△CQE与△PQA的面积分别为S1，S2，试用含t的代数式表示S2﹣S1．

【解析】（1）如图1中，

∵＝0，又∵≥0，|b+2|≥0，（c﹣4）2≥0，∴a＝5，b＝﹣2，c＝4，
∴A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴OA＝5，OB＝2，OC＝4，∴AB＝OB+OA＝2+5＝7，
∴S△ABC＝•AB•OC＝×7×4＝14．
（2）①如图2﹣1中，当点E在射线OB上时，α+β＝90°

理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，
∵∠DCF＝∠DCM＝β，∠AME＝∠AMC＝α，∴α+β＝90°．
当点M在线段AB上时，如图2﹣2中，α+β＝180°．

理由：∵CD∥AM，∴∠DCM+∠AMC＝180°，∠DCM＝∠CMB，
∵∠DCM＝2∠DCF＝2β，∠FCM＝∠DCM，∠EMC＝∠CMB，
∴∠FCM＝∠EMC＝β，∴∠AMC＝180°﹣2β，
∵∠AME＝∠AMC+∠EMC，∴α＝β+180°﹣2β，∴α+β＝180°．
当点M在线段OA的延长线上时，如图2﹣3中，α＝β．

理由：：∵CD∥AM，∴∠DCM＝∠CMB，
∵∠DCF＝∠DCM，∠AME＝∠CMB，∴∠DCF＝∠AME，∴α＝β．
②如图3中，设E（0，m）．

由题意：P（t，4），A（5，0），B（﹣2，0），C（0，4），∴S△BCP＝S△BCE+S△ECP，
∴×t×4＝×（4﹣m）×2+×（4﹣m）×t，∴m＝，
∴S2﹣S1＝S△PCA﹣S△PCE′＝×t×4﹣×t×（4﹣）＝．
4、如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，4），B（﹣4，0），C（4，0）．
（Ⅰ）如图①，若∠BAD＝15°，AD＝3，求点D的坐标；
（Ⅱ）如图②，AD＝2，将△ABD绕点A逆时针方向旋转得到△ACE，点B，D的对应点分别为C，E．连接DE，BD的延长线与CE相交于点F．
①求DE的长；
②证明：BF⊥CE．
（Ⅲ）如图③，将（Ⅱ）中的△ADE绕点A在平面内旋转一周，在旋转过程中点D，E的对应点分别为D1，E1，点N，P分别为D1E1，D1C的中点，请直接写出△OPN面积S的变化范围．

【解析】（Ⅰ）∵OA＝OB＝4，∠AOB＝90°，
∴∠OAB＝∠ABO＝45°．
∴∠DAO＝∠OAB﹣∠DAB＝30°．
如图①中，过点D作DG⊥OA，垂足为G．

在Rt△ADG中，∠DAG＝30°，
∴，，
∴，
∴点D的坐标为．

（Ⅱ）①如图②中，

∵∠DAE＝∠BAC＝90°，AD＝AE＝2，
∴在Rt△DAE中，，
②∵OA＝OB＝OC＝4，∠AOB＝∠AOC＝90°，
∴∠OAB＝∠ABO＝∠ACO＝∠OAC＝45°，∴∠BAC＝90°，
∵△ABD旋转得到△ACE，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE，
在△BFC中，则有∠FBC+∠FCB＝∠FBC+∠BCA+∠ACE＝∠FBC+∠BCA+∠ABD＝∠ABC+∠BCA＝90°，
∴BF⊥CE．

（Ⅲ）如图③中，

∵OB＝OC，PC＝PD1，NE1＝ND1，
∴OP＝BD1，PN＝E1C，OP∥BD1，PN∥CE1
∵BD1⊥E1C，BD1＝E1C，∴OP⊥PN，OP＝PN，
∴△OPN是等腰直角三角形，
∵AB＝4，AD1＝2，
∴4﹣2≤BD1≤4+2，
∴2﹣1≤OP≤2+1，
∴△OPN面积的最小值＝（2﹣1）2＝﹣2，△OPN的面积的最大值＝+2，
∴．
5、问题发现：如图（1）在Rt△ABC和Rt△BDE中，∠A＝∠DEB＝30°，BC＝BE＝6，Rt△BDE绕点B逆时针旋转，H为CD的中点，当点C与点E重合时，BH与AE的位置关系为　 　，BH与AE的数量关系为　 　；
问题证明：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明若不成立，请说明理由；
拓展应用：在Rt△BDE绕点B旋转的过程中，当DE∥BC时，请直接写出BH2的长．

【解析】问题发现：如图1中，结论：AE＝2BH，AE⊥BH．

理由：在Rt△ABC中，∵BC＝6，∠A＝30°，∴AE＝2BC＝12，
在Rt△CDB中，∵∠DCB＝30°，∴CD＝＝4，
∵CH＝DH，∴BH＝CD＝2，
∴＝＝2，
∴AE＝2BH．
故答案为AE⊥BH，AE＝2BH．
问题证明：如图2中，（1）中结论成立．

理由：延长BH到F使得HF＝BH，连接CF．设AE交BF于O．
∵CH＝DH，BH＝HF，∠CHF＝∠BHD，
∴△CHF≌△DHB（SAS），
∴BD＝CF，∠F＝∠DBH，
∴CF∥BD，
∵AB＝ BC，BE＝ BD，∴BE＝CF，∴＝＝，
∵CF∥BD，∴∠BCF+∠CBD＝180°，
∵∠ABC+∠DBE＝∠ABD+∠CBD+∠CBD+∠CBE＝∠CBD+∠ABE＝180°，
∴∠BCF＝∠ABE，
∴△ABE∽△BCF，
∴∠CBF＝∠BAE，＝＝，
∴AE＝BF＝2BH，
∵∠CBF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF+∠BAE＝90°，
∴∠AOB＝90°，
∴BH⊥AE．


拓展应用：如图3﹣1中，当DE在BC的下方时，延长AB交DE于F．

∵DE∥BC，∴∠ABC＝∠BFD＝90°，
由题意BC＝BE＝6，AB＝6，BD＝2，DE＝4，
∵•BD•BE＝•DE•BF，
∴BF＝＝3，
∴EF＝BF＝3，
∴AF＝6+3，
∴AE2＝AF2+EF2＝（6+3）2+（3）2＝144+36．
∵AE＝2BH，
∴AE2＝12BH2，
∴BH2＝12+3

如图3﹣2中，当DE在BC的上方时，同法可得AF＝6﹣3，EF＝3，

∴BH2＝＝（＝12﹣3．
6、已知△ABC是等边三角形，D是BC上一点，△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置．
（1）如图，旋转中心是　 　，∠DAE＝　 　°；
（2）如图，如果M是AB的中点，那么经过上述旋转后，点M转动了　 　度；
（3）如果点D为BC边上的三等分点，且△ABD的面积为3，那么四边形ADCE的面积为　 　．

【解析】（1）∵△ABC为等边三角形，
∴∠BAC＝60°
∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴旋转中心是点A，∠DAE＝∠BAC＝60°；
（2）∵AB和AC为对应边，
∴经过上述旋转后，点M转到了AC的中点位置，如图，
∴∠MAM′＝60°，
∴点M转动了60°；
（3）∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，
∴△ABD≌△ACE，
∵BD＝BC，或BD＝BC，
∴CD＝2BD，或CD＝BD，
∴S△ABC＝3S△ABD＝3×3＝9，或S△ABC＝S△ABD＝3×＝，
∴S四边形ADCE＝S△ABC＝9或．
故答案为点A，60；60；9或．

7、如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：
图1中，线段PM与PN的数量关系是　 　，位置关系是　 　；
（2）探究证明：
把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：
把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．

【解析】（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN＝BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，∴PM∥CE，PM＝CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴BD＝CE，∴PM＝PN，
∵PN∥BD，∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；

（2）△PMN是等腰直角三角形．
由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
利用三角形的中位线得，PN＝BD，PM＝CE，
∴PM＝PN，∴△PMN是等腰三角形，
同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC
＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC
＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，
∵∠BAC＝90°，∴∠ACB+∠ABC＝90°，
∴∠MPN＝90°，
∴△PMN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，△PMN是等腰直角三角形，
∴MN最大时，△PMN的面积最大，∴DE∥BC且DE在顶点A上面，∴MN最大＝AM+AN，
连接AM，AN，
在△ADE中，AD＝AE＝4，∠DAE＝90°，∴AM＝2，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝10，AN＝5，∴MN最大＝2+5＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×MN2＝×（7）2＝．
方法2：由（2）知，△PMN是等腰直角三角形，PM＝PN＝BD，
∴PM最大时，△PMN面积最大，
∴点D在BA的延长线上，
∴BD＝AB+AD＝14，∴PM＝7，
∴S△PMN最大＝PM2＝×72＝．
8、如图，两个等腰直角△ABC和△CDE中，∠ACB＝∠DCE＝90°．
（1）观察猜想如图1，点E在BC上，线段AE与BD的数量关系是　 　，位置关系是　 　．
（2）探究证明把△CDE绕直角顶点C旋转到图2的位置，（1）中的结论还成立吗？说明理由；
（3）拓展延伸：把△CDE绕点C在平面内自由旋转，若AC＝BC＝13，DE＝10，当A、E、D三点在直线上时，请直接写出AD的长．

【解析】（1）如图1中，延长AE交BD于H．

∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AEC＝90°，∠AEC＝∠BEH，
∴∠BEH+∠EBH＝90°，
∴∠EHB＝90°，即AE⊥BD，
故答案为AE＝BD，AE⊥BD．

（2）结论：AE＝BD，AE⊥BD．
理由：如图2中，延长AE交BD于H，交BC于O．

∵∠ACB＝∠ECD＝90°，
∴∠ACE＝∠BCD，
∵AC＝CB，∠ACE＝∠BCD，CE＝CD，
∴△ACE≌△BCD，
∴AE＝BD，∠EAC＝∠CBD，
∵∠EAC+∠AOC＝90°，∠AOC＝∠BOH，
∴∠BOH+∠OBH＝90°，
∴∠OHB＝90°，即AE⊥BD．

（3）①当射线AD在直线AC的上方时，作CH⊥AD用H．

∵CE＝CD，∠ECD＝90°，CH⊥DE，
∴EH＝DH，CH＝DE＝5，
在Rt△ACH中，∵AC＝13，CH＝5，
∴AH＝＝12，
∴AD＝AH+DH＝12+5＝17．

②当射线AD在直线AC的下方时时，作CH⊥AD用H．

同法可得：AH＝12，故AD＝AH﹣DH＝12﹣5＝7，
综上所述，满足条件的AD的值为17或7．
9、如图1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝4，点D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，记旋转角为α，BD、CE所在直线相交所成的锐角为β．
（1）问题发现：当α＝0°时，＝　 　；β＝　 　°．
（2）拓展探究：试判断：当0°≤α＜360°时，和β的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．
（3）在△ADE旋转过程中，当DE∥AC时，直接写出此时△CBE的面积．

【解析】（1）如图1中，∵∠B＝90°，BA＝BC，∴∠A＝45°，AC＝AB，

∵点D、E分别是边AB、AC的中点，∴BD＝AB，EC＝AC，∴＝，β＝45°，
（2）结论：和β的大小无变化．理由：如图2中，延长CE交AB于点O，交BD于K．

∵AE＝ AD，AC＝ AB，∴＝＝，，∴＝，
∵∠DAE＝∠BAC，∴∠DAB＝∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴＝＝，∠OBK＝∠OCA，
∵∠BOK＝∠COA，∠BKO＝∠CAO＝45°，∴和β的大小无变化．
（3）当点E在线段AB上时，S△BCE＝×4×（4﹣2）＝8﹣4，
当点E在线段BA的延长线上时，S△BCE＝×4×（4+2）＝8+4．
综上所述，△BCE的面积为8﹣4或8+4．
10、如图乙，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，点P为射线BD，CE的交点．
（1）如图甲，将△ADE绕点A旋转，当C、D、E在同一条直线上时，连接BD、BE，则下列给出的四个结论中，其中正确的是哪几个　 　．（回答直接写序号）
①BD＝CE； ②BD⊥CE； ③∠ACE+∠DBC＝45°； ④BE2＝2（AD2+AB2）
（2）若AB＝6，AD＝3，把△ADE绕点A旋转：
①当∠CAE＝90°时，求PB的长；
②直接写出旋转过程中线段PB长的最大值和最小值．

（1）解：如图甲：

①∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠DAC＝∠DAE+∠DAC，即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE，∴①正确．
②∵△ABD≌△ACE，∴∠ABD＝∠ACE．
∵∠CAB＝90°，∴∠ABD+∠AFB＝90°，∴∠ACE+∠AFB＝90°．
∵∠DFC＝∠AFB，∴∠ACE+∠DFC＝90°，∴∠FDC＝90°．∴BD⊥CE，∴②正确．
③∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠ABC＝45°，∴∠ABD+∠DBC＝45°．∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴③正确．
④∵BD⊥CE，∴BE2＝BD2+DE2，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，∴DE2＝2AD2，BC2＝2AB2，
∵BC2＝BD2+CD2≠BD2，∴2AB2＝BD2+CD2≠BD2，∴BE2≠2（AD2+AB2），∴④错误．
故答案为①②③．
（2）
①a、如图乙﹣1中，当点E在AB上时，BE＝AB﹣AE＝3．

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠PEB＝∠AEC，∴△PEB∽△AEC．
∴＝，∴＝，∴PB＝．

b、如图乙﹣2中，当点E在BA延长线上时，BE＝9．

∵∠EAC＝90°，
∴CE＝＝＝3，
同（1）可证△ADB≌△AEC．∴∠DBA＝∠ECA．
∵∠BEP＝∠CEA，∴△PEB∽△AEC，
∴＝，∴＝，∴PB＝．
综上，PB＝或．

②解：a、如图乙﹣3中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A上方与⊙A相切时，PB的值最大．

理由：此时∠BCE最大，因此PB最大，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最大，因此PB最大）
∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝2，∴PB＝BD+PD＝3+3．
综上所述，PB长的最大值是3+3．
b、如图乙﹣4中，以A为圆心AD为半径画圆，当CE在⊙A下方与⊙A相切时，PB的值最小．

理由：此时∠BCE最小，因此PB最小，（△PBC是直角三角形，斜边BC为定值，∠BCE最小，因此PB最小）
∵AE⊥EC，∴EC＝＝＝3，
由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，BD＝CE＝3，
∴∠ADP＝∠DAE＝∠AEP＝90°，
∴四边形AEPD是矩形，∴PD＝AE＝4，∴PB＝BD﹣PD＝3﹣3．
综上所述，PB长的最小值是3﹣3．
11、如图1，在等腰直角△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝3，在边AB上取一点D（点D不与点A，B重合），在边AC上取一点E，使AE＝AD，连接DE．把△ADE绕点A逆时针方向旋转α（0°＜α＜360°），如图2．
（1）请你在图2中，连接CE和BD，判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由；
（2）请你在图3中，画出当α＝45°时的图形，连接CE和BE，求出此时△CBE的面积；
（3）若AD＝1，点M是CD的中点，在△ADE绕点A逆时针方向旋转的过程中，线段AM的最小值是　 　．

【解析】（1）如图1中，连接EC，BD．结论：BD＝CE．

理由：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，∴△ADB≌△AEC（SAS）．
∴BD＝CE．
（2）如图2中，


由题意：∠CAE＝45°，
∵AC＝AB，∠CAB＝90°，
∴∠ACB＝∠ABC＝45°，
∴AE∥BC．
∴△CBE的面积与△ABC的面积相等．
∵△ABC的面积为4.5，
∴△CBE的面积4.5．

（3）如图3中，延长AM到N，使得MN＝AM，连接CN，DM．

∵AM＝MN，CM＝MD，
∴四边形ADNC是平行四边形，
∴AD＝CN＝1，
∵AC＝3，
∴3﹣1≤AN≤3+1，
∴2≤2AM≤4，
∴1≤AM≤2，
∴AM的最小值为1．
故答案为1．


12、综合与实践
问题情境
数学活动课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动，△ABC和△DEC是两个全等的直角三角形纸片，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝∠E＝30°，AB＝DE＝4．
解决问题
（1）如图①，智慧小组将△DEC绕点C顺时针旋转，发现当点D恰好落在AB边上时，DE∥AC，请你帮他们证明这个结论；
（2）缜密小组在智慧小组的基础上继续探究，连接AE、AD、BD，当△DEC绕点C继续旋转到如图②所示的位置时，他们提出S△BDC＝S△AEC，请你帮他们验证这一结论是否正确，并说明理由；
探索发现
（3）如图③，勤奋小组在前两个小组的启发下，继续旋转△DEC，当B、A、E三点共线时，求BD的长；
（4）在图①的基础上，写出一个边长比为1：：2的三角形（可添加字母）

【解析】（1）如图①中，∵△DEC绕点C旋转点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，
∵∠BAC＝90°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，
又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；

（2）如图②中，作DM⊥BC于M，AN⊥EC交EC的延长线于N．
∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，
∵∠ACN+∠BCN＝90°，∠DCM+∠BCN＝180°﹣90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，
在△ACN和△DCM中，，∴△ACN≌△DCM（AAS），∴AN＝DM，
∴△BDC的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即S△BDC＝S△AEC．

（3）如图③中，作CH⊥AD于H．AC＝CD＝AB＝2，
∵B，A，E共线，∴∠BAC+∠EAC＝180°，∴∠EAC＝120°，
∵∠EDC＝60°，∴∠EAC+∠EDC＝180°，∴A，E，D，C四点共圆，
∴∠CAD＝∠CED＝30°，∠BAD＝90°，
∵CA＝CD，CH⊥AD，∴AH＝DH＝AC•cos30°＝，∴AD＝2，
∴BD＝＝＝2．

（4）如图①中，设DE交BC于T．因为含有30°的直角三角形的三边之比为1：：2，
由（1）可知△BDT，△DCT，△ECT都是含有30°的直角三角形，
∴△BDT，△DCT，△ECT符合条件．